ЛЕКЦИЯ 7 ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Способы описания состояния макросистемы. Химический потенциал системы. 2. Вырожденные и невырожденные коллективы частиц. 3. Классические и распределения. квантовые статистики. Функция 4. Фазовое пространство микрочастицы и его квантование. 5. Плотность состояний. идеального газа. Критерий невырожденности 6. Функция распределения для невырожденного газа. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 1
Распределение Максвелла по модулю скорости Найдем вероятность того, что модуль v попадает в интервал от v vy до (v+dv) v Частица должна попасть в шаровой слой, объем которого vz v v+d vx 2
Распределение Максвелла по энергии T 1 < T 2 < T 3 0 3
Кафедра физики Физические основы молекулярно-кинетической теории. Два метода описания свойств макросистем: Статистическая физика -основана на модельных представлениях о строении макротел и математической статистике Термодинамика - устанавливает связи между непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах величинами (объемом, температурой, давлением и т. д. ). Основа термодинамики - фундаментальные законы, установленные путем обобщения опытных данных. Эти законы называются началами термодинамики. 4
СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ СОСТОЯНИЯ МАКРОСИСТЕМЫ. . ХИМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ СИСТЕМЫ. Термодинамическое описание системы. Первый закон термодинамики: в каждом элементарном процессе тепло Q, приобретённое системой, расходуется на увеличение внутренней энергии системы d. U и работу A, совершаемую системой в этом процессе: (12. 1) A=pd. V. Перепишем первое начало термодинамики: (12. 2) Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 5
(12. 3) Внутренняя энергия системы может совершения работы и обмена теплотой. изменяться за счет Однако энергия системы может изменяться и за счет изменения числа частиц в ней, т. к. каждая уходящая (приходящая) частица уносит (приносит) с собой определенную энергию. С учетом этого: (12. 4) где d. N Параметр µ - изменение числа частиц в системе. называется химическим потенциалом системы. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 6
Физический смысл химического потенциала системы. Для теплоизолированной системы постоянного объема δQ =0 и d. V=0. Тогда Химический потенциал выражает изменение энергии изолированной системы постоянного объема, вызванное изменением в ней числа частиц на единицу. Пример. Два металла I и II, приведенные в контакт при одной температуре. Пусть химический потенциал электронов в одном металле μ 1, во втором - μ 2. Пусть из I в II перетекли N электронов. μ 1 μ 2 d. U 1=-μ 1 d. N d. U 2=μ 2 d. N В равновесии: |d. U 1|=d. U 2 Тогда очевидно, что условием равновесия является равенство химических потенциалов: μ 1 = μ 2. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 7
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО Статистический метод удобно иллюстрировать в терминах фазового пространства. Введем в рассмотрение воображаемое шестимерное пространство с взаимно перпендикулярными осями x, y, z и px , py , pz. Положение частицы в шестимерном определяется шестью координатами. фазовом пространстве Поэтому если говорят, что частица находится в некоторой точке фазового пространства, то это означает, что заданы пространственные координаты этой частицы, а также компоненты ее импульса. У классической частицы координаты и составляющие импульса могут изменяться непрерывно. Состояния, отличающиеся на сколь угодно малые Δx, Δy, Δz, Δpx, Δpy, Δpz, квалифицируются как различные. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 8
КВАНТОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. Особенность поведения квантовой частицы в фазовом пространстве заключается в необходимости учета соотношения неопределенностей. Если ΔxΔpx˂h, то состояния, отличающиеся на Δx и Δpx, квалифицируются как одно и то же. Для микрочастицы фазовое пространство дискретно, т. е. разбито на элементарные ячейки. (12. 5) по смыслу называется элементом объема шестимерного фазового пространства. Различным элементам объема шестимерного фазового пространства будут отвечать различные квантовые состояния микрочастицы лишь в том случае, если размер этих элементов объема не меньше h 3. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 9
КВАНТОВАНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. Для системы невзаимодействующих частиц, потенциальная энергия которых равна нулю в пределах объема V, удобнее использовать трехмерное пространство импульсов. В этом случае Тогда элемент трехмерного пространства импульсов равен Каждому такому элементу соответствует квантовое состояние, отличное от других состояний. Процесс деления фазового пространства на ячейки конечной величины (h 3 или h 3/V) называется квантованием фазового пространства. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 10
ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КОЛЛЕКТИВЫ ЧАСТИЦ Различают два вида коллективов частиц. Пусть на N одинаковых частиц приходится G различных состояний, в которых может находиться отдельная частица. Если число различных вакантных (свободных) состояний много больше числа микрочастиц G N , что можно записать как (12. 6) то, очевидно, свойства коллектива как целого, не будут зависеть от специфики микрочастиц, из которого он состоит. Подобные коллективы называются невырожденными, а условие (12. 6) - это условие невырожденности. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 11
ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КОЛЛЕКТИВЫ ЧАСТИЦ Если же число состояний G оказывается одного порядка с числом частиц N, т. е. (12. 7) То в этом случае специфика микрочастицы проявляется в полной мере, оказывая значительное влияние на свойства коллектива как целого. Такие коллективы называются вырожденными. Вырожденные коллективы могут образовываться только из квантовомеханических объектов, так как только для них фазовое пространство дискретно. Вследствие этого число конечным. возможных состояний G может быть У классических объектов, у которых параметры состояния меняются непрерывно, число состояний G всегда бесконечно большое. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 12
КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ. Статистика, изучающая свойства невырожденных коллективов классическая статистика или статистика Максвелла – Больцмана. Квантовая статистика – это раздел статистической физики, исследующий свойства вырожденных коллективов. По коллективным свойствам частицы делятся на фермионы и бозоны. Фермионы – это частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны), для которых справедлив принцип Паули. Бозоны – это частицы с нулевым или целочисленным спином (например, фотоны). Бозоны не подчиняются принципу Паули. Эти два класса частиц по-разному распределены по энергии, и для них существуют две разные квантовые статистики. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 13
КЛАССИЧЕСКИЕ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Статистику фермионов называют статистикой Ферми – Дирака, а статистику бозонов – статистикой Бозе – Эйнштейна. Если уменьшать число частиц в коллективе или увеличивать число возможных состояний микрочастицы, то вырожденный коллектив превращается в невырожденный. В этом случае коллектив будет описываться классической статистикой Максвелла – Больцмана. Задача статистической физики - ответ на вопрос, каким образом распределение частиц по состояниям связано с поведением коллектива как целого. Состояние характеризуется энергией. Задача – найти распределение частиц по энергии. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 14
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция распределения N(E)d. E выражает число частиц с энергией от E до E+d. E в системе, состояние которой описывается термодинамическими параметрами µ и Т. Такую функцию называют полной статистической функцией распределения (ПСФР). ПСФР можно представить в виде произведения числа состояний d. G=g(E)d. E, приходящихся на интервал энергий d. E, на число f(E) частиц в одном состоянии: (12. 8) Функцию f(E) называют функцией распределения. g(E) - плотность состояний. Таким образом, отыскание полной функции распределения частиц по состояниям сводится к решению двух задач: 1. Отыскание функции g(E)d. E, описывающей распределение состояний по энергиям; 2. Отыскание функции f(E), определяющей заполнение этих состояний частицами. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 15
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ. КРИТЕРИЙ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. Пространство импульсов дискретно На интервал dp приходится конечное число состояний. pz p (12. 9) p+dp py px Интервалу от E до E+d. E также соответствует конечное число состояний d. G=g(E)d. E Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 16
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ. КРИТЕРИЙ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. (12. 10) Поделив на d. E, получим плотность состояний g(E), выражающую число состояний микрочастицы, приходящееся на единичный интервал энергий: (12. 11) Плотность состояний пропорциональна . В случае электронов каждой фазовой ячейке соответствует два состояния, отличающихся друг от друга направлением спина. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 17
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ. КРИТЕРИЙ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. (12. 10) Если проинтегрировать выражение (12. 10) в пределах от 0 до E, получим число состояний микрочастицы, заключенное в интервале энергий от 0 до E: Полагая , получим Подставим это выражение в записанное ранее условие невырожденности Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 18
ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ. КРИТЕРИЙ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. получим или, поскольку n - число частиц в единице невырожденности примет вид: объема, то условие Электронный газ в металле в реальных условиях всегда вырожден, вследствие чего к нему применима только квантовая статистика. Газ в нормальных условиях является невырожденным и, следовательно, описывается классической статистикой Максвелла. Больцмана. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 19
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА. Вид функции g(E)d. E, описывающей приходящихся на интервал энергии d. E число состояний, Для того, чтобы записать полную функцию распределения частиц по состояниям, необходимо теперь знать вид функции распределения f(E), определяющей заполнение этих состояний частицами. Функция распределения для невырожденного газа нам известна. Это функция распределения Максвелла – Больцмана: A – нормирующая константа Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 20
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА. Вспомним, что произведение выражает число частиц в состояниях с энергиями, заключенными между E и E+d. E. Теперь легко записать выражение для полной статистической функции распределения : (12. 11) В – нормирующая константа Это полная функция распределения Максвелла – Больцмана. N – число частиц в системе Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 21
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИОНОВ (квантовая статистика Ферми – Дирака). Особенность фермионов состоит в том, что они подчиняются принципу Паули, следовательно, в одной ячейке фазового пространства могут находиться не более двух электронов. Эта особенность и определяет вид функции распределения вырожденного газа фермионов. для Запишем функцию без вывода. (12. 12) В этой формуле - химический потенциал вырожденного газа фермионов, который в применении к такому газу чаще называют уровнем Ферми. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 22
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИОНОВ (квантовая статистика Ферми – Дирака). Из (12. 13) видно, что если E = функция распределения. при любой температуре. Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2. Функцию (13. 4) называют функцией Ферми – Дирака. Рассмотрим некоторые задачи, связанные с применением функции Ферми – Дирака. Распределение электронов по энергии в металле. Металл для свободных потенциальной ямой. электронов Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ является своеобразной 23
Распределение электронов в металле по энергии при Т=0. Горизонтальными линиями показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. Нулевой N/2 - 2 1 0 уровень Уровень Ферми Дно ямы В соответствии с принципом Паули на каждом таком уровне могут разместиться по два электрона с противоположными спинами. Если электронный газ содержит N электронов, то последним занятым окажется уровень N/2. Этот уровень и называется уровнем Ферми для вырожденного электронного газа. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 24
Распределение электронов в металле по энергии при Т=0. Уровень Ферми соответствует максимальной кинетической энергии EF, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Нулевой уровень Уровень Ферми N/2 - 2 1 0 ЕF Энергия Ферми Дно ямы Энергию EF энергией Ферми. называют Итак, при абсолютном нуле все состояния с энергией E < EF заняты электронами, состояния с энергией E > EF свободны. Иначе, при абсолютном нуле вероятность заполнения электронами состояний с энергией E < EF равна 1, с энергией E > EF равна нулю. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 25
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИОНОВ (квантовая статистика Ферми – Дирака). Получим этот же результат из функции распределения. Будем считать, что при Т = 0 К химический потенциал электронного Нулевой газа, отсчитанный от дна уровень потенциальной ямы, равен энергии Уровень Ферми EF: = EF. N/2 Ферми 2 1 0 ЕF Энергия Ферми Тогда функция распределения будет иметь следующий вид: Дно ямы Если E < EF , то при Т = 0 К и f. Ф = 1. Если E > EF , то при Т = 0 К и f. Ф = 0. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ (12. 13) 26
График функции распределения Ферми – Дирака при абсолютном нуле имеет вид ступеньки, обрывающейся при E = EF. f. Ф 1 Е 0 ЕF N(E) Учитывая, что в интервале от 0 до EF функция f. Ф = 1, получим полную функцию распределения Ферми – Дирака при абсолютном нуле: Е ЕF 0 Из этого выражения после интегрирования от 0 до EF и приравнивания к числу N можно определить энергию Ферми EF : где - концентрация электронного газа в металле. (12. 14) (12. 15) 27
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИОНОВ (квантовая статистика Ферми – Дирака). Влияние температуры на распределение Ферми – Дирака. С повышением температуры электроны подвергаются тепловому возбуждению и переходят на более высокие энергетические уровни, вследствие чего меняется характер их распределения по состояниям. Однако в интервале температур, в котором энергия k. T теплового движения остается значительно ниже энергии Ферми E = EF, тепловому возбуждению могут подвергаться электроны лишь узкой полосы k. T, непосредственно расположенной возле уровня Ферми. Электроны более глубоких уровней остаются практически не тронутыми, так как энергия k. T теплового движения недостаточна для их возбуждения. В результате теплового возбуждения часть электронов, имевших энергию, меньшую EF, переходит на уровни с энергией, большей EF и устанавливается новое их состояние Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 28
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО ГАЗА ФЕРМИОНОВ (квантовая статистика Ферми – Дирака). Влияние температуры на распределение Ферми – Дирака. Кривая 1 - распределение электронов по состояниям при T=0. Кривая 2 - распределение электронов по состояниям при T>0. f. Ф Повышение температуры приводит к размытию распределения на глубину k. T. Правее EF появляется «хвост» распределения. k. T 1 Любопытно, описывается Максвелла. 1 2 0 ЕF k. T Е что сам «хвост» распределением Доля возбужденных электронов, даже при комнатных температурах мала (менее 1% электронов проводимости). Следовательно, в большом диапазоне температур распределение электронов по состояниям практически соответствует распределению при T=0. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ 29
Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ 7 ПЛАН ЛЕКЦИИ 1 Способы описания состояния
Лекция 7 Квантовая статистика.ppt