Лекция 7 “Основы теории теплообмена” Вопросы: 1. Вывод

Лекция 7 “Основы теории теплообмена” Вопросы: 1. Вывод уравнения стационарной тепло-проводности однослойной цилиндри-ческой стенки 2. Стационарная теплопроводность одно-слойной шаровой стенки. 3. Стационарная теплопроводность много-слойной плоской стенки. 4. Стационарная теплопроводность много-слойной цилиндрической стенки.

1. Вывод уравнения стационарной теплопроводности однослойной цилиндрической стенки. Необходимо найти распределение темпе-ратур в стенке и тепловой поток. Для решения поставленной задачи диффе-ренциальное уравнение теплопровод-ности записывается в цилиндрической системе координат. 2t = + + + = 0, [6.5] при этом ось 0z совмещена с осью трубы

При заданных условиях температура изменя-ется только в радиальном направлении, темпе-ратурное поле будет одномерным: =0; =0. tc1 ; tc1 tc2 tc2 0 r 2r1 2r2 t tc1; tc1 0 r Температуры на наружной и внутренней поверхностях неизменны, изотермические поверхности являются цилин-дрическими, имеющими общую ось . Тогда температура не должна изменяться вдоль  (вдоль окружности при смещении на градус ).

После проведения ряда математических преобразований и выполнения граничных условий определяем температуру t в любой точке стенки цилиндра [6.6] t = tc1 - (tc1 - tc2 ) или t = tc1 - (tc1 - tc2 ) Количество теплоты, проходящей через цилиндрическую поверхность площадью F = 2rL определяется из закона Фурье и получим: [6.7]

градиент темпера- туры определен как u= = ; после подстановки значения градиента температуры получим выражение для теплопроводности [6.8]. Плотность теплового потока относят к единицы длины в единицу времени [6.9]. Для тонкостенных труб большого диаметра, когда d2/d1 2 тепловой поток можно считать по

уравнениям для плоской стенки. В этом случае ошибка составит менее 4 %. Шаровая стенка. Теплопроводность. Граничные условия первого рода. Рассмотрим полый шар с радиусами r1 и r2. с постоянной теплопроводность материала  и температурами поверхности tc1 и tc2 так как температура изменяется только в радиальном направлении, то дифферен- циальное уравнение тепло- проводности в сферических 11.11.2011

При стационарном тепловом режиме температура не зависит от времени и уравнение [6.10], примет вид =0 [6.12] Граничные условия первого рода: при r =r1 t = tc1 ; при r =r2 t = tc2. Дважды интегрируя уравнение теплопроводности [6.12] получим ; [6.13]. Определим постоянные интегрирования из граничных ; условий [6.14]:

Подставляя значения постоянных получа- ем выражение для тем- пературного поля в сферической стенке [6.15]. Тепловой поток найдем, подставив гради- ент температур dt/ dr в уравнение закона Фурье при площади изотермической поверхности F=4r2 [6.16]. =

Обозначая  = r1-r2, rср= и F=4 получаем расчетную формулу [6.17]. Многослойная плоская стенка состоит, например, из трех слоев, которые плотно прилегают друг к другу и имеет соответствующие толщины и теплопро- водности. Известны температуры на внешних поверхностях многослойной стенки. t1; t4 температуры соприкасающих- ся слоев t2; t3 не известны.

На основании формулы [6.2] для каждого слоя можно написать q =[1(t1 - t2)]/1; или q(1/1) =(t1 - t2) q=[2 (t2 - t3)]/2; или q(2/2) =(t2 – t3) q=[3 (t3 - t4)]/3; или q(2/2) =(t3 – t4) После соответственного сложения правых с правыми и левых с левыми частей этих уравнений получим : t1 - t4= t= q[1/1 + 2/2 + 3/3 ], откуда q= t / (1/1 + 2/2 + 3/3 ) [6.18]

В общем виде для n- слойной стенки можно записать q= t / (i / i). [6.19] t1 t2 t3 t4 Для каждого слоя опре-деляются температуры t2 = t1 - q1/1 ; t3 = t2 - q2/2 ; t3 = t1 - q(1/1 + 3/3) = t4 +q3/3 ; Внутри каждого слоя температура изменя-ется по закону прямой линии. В некоторых случа- ях многослойную стенку рассматривают как одно- слойную с такой же толщиной  = i .

При этом в расчет вводится эквивалент- ная теплопроводность, определяемая по формуле экв = / (i/i) [6.20] Для расчета теплопроводности многослой- ной цилиндрической стенки при условии ограничений совершенного контакта меж- ду слоями и постоянства теплопроводнос- ти внутри слоя. получим для каждого слоя: ; ; [6.21]

Тогда для n- слойной стенки получим [6.22]