Лекция 7 Основы математической логики — 2

Лекция 7 Основы математической логики - 2

Вопросы Понятие формулы логики высказываний. Приоритет логических операций 2. Вычисление значений истинности формул логики высказываний 3. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы логики высказываний. Логическая равносильность формул. 4. Равносильные преобразования формул 1.

Основные определения Переменную, которая может принимать значения конкретных высказываний, будем называть пропозициональной переменной. Логические константы 1 (И), 0 (Л) будем называть пропозициональными константами. Истинностными значениями пропозициональных переменных являются пропозициональные константы 1 (И), 0 (Л). Пропозициональные переменные будем обозначать буквами латинского алфавита X, Y, Z (возможно, с индексами: X 1, X 2, X 3 и так далее).

Истинностное значение Истинностным значением (или просто значением) формулы логики высказываний является значение истинности, получаемое при вычислении результатов всех логических операций, с помощью которых строится формула, при той или иной комбинации значений пропозициональных переменных и констант, входящих в формулу.

Приоритет логических операций 1. 2. 3. 4. 5. отрицание ( ), конъюнкция (&), дизъюнкция ( ), строгая дизъюнкция ( ) импликация ( ), эквиваленция ( ).

Вычисление истинности Для вычисления значения истинности формул логики высказываний при заданных значениях истинности входящих в формулу пропозициональных переменных и констант используется универсальный для логики высказываний метод – метод истинностных таблиц (таблиц истинности).

Пример 1 Вычислить значение истинности формулы ((X&Y Y) X) при следующих значениях пропозициональных переменных: X = 1, Y = 0.

Решение примера 1

Пример 2 Построить таблицу значений истинности формулы логики высказываний A B ( A B) при всех возможных комбинациях истинности переменных. Если переменных 2, всего будет 4 строки. Исходные данные в этом случае записываются следующим образом. A B 0 0 0 1 1

Решение примера 2

Пример 3 Построить таблицу значений истинности формулы логики высказываний A B C&A ( A B) при всех возможных комбинациях истинности переменных.

Решение примера 3

Определение Формулу логики высказываний, принимающую значение истинности 1 (И, истина) на любом наборе значений для пропозициональных переменных, входящих в формулу, называют тождественно-истинной формулой, или тавтологией.

Определение Формулу логики высказываний, принимающую значение истинности 0 (Л, ложь) на любом наборе значений для пропозициональных переменных, входящих в формулу, называют тождественно-ложной формулой, или противоречием.

Определение Пусть формулы F и Ф логики высказываний содержит пропозициональные переменные X 1, X 2, … , Xn. Будем считать эти формулы логически равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности на соответствующих наборах значений для пропозициональных переменных X 1, X 2, …, Xn, входящих в эти формулы.

Свойство транзитивности Факт логической равносильности формул F и Ф будем обозначать F Ф. Отношение равносильности формул обладает свойством транзитивности: если F Ф и Ф , то F

Основные логические равносильности Коммутативность строгой дизъюнкции: X Y Y X Ассоциативность строгой дизъюнкции: X (Y Z) (X Y) Z Законы поглощения: X (X&Y) X и X&(X Y) X

Основные логические равносильности Закон контрапозиции: X Y Y X Транзитивность импликации: (X Y)&(Y Z) (X Z) Выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание: X Y

Основные логические равносильности Выражение эквиваленции через импликацию и конъюнкцию: (X Y)&(Y X) Выражение дизъюнкции через конъюнкцию и отрицание: X Y ( X Y) Выражение конъюнкции через дизъюнкцию и отрицание: X&Y ( X Y)

Пример 4 Используя равносильные (тождественные) преобразования формул логики высказываний, выразить строгую дизъюнкцию X Y через конъюнкцию и отрицание. 1. X Y (X Y) (исходя из сравнения таблиц, определяющих операции). 2. (X Y) ((X Y)&(Y X)) (выражение эквиваленции через импликацию и конъюнкцию). 3. ((X Y)&(Y X)) (( X Y)&( Y X)) ( выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание).

Пример 4 (продолжение) 4. (( X Y)&( Y X)) ( X& Y X&X Y& Y Y&X) (раскрываем скобки). 5. ( X& Y X&X Y& Y Y&X) ( X& Y Y&X) Ответ: X Y ( X& Y Y&X)

Пример 5 Упростить выражение: X&Y (X&Y Z) 1. X&Y (X&Y Z) X&Y ( (X&Y) Z) (выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание). 2. X&Y ( (X&Y) Z) (X&Y)) Z (ассоциативность дизъюнкции)

Пример 5 (продолжение) 3. (X&Y)) Z 1 Z (закон исключенного третьего) 4. 1 Z 1 (свойство логических констант).