Лекция 7 Напряженно-деформированное состояние изотропного тела Теория деформаций

Лекция 7. Напряженно-деформированное состояние изотропного тела. Теория деформаций (Соотношения Коши). Напряжения на гранях выделенного элементарного параллелепипеда. 7. 1 Напряжения на гранях выделенного элементарного параллелепипеда. (i=1, 2, 3) 1

вектор напряжения 2

Действующие на гранях параллелепипеда векторы напряжений нормальные составляющие касательные составляющие эквивалентные обозначения 3

Имеем: 4

5

6

7. 2 Перемещения и деформации. Соотношения Коши Вектор - наз-ся вектор полного перемещен перемещается в т. В результате деформации т. проекции на оси координат ; ; ; . . 7

При выводе соотношений Коши используется предположение о малости деформаций, которое записывается в виде следующих соотношений: 1. При вычислении продольных деформаций считается, что 2. Углы , , , т. е. , т. к. точно настолько малы, что можно считать , 8

Имеем соотношения Коши для продольных деформаций: (1) (2). , , ; . Деформацией сдвига называется изменение первоначального прямого угла между отрезками прямых. ( ) , , Таким образом Имеем 9

3. Предположение о малости деформаций: - при вычислении углов сдвига – полагаем т. е. пренебрегаем по сравнению с единицей в выражении , ; Имеем (3) ; Аналогично: ; . , Соотношения Коши для угловых деформаций. В других обозначениях (4) . Водится в рассмотрение тензор деформаций где 10

соотношения Коши - продольные деформации - угловые деформаций Деформацией сдвига называется изменение первоначального прямого угла между отрезками прямых. 11

12

Обобщенный закон Гука, константы упругости Для совместного рассмотрения тензора напряжений и тензора деформаций необходимо установить зависимости между ними. Предположение 1. Тело идеально упругое 13

Предположение 2. Напряжение зависит от всех Предположение 3. При малых деформациях справедлива линейная зависимость между напряжениями и деформациями. - упругие постоянные (механические характеристики) количество упругих постоянных = 21 В общем случае их 36. 14

Предположение 4. англ. Thomas Young; 1773, — 1829, Лондон) — английский физик, врач, астроном и востоковед Тело изотропно – что не должно изменяться при любом повороте осей координат. 1 Одноосное растяжение стержня - То мас Юнг 2 Одноосное растяжение тонких пластинок. (фр. Siméon Denis Poisson, 1781, Франция — 1840) — знаменитый французский физик и математик. Симео н Дени Пуассо н 3. Кручение тонких трубок (испытание на чистый сдвиг) G-модуль сдвига 15

Зависимости между деформациями и напряжениями при объемном напряженном состоянии , 16

На основании третьего опыта получаем зависимость между угловыми деформациями и касательными напряжениями. Имеем (4) обобщенный закон Гука 17