Лекция 7 Анизотропия физических свойств кристаллических твердых

Лекция 7 Анизотропия физических свойств кристаллических . твердых тел. Упругие свойства Монокристаллические тела Поликристаллические тела с блочной субструктурой содержат множество зерен Нетекстурованные, с хаотической ориентацией зерен Текстурованные, с преимущественной ориентацией зерен

Анизотропия физических свойств Чем обусловлена? Среду, обладающую анизотропией свойств, называют анизотропной. А среду, в которой свойства не зависят от направления, - изотропной. К изотропным средам относят: 1)жидкости и твердые тела с аморфной атомной структурой; 2) поликристаллические тела с хаотически ориентированными дисперсными зернами; 3) газы В ромбической сингонии a b c c a b можно ожидать, что свойства вдоль направлений типа <100> будут различаться А в кубической сингонии свойства вдоль направлений типа <100> будут одинаковыми

Связь векторных величин анизотропного тела Рассмотрим линейную среду, т. е когда одна из векторных величин линейно зависит от другой. Например, в изотропном теле вектор намагниченности линейно зависит от напряженности внешнего магнитного поля: где -магнитная восприимчивость В анизотропном теле

Выберем «собственную» систему координат, оси которой являются «собственными» векторами. В ней т. е. I 1= ’ 11. H 1 I 2= ’ 22. H 2 I 3=… или Ii= ’ii. Hi Рассмотрим случай, когда ’ 11 ’ 22 ’ 33 I 1= ’ 11 H 1 I 2= ’ 22 H 2 I=[( ’ 11 H 1)2+( ’ 22 H 2)2]1/2 В общем случае вектора и H не параллельны В ромбической сингонии трансляции a, b, c являются собственными векторами. Тогда I=[( ’ 11 H 1)2+( ’ 22 H 2)2+( ’ 33 H 3)2]1/2 В кубической сингонии ’ 11 = ’ 22 = ’ 33= и I = [H 12+ H 22+H 32]1/2= H

Упругие свойства Для изотропных сред: = /E = - Кривая деформации = /G В анизотропной среде выполняется обобщенный закон Гука: где ij и kl – компоненты тензоров напряжений и деформаций, а сijkl – тензор модулей упругости

Как определяются компоненты ij ? ij действует вдоль оси i и приложено к грани j ii- нормальные напряжения, а ij (i j) – касательные напряжения Тензор напряжений симметричный, т. е 12= 21, 13= 31 и т. д.

Поэтому тензор напряжений имеет следующий вид: Аналогичная ситуация имеет место и для тензора деформаций В общем случае тензор ) ε содержит 34=81 компоненту. Но в силу симметрии тензоров напряжений и деформаций назависимыми остаются лишь 36 компонент. И тогда обобщенный закон Гука можно представить как где p и q =1, 2, 3, 4, 5, 6 При этом мы воспользовались соотношениями Фойгта для замены индексов ij на р или kl на q: 11 1, 22 2, 33 3. 12 6, 23 4, 13 5 Тогда можно записать , где тензоры напряжений и деформаций можно заменить шестимерными векторами

Матрица в кристаллическом теле тоже симметричная Наибольшее число элементов в этой матрице в триклинной сингонии (наименее симметричной) - 21 А в кубической сингонии остается лишь 3 независимых элемента причем c 11=c 22=c 33

В изотропной среде остается лишь два независимых элемента c 11 и с12 x= (c 11 -c 12)/2 Объемная плотность упругой энергии (для растянутого стержня) А в случае деформированного кубического кристалла

Связь модулей упругости В качестве примера рассмотрим растяжение кубического кристалла вдоль оси о. X 3 [001] под напряжением 3. (Пусть ось о. X 1 [100], а о. X 2 [010]). В таком случае тензор напряжений можно представить как Запишем закон Гука [001] Учтем при этом, что из-за симметрии схемы нагружения 1= 2

Закон Гука сводится к системе уравнений: c 11 1+c 12 2+c 12 3=0 c 12 1+c 11 2+c 12 3=0 c 12 1+c 12 2+c 11 3= 3 c 44 4=0 c 44 5=0 c 44 6=0 из которых следует, что характеризующие дефомацию сдвига 4= 5= 6=0, т. е деформация сдвига отсутствует; и Очевидно, что модули вдоль направлений типа <001> в кубическом кристалле одинаковые. В общем случае в кубическом кристалле при сij>0 модуль Юнга минимален вдоль оси <001> и максимален – вдоль оси <111>. Но, если с11 -с12=2 с44, то модуль Юнга не зависит от направления в кубическом кристалле. В тоже время 2 с44/с11 -с12 =3. 3 для Cu, 2. 4 для Fe и 1. 0 для W

Теоретическое толкование упругих модулей в решетке а Р Fx= - x Р’ Рассмотрим решетку как совокупность частиц. Энергия двух частиц Р и Р’, находящихся на расстоянии а вдоль оси о. X 1 и сдвинутых из первоначальных положений на вектора u(u 1, u 2, u 3) и u’(u 1”, u 2”, u 3”) в приближении Гука (т. е. при u- u’ <

Разделим это выражение на объем Na 3 и получим объемную плотность упругой энергии Из сравнения с ранее полученным выражением следует При действии центральных сил =0, т. е. с44=0? ! При учете взаимодействия со второй координационной сферой и при условии действия только центральных сил можно получить ( - коэффициент (аналогичный ) для учета взаимодействия со 2 -ой координационной сферой) Это согласуется с реальностью!