Лекция 7 8 Аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Лекция 7, 8 Аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства, и основные следствия из нее. Литература [1] § 71, 72, [2] § 10 ‑ 11.

Система аксиом Гильберта трехмерного евклидова пространства Основные объекты - элементы трех множеств: множества точек, прямых и плоскостей. Пять групп аксиом: • Первая группа аксиом, аксиомы принадлежности – 8 аксиом. • Вторая группа аксиом, аксиомы порядка – 4 аксиомы. • Третья группа аксиом, аксиомы конгруэнтности – 5 аксиом. • Четвертая группа аксиом, аксиомы непрерывности – 2 аксиомы. • Пятая группа аксиом, аксиомы параллельности – 1 аксиома.

Аксиомы принадлежности 1. 1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через эти две точки. 1. 2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой а, проходящей через эти две точки. 1. 3. На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой. 1. 4. Каковы бы ни были три точки А. В и С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость , проходящая через эти три точки. На каждой плоскости лежит, по крайней мере, одна точка. 1. 5. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти точки. 1. 6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то любая точка, принадлежащая прямой а, принадлежит плоскости . 1. 7. Если две плоскости и имеют общую точку, то существует, по крайней мере, еще одна точка, принадлежащая этим плоскостям. 1. 8. Существует, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Следствия из аксиом первой группы 10. Две прямые имеют не более одной точки. 20. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую. 30. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость. 40. Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость. 50. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиомы порядка 2. 1. Если точка В лежит между точками А и С, то А, В, С – три различные точки одной прямой, и при этом В лежит между С и А. 2. 2. Какова бы ни были точки А и В, существует по крайней мере одна точка С, такая, что В лежит между А и С. . 2. 3. Среди любых трех точек прямой существует не более одной, лежащей между двумя другими. 2. 4. (Аксиома Паша) Пусть А, В и С – три точки, не лежащие на одной прямой, а l – прямая плоскости АВС, на проходящая через эти точки. Тогда, если прямая l проходит через точку отрезка АВ, то она содержит либо точку отрезка АС, либо точку отрезка ВС.

Основные геометрические утверждения, определяемы с помощью аксиом порядка Любой отрезок имеет, по крайней мере, одну внутреннюю точку, среди трех точек прямой всегда существует одна и только одна, лежащая между двумя другими, между двумя точками прямой всегда существует бесконечно много точек, что означает на прямой существует бесконечно много точек. Можно также доказать, что утверждение аксиомы Паша справедливо и для точек, лежащих на одной прямой: если точки А, В и С принадлежат одной прямой, прямая l не проходи через эти точки и пересекает один из отрезков, например, АВ в внутренней точке, то она пересекает во внутренней точке либо отрезок АС, либо отрезок ВС.

Понятие луча Точка О прямой l разбивает множество остальных точек этой прямой на два непустых подмножества так, что для любых двух точек А и В, принадлежащих одному подмножеству, точка О является внешней точкой отрезка АВ, а для любых двух точек C и D, принадлежащих различным подмножествам, точка О – внутренняя точка отрезка CD. Каждое из этих подмножеств называется лучом прямой l с началом в точке О.

Понятие угла Под углом (по Гильберту) будем понимать пару лучей h и k, имеющих общее начало О и не лежащих на одной прямой.

Понятие полуплоскости Теорема. Прямая а, лежащая в плоскости , разделяет ее множество точек, не принадлежащих прямой, на два непустых подмножества, так, что если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой l, а если точки А и В принадлежат различным подмножествам, то отрезок АВ пересекает прямую l в своей внутренней точке. Каждый из классов эквивалентностей, определенных в теореме, носит название полуплоскости.

Свойства внутренних лучей угла 10. Если луч с началом в вершине угла содержит хотя бы одну его внутреннюю точку, то он является внутренним лучом этого угла. 20. Если концы отрезка расположены на двух различных сторонах угла, то любая внутренняя точка отрезка является внутренней точкой угла. 30. Любой внутренний луч угла пересекает отрезок, концы которого находятся на сторонах угла.

Аксиомы конгруэнтности Пусть S – множество отрезков, А – множество углов. На декартовых произведениях и введем бинарные отношения, которые будем называть отношением конгруэнтности. 3. 1. Если дан отрезок АВ и луч с началом в точке A , то существует такая точка В этого луча, такая, что АВ = А В. Для каждого отрезка АВ требуется, чтобы АВ = ВА. 3. 2. Если отрезок АВ конгруэнтен отрезкам А В и А В , то отрезки А В конгруэнтны между собой. 3. 3. Если точка В лежит между точками А и С, А-В-С, а точка В между точками А и С , А -В -С , и АВ = А В , ВС = В С , то АС = А С. 3. 4. Пусть дан угол и дан флаг (О’, h’, ), то в полуплоскости существует один и только один луч k с началом в точке О , такой, что. Каждый угол конгруэнтен сам себе. 3. 5. Пусть А, В и С – три точки, не принадлежащие одной прямой, А , В и С - так же три точки, не лежащие на одной прямой, пусть АВ = А В , ВС = В С и , тогда.

Основные теоремы, которые вытекают из аксиом конгруэнтности 10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой. 20. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. 30. Отношение конгруэнтности является отношением эквивалентности на множестве углов. 40. Вертикальные углы равны между собой. .

Основные понятия, вводимые с помощью аксиом третьей группы Если даны два отрезка АВ и А В и на отрезке АВ существует такая внутренняя точка С, что отрезка АС и А В конгруэнтны другу, АС = А В , то будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А В , а отрезок А В меньше отрезка АВ. Вводится понятие больше и меньше для углов. Внутренняя точка С отрезка АВ называется его серединой, если АС = СВ , вводится понятие биссектрисы угла Отрезок А С называется суммой отрезков АВ и ВС, если существует такая его внутренняя точка В , что АВ = А В , ВС = В С. Аналогично, вводится понятие сумм углов. Угол называется прямым, если он равен своему смежному углу. Доказываются теоремы: Любые два прямых угла конгруэнтны между собой. Через любую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую.

Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним.

Если при пересечении двух прямых a и b третьей соответственные углы и равны между собой, то прямые а и b не пересекаются.

Аксиомы непрерывности аксиома Архимеда 4. 1. (Аксиома Архимеда). Пусть даны два отрезка АВ и CD. Тогда на прямой АВ существует такая конечная система, состоящая из n точек , расположенных так, что точка лежит между точками Аи , точка - между точками и и так далее. При этом отрезки равны отрезку CD. Тогда точка В лежит между А и.

Аксиомы непрерывности аксиома Кантора Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная система отрезков , , … из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего. Пусть далее, для любого отрезка CD найдется такой номер n, что. Тогда на прямой а существует такая точка Х, которая лежит внутри отрезков , , … …, и т. д. .

Утверждение Дедекинда Пусть дано разбиение точек отрезка [AB] на два класса (множества) и , удовлетворяющих условиям: 1. ; 2. и классы и содержат точки, отличные от А и В; 3 любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса . Тогда существует такая точка отрезка [AB], для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и В - принадлежит классу .

Следствия первых четырех группы аксиом Аксиомы первых четырех групп аксиоматики Гильберта позволяют доказать теоремы о пересечении прямых и окружностей, теорему о существовании перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Строится теория измерения отрезков и углов. Теория же измерения отрезков устанавливает биективное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, при котором сохраняется отношение порядка

Аксиома параллельности • Пусть а – произвольная прямая, А – точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через А и не пересекающей прямую а.

Если даны две непересекающиеся прямые a и b, которые пересечены третьей, то соответственные углы будут равны между собой.

Скачать презентацию Лекция 7 8 Аксиоматика Гильберта трехмерного евклидова пространства

7_8_prezentatsia.ppt

Количество слайдов: 21