Лекция 7 2 критерий Пирсона λ критерий

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Лекция № 7 2 критерий Пирсона λ критерий Колмогорова-Смирнова

Назначения критерия Критерий 2 применяется в двух целях; 1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим - равномерным, нормальным или каким-то иным; 2) для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Описание критерия Критерий 2 отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях. Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем применить критерий.

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретически мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами. При сопоставлении двух эмпирических распределений мы определяем степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических частот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений. Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение 2.

Гипотезы Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задачи которые мы перед собой ставим. Первый вариант: Н 0: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения. Н 1: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант: Н 0: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2. Н 1: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2. Третий вариант: Н 0: Эмпирические распределения 1, 2, 3, . . . не различаются между собой. Н 1: Эмпирические распределения 1, 2, 3, . . . различаются между собой. Критерий 2 позволяет проверить все три варианта гипотез.

Алгоритм расчета критерия 2 1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец). 2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец). 3. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле: = k-1 где k - количество разрядов признака. Если =1, внести поправку на "непрерывность". 5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец. 6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец. 7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как 2 эмп.

8. Определить по таблице критические значения для данного числа степеней свободы . Если 2 эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны. Если 2 эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны. При сопоставлении эмпирических распределений одного и того же признака следует вместо теоретических частот подставлять эмпирическую частоту второй выборки.

Пример. При изучении творческой активности студентов были получены результаты для экспериментальных и контрольных групп. Определите, являются ли значимыми результаты предложенного подхода. Уровень усвоения материала Частота эксп. гр. контр. гр. ni 1 ni 2 Хороший 154 120 34 1156 9, 63 Прибл. 36 49 -13 169 3, 44 Плохой 15 36 -21 441 12, 25 Сумма 205 25, 32

2 эмп=25, 32 2 кр=9, 21 для α=0, 01 и = 2 (стр. 328). Поскольку 2 эмп > 2 кр (25, 32 > 9, 21) , то нулевая гипотеза опровергается на высоком уровне значимости. Это позволяет признать, что разница частот контрольного и экспериментального ряда является статистически достоверной.

λ - критерий Колмогорова-Смирнова является многофункциональным критерием и относится к группе так называемых критериев согласия, предназначенных для проверки гипотез о предполагаемом законе распределения. Можно отметить, что название критерия является обобщенным названием группы статистических критериев, статистики которых определяются с помощью максимального значения разности между (выборочной и теоретической) функциями распределений или же их оценками. Существуют критерии Колмогорова-Смирнова для одной, двух и нескольких выборок.

Одновыборочный критерий предназначен для сопоставления эмпирического и теоретического законов распределений. Необходимость такого сравнения связана с тем, что исследователь в ряде случаев не может заранее точно знать, по какому именно закону распределены полученные значения исследуемого признака, а может только предположить, что распределение подчинено тому или иному закону, например, нормальному. В такой ситуации для установления истинного вида закона распределения ему необходимо проверить статистические гипотезы следующего вида: H 0: распределение исследуемого признака подчинено некоторому закону распределения. H 1: распределение исследуемого признака отлично от некоторого закона распределения.

Двухвыборочный критерий Колмогорова-Смирнова предназначен для сопоставления двух эмпирических распределений. Предположим, что исследователем получены две независимые случайные выборки - x 1, x 2, . . . , xn из совокупности с функцией распределения F(x), y 1, y 2, . . . , yn из совокупности с функцией распределения G(y). Зачастую исследователь должен решить вопрос - получены ли две выборки из одной и той же генеральной совокупности, т. е. подчиняются ли они одному закону распределения, или нет? Для выяснения этого вопроса необходимо проверить следующие гипотезы: H 0: Различия между двумя распределениями имеют случайный характер и, следовательно, недостоверны. H 1: Различия между двумя распределениями статистически достоверны.

Для применения критерия по двум выборкам определяют две эмпирические функции распределения Fn 1(x) и Gn 2(y). Статистика двухвыборочного λ - критерий Колмогорова. Смирнова основывается на определении величины Dn 1, n 2 = sup|Fn 1(z)- Gn 2(z)| , которая является наибольшим отклонением между двумя эмпирическими функциями распределения (символ sup означает наибольшее). Таким образом, для применения критерия Колмогорова-Смирнова необходимо найти максимум отклонения эмпирических распределений сравниваемых выборок. Критерий позволяет определить точку, в которой сумма накопленных расхождений (накопленных частостей) между двумя распределениями является наибольшей, и оценить статистическую достоверность этого расхождения.

Условием применимости рассматриваемого критерия является достаточный объем наблюдений - необходимо, чтобы выборки были достаточно большими. Так для сравнения двух эмпирических распределений необходимо, чтобы n 1 и n 2 было больше 50. При сравнении эмпирического и теоретического распределений иногда допустим меньший объем выборки (n >5).

Алгоритм применение λ критерия при сопоставлении двух эмпирических распределений 1. Задаться уровнем значимости α и сформулировать статистические гипотезы. 2. Построить эмпирические распределения: разбить диапазон варьирования признака на интервалы группировки, произвести группировку вариант, определить соответствующие частоты и частости, накопленные частоты и накопленные частости и составить соответствующие интервальные вариационные ряды. Для удобства можно составить таблицу, в колонках которой будут располагаться номера интервалов группировки, их интервалы, частоты, частости, накопленные частоты и накопленные частости.

3. Определить абсолютные величины разностей накопленных частостей двух выборок для каждого интервала группировки. 4. Определить наибольшую абсолютную величину разности накопленных частостей. 5. Вычислить эмпирическое значение критерия λэмп с помощью соотношения

6. По специальной таблице определить критическое значение λкр критерия Колмогорова-Смирнова для выбранного уровня значимости α. Для стандартных уровней значимости α=0, 05 и α=0, 01 критические значения равны λкр0, 05=1, 36 и λкр0, 01=1, 63 7. Сравнить полученные эмпирическое (λэмп) и критическое (λкр) значения критерия. Если эмпирическое значение критерия не превышает критическое (λэмп≤λкр), то различия между двумя распределениями носят случайный характер и выборки получены из одной генеральной совокупности. В противном случае (λэмп>λкр) различия между распределениями статистически достоверны и выборки относятся к различным генеральным совокупностям.

Пример. В проведении сборов участвуют две группы спортсменов, представляющие два спортивных клуба. Результаты, показанные спортсменами и представленные в виде интервальных вариационных рядов, представлены в таблице. В колонках таблицы представлены частоты (n 1 i; n 2 i), частости (f 1 i; f 2 i) и накопленные частости (F 1 i; F 2 i). Определить, различаются ли законы распределения результатов, показанных спортсменами двух групп.

Скачать презентацию Лекция 7 2 критерий Пирсона λ критерий

07 хи критерий Пирсона_КОЛМОГОР(1).ppt

Количество слайдов: 23