Лекция 7 1 Содержание предыдущей лекции Релятивистская

Лекция 7 1

Содержание предыдущей лекции Релятивистская механика • Парадоксы релятивистской кинематики: сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета. • Преобразования скоростей в релятивистской кинематике. • Релятивистский импульс. • Взаимосвязь массы и энергии в СТО. • Сохранение релятивистского импульса. • Релятивистская энергия. 2

Контрольный вопрос Команда космического корабля смотрит 2 -часовой фильм на борту корабля. Для наблюдателя на Земле, смотрящего тот же фильм с помощью телескопа через иллюминатор корабля, продолжительность фильма: а) > 2 часов, б) < 2 часов, в) = 2 часам. Часы в движущейся системе отсчета кликают реже, чем в неподвижной. а) 3

а б в МА-180 18 7 1 МА-181 12 11 3 МА-182 10 0 11 МА-183 17 3 1 МА-184 13 8 3 ТМО-110 5 6 6 ТМО-111 7 7 3 НИ-108 10 2 10 4

Содержание сегодняшней лекции Механические колебания • Гармонические колебания: амплитуда, частота и фаза колебаний. • Кинематическая и векторная форма представления колебаний. • Идеальный гармонический осциллятор. Уравнение идеального осциллятора и его решение. • Свободные затухающие колебания. • Вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью. • Сложение колебаний. Векторное описание сложения колебаний. Биения, фигуры Лиссажу. 5

Механические колебания Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармонические колебания – часто наблюдаются в природе и технике. Возможность представления периодических процессов иной формы (с другой зависимостью от времени) как наложения нескольких гармонических колебаний. 6

Гармонические колебания Закон Гука: возвращающая сила Fs = - kx = max 7

Кинематическая форма представления гармонических колебаний Решение: Проверка: 8

Кинематическая форма представления гармонических колебаний А, , - параметры колебательного движения. А – амплитуда или максимальное отклонение от положения равновесия, - циклическая или круговая частота, - начальная фаза, - фаза колебательного движения. 9

Кинематическая форма представления гармонических колебаний = 0 0 10

Кинематическая форма представления гармонических колебаний Период Т – время, необходимое для совершения телом полного цикла колебательного движения. Частота колебаний – число колебаний в единицу времени 11

Кинематическая форма представления гармонических колебаний 12

Смещение колеблющегося тела Скорость колеблющегося тела Ускорение колеблющегося тела 13

Векторная форма представления гармонических колебаний Связь между равномерным круговым движением точки Р и гармоническими колебаниями точки Q. Равномерное круговое движение – комбинация двух гармонических колебаний вдоль оси x и вдоль оси y. 14

Затухающие колебания Реальные ситуации: действие, помимо линейной возвращающей силы, неконсервативных сил (таких как сила трения), затрудняющих колебательный процесс. Часто сила сопротивления среды b – коэффициент сопротивления среды, скорость. 15

Затухающие колебания A 0 - собственная частота колебаний системы - коэффициент затухания 16

Затухающие колебания периодические колебания R max < bvmax b/2 m < 0 ния а м жи 0 леб о ре е к > 0 ий /2 m = и к b еск b/2 m чес ч ити bv max оди x и кр = пер > bv ma а R max 17

Затухающие колебания Декремент затухания Логарифмический декремент затухания 18

Затухающие колебания t= : Ne = / T - число полных колебаний за время . Уменьшение амплитуды в exp (- /T ) = exp (-1) раз. /T = Ne = 1, = 1 / Ne. Логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. 19

= 1 / Ne Затухающие колебания Добротность колебательной системы Q = / = Ne. Пропорциональность добротности Q числу колебаний Ne, совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. 20

Вынужденные колебания Возможность компенсации потерь энергии колебаний при затухающих колебаниях за счет внешней силы, совершающей положительную работу над системой. 21

Вынужденные колебания 22

Вынужденные колебания Резонанс – резкое возрастание амплитуды колебаний вблизи собственной частоты колебаний системы. Причина резонанса – вынуждающая сила в фазе со скоростью колебаний системы. b = 0 затухания нет b мало b велико Мощность, сообщаемая осциллятору при резонансе, максимальна. 23

Вынужденные колебания Резонансные кривые при различных уровнях затухания Q 1 (колебательная система без трения) Q 2 Q 3 < Q 2 Q 4 < Q 3 < Q 2 x 0 Низкие частоты (ω << ω0) xm ≈ x 0. Высокие частоты (ω >> ω0) xm → 0. Cмещение резонансной кривой в сторону низких частот при не очень высоких Q (< 10). 24

Резонанс Разрушение моста в результате резонанса. 25

Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью Процесс установления колебаний – переходный процесс. Зависимость процесса установления колебаний: от соотношения между частотами собственных колебаний и вынуждающей силы, а также сдвига по фазе между ними. 26

Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью сдвиг по фазе на π. Частный случай: График изменения вынуждающей силы A x = A sin t -A x = - A exp (- t) sin t График собственных затухающих колебаний x = A [1 - exp (- t)] sin t График результирующих колебаний 27

Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью сдвиг по фазе на π. Частный случай: Завершение процесса: только вынужденные колебания. Малое затухание: результирующее колебание - синусоидальное колебание, амплитуда которого медленно нарастает со временем. Совпадение характерного времени установления колебаний с временем жизни собственных затухающих колебаний в той же системе. 28

Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью Частный случай: сдвиг по фазе на π. График изменения вынуждающей силы График собственных затухающих колебаний График результирующих колебаний 29

Время установления вынужденных колебаний и его связь с добротностью Очень малое затухание собственных колебаний выше добротность, острее резонанс, больше запасаемая системой энергия. Больше времени для сообщения энергии этой системе – медленное установление колебаний. Чем выше добротность, тем дольше происходят в контуре переходные процессы. 30

Векторное представление колебательного движения 31

Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты 32

Сложение колебаний одного направления с близкими частотами Биения – гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой – результат сложения двух гармонических колебаний одного направления, мало отличающихся по частоте. 33

Сложение колебаний одного направления с близкими частотами Медленно изменяющаяся во времени амплитуда - частота биений (пульсаций амплитуды) равна разности частот складываемых колебаний. 34

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами 35

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами - уравнение прямой. 36

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами - уравнение прямой. 37

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами - уравнение эллипса. 38

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами Фигуры Лиссажу Разность фаз - Отношение частот 39

Контрольный вопрос Груз массы m, прикрепленный к пружине, отведен в положение x = А и отпущен. За полный цикл колебаний груз преодолеет путь, равный: а) А/2, б) А, в) 2 А, г) 4 А. 40