Лекция 6. Ядро и матрица бинарного отношения. Отношения эквивалентности
1. Ядро бинарного отношения Ядром бинарного отношения ⊆ A B называется композиция ○ -1 ⊆ A A. Свойства ядра: Утверждение 1. Ядро – симметричное бинарное отношение. Доказательство: (a, b)∈ ○ -1 ⇒ ⇒ ∃c: (a, c)∈ & (c, b)∈ -1 ⇒ ⇒ (b, c)∈ & (c, a)∈ -1 ⇒ ⇒ (b, a)∈ ○ -1.
1. Ядро бинарного отношения Утверждение 2. Ядро не пусто для ≠. Доказательство: (a, b)∈ ○ -1 ⇒ ⇒ (b, a)∈ -1 ⇒ ⇒ (а, a)∈ ○ -1 ⇒ ⇒ ○ -1≠. Утверждение 3. (a, c)∈ & (b, c)∈ Доказательство: (a, c)∈ & (b, c)∈ ⇔ ⇔ (a, c)∈ & (c, b)∈ -1 ⇔ ⇔ (a, b)∈ ○ -1. ⇔(a, b)∈ ○ -1.
2. Матрицы конечных бинарных отношений •
2. Матрицы конечных бинарных отношений 2. Матрица пересечения двух отношений 1∩ 2 sij=1 ⇔ ⇔ (ai, bj)∈ 1∩ 2 ⇔ ⇔ (ai, bj)∈ 1 и (ai, bj)∈ 2 ⇔ ⇔ pij=1 и qij=1. 3. Матрица композиции двух отношений 1○ 2 sij=1 ⇔ ⇔ ∃ck: (ai, ck)∈ 1 & (ck, bj)∈ 2 ⇔ ⇔ pik=1 и qkj=1. Т. е. необходимо перемножить обе матрицы, вместо сложения осуществляя операцию «или» .
2. Матрицы конечных бинарных отношений 4. Матрица обратного отношения -1 - транспонированная матрица исходного отношения . 5. Если одно отношение является подмножеством другого 1⊆ 2, то pij≤qij. 6. Матрица тождественного бинарного отношения I – единичная (диагональная). Матрица универсального бинарного отношения U состоит из всех единиц. Матрица пустого бинарного отношения I – нулевая.
2. Матрицы конечных бинарных отношений 7. Матрица рефлексивного отношения на главной диагонали содержит все единицы, антирефлексивного - все нули. 8. Матрица симметричного отношения симметрична. Матрица антисимметричного отношения антисимметрична. 9. Матрица транзитивного отношения ○ ⊆ ⇔ P P ≤ P.
3. Отношение эквивалентности a b или a b – рефлексивное, симметричное, транзитивное бинарное отношение на множестве A. Класс эквивалентности [x] элемента x: [x]={y∈ A|x y}. Утверждение 1. Классы эквивалентности – непустые множества. Доказательство: x x ⇒ x∈[x]. Утверждение 2. a b ⇒ [a]=[b]. Доказательство: x∈[a] ⇒x a. x a и a b ⇒ x∈[b] ⇒x b. [a]=[b] ⇒ x b и b a ⇒ x∈[a]
![3. Отношение эквивалентности Утверждение 3. a≁b ⇒ [a]∩[b]=. Доказательство: От противного: пусть x∈[a]∩[b] ⇒](https://present5.com/presentation/1/43784220_283081261.pdf-img/43784220_283081261.pdf-9.jpg "3. Отношение эквивалентности Утверждение 3. a≁b ⇒ [a]∩[b]=. Доказательство: От противного: пусть x∈[a]∩[b] ⇒")
3. Отношение эквивалентности Утверждение 3. a≁b ⇒ [a]∩[b]=. Доказательство: От противного: пусть x∈[a]∩[b] ⇒ ⇒ x∈[a] и x∈[b] ⇒ ⇒ x a и x b ⇒ ⇒ a b ⇒ противоречие ⇒ ⇒ [a]∩[b]= Из утверждений следует Теорема. Заданное на множестве отношение эквивалентности определяет разбиение множества A на непустые непересекающиеся классы эквивалентности.
3. Отношение эквивалентности •
ВОПРОСЫ?
Скачать презентацию Лекция 6 Ядро и матрица бинарного отношения Отношения
ДМ6.pptx