Лекция 6 Прямой поперечный изгиб
Свойства деформации изгиба На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. В дальнейшем почти всегда мы будем рассматривать такие брусья, у которых имеется по крайней мере одна плоскость симметрии и плоскость действия нагрузок совпадает с ней. В этом случае деформация изгиба происходит в плоскости действия внешних сил и изгиб называется прямым. волокна, лежащие на выпуклой стороне, растягиваются, лежащие на вогнутой стороне — сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. На нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю. ось
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным. • • Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов можно строить двумя способами. Первый способ заключается в том, что сначала составляют аналитические выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка как функций текущей координаты z поперечного сечения: • Затем по полученным уравнениям строят эпюры. • Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точкам.
Поперечная сила • Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки • . Поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения. • Правило знаков: если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными
Свойства эпюры поперечной силы Q: • В сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно, причем скачок равен модулю этой силы (слева, справа). • На участке, где нет распределенной нагрузки, эпюра поперечных сил представляет собой прямую, параллельную оси (Q – const). • На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра поперечных сил представляет собой наклонную прямую. • Момент не влияет на эпюру поперечной силы.
Изгибающий момент • Изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения. • Правило знаков: если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным
Свойства эпюры изгибающего момента: • В сечении, где приложена пара сил (момент), значение изгибающего момента меняется скачкообразно, причем скачок равен моменту пары. • эпюра моментов от сосредоточенной силы, представляет собой наклонную прямую. • На участке, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра моментов представляет собой параболу выпуклостью (вершиной) навстречу нагрузке. Вершина параболы расположена в сечении, для которого поперечная сила равна нулю (Q =0). • На участке, где нет никаких нагрузок Ми =const – горизонтальная прямая. • На конце балки изгибающий момент равен нулю, если там не приложена пара сил (момент).
Балка под действием сосредоточенных сил Построим эпюры по характерным точкам. Дано: F, a. 1. Найдем реакции опор. Уравнения равновесия: RB – RA – F = 0, ∑MA = RB· 2 a - F·a = 0. Реакции опор: RA = F/2, RB = 1, 5 F. С 2. Эпюра поперечной силы. Строим от левого конца балки: Сеч. А: Q = - RA = - F/2 (см. правило знаков), Сеч. В (слева, не переходя точку В): Q = - F/2. Соединяем эти точки горизонтальной прямой. Проще строить эпюру, идя от Cеч. В (справа): Q = - F/2 + 1, 5 F = F, разных концов: на левом от т. А Cеч. С (слева, до F) : Q = - F/2 + 1, 5 F - F = F. до т. В действует только RA = F/2: Соединяем точки горизонтальной прямой. Q = - F/2 на этом участке. От правого конца до т. В действует только F и Q = F на этом участке.
Балка под действием сосредоточенных сил 3. Эпюра изгибающего момента. Строим от левого конца балки: Сеч. А: МИ = 0, Сеч. В: МИ = RA·а = F/2· 2 а = F·a (см. правило знаков). Соединяем эти точки прямой линией. От правого конца: сеч. С: МИ = 0. Соединяем точки прямой. С
Балка под действием момента Дано: m, a, b. 1. Реакции опор: RA = RB = m/l (самостоятельно). 2. Эпюра поперечной силы. От левого конца А до точки В Q = - RA = -m/l Эпюра Q – горизонтальная прямая. 3. Эпюра изгибающего момента. На концах балки он равен нулю: в сеч. А и В: МИ = 0. Сеч. С (слева, идя от левого конца): МИ = - RA·а = -а·m/l. Соединим точки наклонной прямой. Сеч. С (справа, идя от правого конца): МИ = RB·b = b·m/l. Соединим точки наклонной прямой. С
Балка под действием распределенной нагрузки Дано: q, l. 1. Реакции опор (самостоятельно) : 2. Эпюра поперечной силы. От левого конца: сеч. А: Q = RA = ql/2, сеч. В: Q = RA – ql = ql/2 – ql = - ql/2. Соединим точки наклонной прямой. 3. Эпюра изгибающего момента. На концах балки он равен нулю: в сеч. А и В: МИ = 0. Построим параболу выпуклостью вверх (навстречу распределенной нагрузке). Ее вершина находится в точке z = l/2, где Q = 0. Значение изгибающего момента в этой точке МИ = ql/2 ·l/4 = ql 2/8.
Дифференциальные зависимости при изгибе • Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского: поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки. • • Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.
Нормальные напряжения при изгибе • Максимальное (по модулю) значение нормальные напряжения будут иметь в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси: где момент сопротивления сечения при изгибе. Условие прочности. Нормальное напряжение в опасном сечении, не должно превышать допускаемое
Виды расчетов на прочность при изгибе 1. Проверочный расчет на прочность: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра изгибающего момента, определяется его максимальное значение, вычисляется момент сопротивления сечения и проверяется выполнение условия прочности. 2. Проектный расчет на прочность - конструирование балки – определение размеров ее поперечного сечения. Строится эпюра изгибающего момента, определяется его максимальное значение, из условия прочности (для случая равенства) вычисляется момент сопротивления сечения и подбираются размеры поперечного сечения. 3. Определение максимально допустимой нагрузки по условию прочности. Заданы размеры балки, характер нагрузки, материал балки. Строится эпюра изгибающего момента в зависимости от неизвестной пока нагрузки, определяется его максимальное значение, вычисляется момент сопротивления сечения и из условия прочности (для случая равенства) вычисляют допустимую нагрузку.
Касательные напряжения при изгибе • Формула Журавского. Касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно нейтральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон. • Расчет на прочность. Большинство балок рассчитывают только по нормальным напряжениям; три вида балок следует проверять по касательным напряжениям: 1) деревянные балки, так как древесина плохо работает на скалывание; 2) узкие балки (например, двутавровые), так как максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя; 3) короткие балки Условие прочности по касательным напряжениям: • •
Пример расчета на прочность • • • Определить номер профиля консольной балки двутаврового сечения, если допускаемое напряжение при изгибе [σ] = 120 МПа, F = 2000 Н, q = 4000 Н/м, l = 2 м. Решение. Очевидно, что у данной балки, работающей на изгиб, максимальный изгибающий момент будет в заделке и определится по формуле: • • Подставив данные, получим абсолютное значение момента Расчетное уравнение на прочность при изгибе имеет вид: отсюда • Найдя по таблицам сортамента ближайшее большее значение для Wx, выбираем двутавровое сечение № 12, для которого Wx = 58, 4 см 2.
Частные случаи • для балки прямоугольного сечения • для балки круглого сечения
Рациональные формы поперечных сечений при изгибе • Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. • для обеспечения максимальной прочности ось, относительно которой момент инерции максимален, должна быть нейтральной. • Менее всего нагружен материал вблизи нейтрального слоя, поэтому его можно частично убрать при незначительной потере прочности: двутавр, коробчатые балки.
Профили стандартного проката а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок.
Перемещения при изгибе • Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом у и углом поворота поперечного сечения, который равен углу α наклона касательной к упругой линии по отношению к оси z балки. α
Упругая линия балки • Рассмотрим балку постоянного сечения. • обобщенное уравнение прогибов • обобщенное уравнение углов поворота сечений где - угол поворота сечения и прогиб балки на левом конце (в начале координат). Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z — вправо y q z
Упругая линия балки • • • Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов. Положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; положительное значение а означает поворот сечения против часовой стрелки, и наоборот. Учитываются нагрузки, лежащие слева от рассматриваемого сечения. y q z
Упругая линия балки z Балки нередко проверяют или При пользовании обобщенными рассчитывают на жесткость. уравнениями : Условие жесткости заключается в 1) для балки, жестко защемленной левым том, что максимальный прогиб концом, (стрела прогиба f) или 2) для балки, левый конец которой лежит на максимальный угол поворота не опоре, = 0 должны превышать допускаемых Для определения следует составить величин. Расчетные уравнения на уравнение прогибов для второй опоры и жесткость имеют вид: приравнять его нулю; 3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения
Пример Определить прогиб у. B свободного конца консольной балки АВ, изгибаемой сосредоточенной силой F. Решение. Реакция RA и момент защемления т. А соответственно равны: • RA =F, т. А =Fl. • Учитывая, что y 0 = 0, α 0= 0, из обобщенного уравнения прогибов находим • EI у. B = RA l 3/6 - т. А l 2/2. • Подставив значения RA и т. А, получим
Косой изгиб • • Изгиб, при котором плоскость действия нагрузок не совпадает ни с одной из главных осей сечения, называется косым. Разложим силу F на две составляющие, направленные по главным осям сечения, и сведем косой изгиб к прямым изгибам в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что опасное сечение будет в заделке и максимальные изгибающие моменты таковы:
Косой изгиб • Очевидно, что максимальное напряжение растяжения возникает в точке D, а максимальное напряжение сжатия в точке Е опасного сечения. Эпюры нормальных напряжений показаны на том же рисунке. • • Прогиб в направлении оси х равен Прогиб в направлении оси у будет • Суммарный прогиб f определится по формуле • Обозначив угол γ между направлением суммарного прогиба и осью х, получим • Т. е. при косом изгибе плоскость прогиба не совпадает с плоскостью действия нагрузок.
Скачать презентацию Лекция 6 Прямой поперечный изгиб Свойства деформации
6.Изгиб.ppt