Лекция 6 Несобственный интеграл Сходимость Признаки сходимости НИ

Лекция 6 Несобственный интеграл Сходимость. Признаки сходимости. НИ 1 -го и 2 -го рода. Условная и абсолютная сходимость.

Продолжение рассмотрения НИ 1 рода o Рассмотрим интервал: полагаем, что интегрируема на тогда функция , т. е. такая, что: или Если существуют конечные пределы в правой части, то НИ сходится, если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то НИ расходится.

Свойства сходящихся НИ o Свойство 1: Если НИ сходится и НИ: o сходится, то и Свойство 2: Если сходятся НИ: то сходится и НИ: и , где

Примеры: o o o Пример 1: Рассмотрим НИ: Т. к. , то НИ расходится, если НИ сходится если Пример 2: Рассмотрим НИ: ,

Признаки сходимости НИ от неотрицательных функций 1. Признак сравнения: Пусть даны НИ: Тогда из сходимости НИ (2) следует сходимость НИ (1) и из расходимости НИ (1) следует расходимость НИ (2). Доказательство: Из условия: следует: Если теперь НИ (2)сходится, то левая часть неравенства ограничена числом:

Примеры на сходимость НИ o Так как левая часть при возрастании «В» является монотонно возрастающей, то она также стремится к пределу: Наоборот, из расходимости (1)следует, что предел левой части при равен , а следовательно, и. Пример 3. Рассмотрим НИ , заметим, что . Далее (см. пример1), имеем:

Примеры на сходимость НИ o НИ - сходится, т. к. следует, что НИ Пример 4. И отсюда также сходится. Рассмотрим НИ . Заметим, что: Отсюда следует, что т. к. , но НИ - расходится, Расходится и исходный НИ.

Признак эквивалентности o Если , то НИ (1) и (2) – сходятся или расходятся одновременно. Доказательство: Из определения предела следует, что , далее, по предыдущему признаку сравнения, имеем: из сходимости (2) следует сходимость (1) и наоборот.

Пример 5 на признак эквивалентности o Пример 5: исследовать на сходимость НИ: Рассмотрим в качестве функции: Найдём такое число при котором Рассмотрим:

Пример 6 на признак эквивалентности o Исследовать на сходимость НИ: Здесь подынтегральная функция имеет вид: Рассмотрим в качестве эквивалентной функции: Анализируем подынтегральную функцию: в её знаменателе главной частью является выражение тогда эквивалентна функции После чего находим: сходится, тогда сходится исходный НИ.

Определения o o o Определение 2: НИ сходящимся, если НИ -сходится. называется абсолютно Определение 3: НИ называется условно сходящимся, если он сходится, но НИ интеграл является расходящимся. Признак абсолютной сходимости НИ. Если НИ абсолютно сходится, то он является сходящимся. Обратное НЕ верно.

Примеры на абсолютную и условную сходимость o Пример 7. Исследовать на сходимость НИ: Подынтегральная функция не является неотрицательной. По определению НИ: Далее, производя интегрирование по частям интеграла, стоящего под знаком предела, получаем: Первый из интегралов стремится к нулю, последний из них абсолютно сходится. Поэтому исходный – сходится. Проверим его на абсолютную сходимость.

Продолжение примера 7 o Рассмотрим НИ: Первый из полученных слагаемых является расходящимся интегралом, поэтому исходный расходится.

Пример 8 на признак абсолютной сходимости o Пример 7. Исследовать на сходимость НИ: Рассмотрим: т. е. НИ абсолютно сходится.

Признак Дирихле (условной сходимости) o Пусть функция непрерывна на рассматриваемом промежутке и определена и является убывающей в том же промежутке, более того: тогда: НИ является сходящимся условно. Пример 9: Вернёмся к примеру 7. Заметим, что Функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, значит исходный НИ условно сходится.

НИ 2 -го рода o Пусть функция определена в окрестности и неограничена в ней, т. е. тогда интеграл называется НИ 2 -го рода и по определению: Аналогично, Если последние пределы существуют и конечны, то НИ называются сходящимися. Если же они не существуют или равны бесконечности, то они называются расходящимися.

Эталонные НИ 2 го рода o o Для несобственных интегралов 2 -го рода признаки сходимости сформулированные для НИ 1 -го рода верны. Пример 9. Если , то НИ сходится, если расходится. Эталонный НИ представляет вид: сходятся если , расходятся, если , то они

Комбинированный вариант o Если функция в некоторой точке неограниченного промежутка интегрирования неограничена, то НИ может быть представлен в виде суммы НИ 1 -го и 2 -го родов: