ЛЕКЦИЯ 6 МОДУЛЬ 3 ГИПЕРГРАФЫ основные понятия

ЛЕКЦИЯ № 6 МОДУЛЬ 3 ГИПЕРГРАФЫ основные понятия

Стартовое определение: • Гиперграф — совокупность из множества вершин и множества гиперрёбер (подмножество n-й евклидовой степени множества вершин, то есть гиперрёбра соединяют произвольное количество вершин).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ • H=(X, U, P) – неориентированный гиперграф, где: X = {xi} – множество вершин, • U = {uk} – множество ребер, • Р – двухместный предикат, определяемый на множестве всех пар (x, u) и называемый инцидентором. • Инцидентор порождает множество пар • F(P)={(x, u)|P(x, u), x X, u U}, • для которых P(x, u)=1.

Множество F(P) называется областью истинности предиката Р и является теоретикомножественным способом задания гиперграфа. Вершины x X и ребра u U – это элементы гиперграфа H=(X, U, P). Вершина xi и ребро uj инцидентны в гиперграфе, если истинно P(xi, uj), т. е. (xi, uj) F(P). Две вершины xi и xk смежны в гиперграфе H, если существует ребро uj U, которому они инцидентны.

Аналогично, два ребра uj и us смежны, если существует вершина xi X, инцидентная этим ребрам. • Понятие смежности характеризует однотипные элементы гиперграфа, а понятие инцидентности – разнотипные. Вторым способом задания гиперграфа H=(X, U, P) является матрица инциденций гиперграфа: rij = 1, если (xi, uj) F(P), xi X, uj U, rij = 0 в противном случае.

• Геометрически неориентированный гиперграф можно представить в виде вершинкружочков, охваченных замкнутыми линиями, которые представляют собой ребра, инцидентные этим вершинам. • ПРИМЕР: пусть задан гиперграф H=(X, U, P), где X={x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}; U={u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6}; F(P) = {(x 1, u 2), (x 1, u 3), (x 1, u 5), (x 2, u 3), (x 2, u 5), (x 2, u 6), (x 3, u 1), (x 3, u 2), (x 3, u 5), (x 4, u 1), (x 4, u 3), (x 5, u 2), (x 5, u 3), (x 5, u 4), (x 5, u 5)}, где • (xi, uj) – пары, для которых инцидентор Р=1.

• Таким образом выполнено задание графа в теоретико-множественном виде. • Запишем матрицу инцидентности RH: • u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 • x 1 0 1 0 • x 2 0 0 1 1 • R H= x 3 1 1 0 0 1 0 • x 4 1 0 0 0 • x 5 0 1 1 0

Графическое представление гиперграфа H=(X, U, P) • 1 u 2 u 4 • 2 • u 6 5 • 3 • • u 5 u 1 u 3 4 вариант 1

Графическое представление гиперграфа H=(X, U, P) • • 1 u 3 2 u 6 3 5 u 1 u 5 u 4 4 u 2 вариант 2

Графическое представление гиперграфа H=(X, U, P) 1 • u 5 • u 6 • u 2 • • • Вариант 3. 2 5 3 u 4 4 u 3 u 1

Сопоставим каждой вершине x X гиперграфа H множество ребер • U(x)={u U|(x, u) F(P)}. • Степенью вершины называется число • (x)=|U(x)|. • Любому ребру u U сопоставим множество вершин • X(u)={x X|(x, u) F(P)}. • Степенью ребра называется число • (u)=|X(u)|.

• Если для каждого ребра гиперграфа H=(X, U, P) получено множество X(uj), то обозначив эти множества через ej=X(uj), получим множество E = {ej}, где j J - множество ребер гиперграфа H=(X, U, P). В этом случае гиперграф H=(X, U, P) эквивалентно задается как H=(X, E). Это другой теоретико-множественный способ задания неориентированных гиперграфов.

ПРИМЕР: Для заданного гиперграфа H=(X, U, P) находим множество Е и задаем гиперграф в виде H=(X, E): Е = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6}; e 1 = X(u 1) = {x 3, x 4}; e 2 = X(u 2) = {x 1, x 2, x 5}; e 3 = X(u 3) = {x 1, x 2, x 4, x 5}; e 4 = X(u 4) = {x 5}; e 5 = X(u 5) = {x 1, x 2, x 3, x 5}; e 6 = X(u 6) = {x 2}.