Лекция 6 Минимизация логических функций Вопросы 1 Не

Лекция 6 Минимизация логических функций. Вопросы: 1. Не полностью определенные логические функции. 2. Метод непосредственного упрощения. 3. Минимизация не полностью определенных логических функций и функций с обратной связью.

1. Не полностью определенные логические функции. Логические функции, значение выходного сигнала которых задано не на всех наборах комбинаций входных сигналов, являются не полностью определенными. Алгоритмы дискретного управления технологическим оборудованием часто описываются не полностью определенными логическими функциями. Пример 1. На рисунке 1 а приведена технологическая схема вывода молока из-под вакуума, содержащая молочный насос, два герконовых датчика верхнего и нижнего уровня молока в молочном релизе и поплавок с магнитами. На рисунке 1 б дана диаграмма тактов, описывающая алгоритм работы этой схемы. Принятые условные обозначения: Х 1 – сигнал датчика нижнего уровня; Х 2 – сигнал датчика верхнего уровня;

Рисунок 1 – Управление молочным насосом.

Y – сигнал управления насосом. Как следует из принципа действия герконовых датчиков уровня и требований технологического процесса комбинация входных сигналов Х 1=1 И Х 2=1 при нормальном режиме функционирования системы является невозможной. Поэтому на диаграмме тактов эта комбинация входных сигналов не отражена. Согласно диаграмме тактов (рисунок 1 б) составлена таблица истинности – таблица 1. Таблица 1 № такта Обозн. 0 а 0, а 1 1 б 2 в 3 − Х 1 0 0 1 Х 2 0 1 0 Y 0, 1 1 0 Y 1 0, 1 1 0 Y 2 0, 1 1 0 Y 3 0, 1 1 0 1 1 − 0 1 0, 1

Признаком не полностью определенных логических функций является наличие тактов в таблице истинности, на которых значение функции не задано (это такт № 3 для примера 1). Если число неопределенных тактов равно – К, то этот алгоритм управления может быть реализован числом схем, равным: Применительно к рассматриваемому примеру в таблице 1 для К=1 приведены три возможных алгоритма работы – это сигналы Y 1, Y 2, Y 3. Минимизировать большое количество схем и выбирать из них одну, содержащую минимум элементов (например, для К=1 С=3, К=2 С=9, К=3 С=27 и т. д. ) – громоздкий и неэффективный путь. В этом случае надо на неопределенных тактах присвоить функции значение, равное 0, выполнить ее минимизацию, а затем учесть комбинации входных сигналов на неопределенных наборах. Применительно к таблице 1 можно записать СДНФ для Y 1 в виде:

2. Метод непосредственного упрощения. Этот метод (метод Квайна) используется для минимизации логических функций двух-трех переменных. Логическая функция должна быть обязательно задана в канонической форме в виде СДНФ или СКНФ. Минимизация методом Квайна проводится в два этапа в следующей последовательности: 1 шаг – последовательно, начиная с первого члена, сравнивают между собой все члены логической функции (1 -2, 1 -3, . . . , 2 -3, 2 -4, . . . и т. д. ) на выявление возможности выполнения операции склеивания - ; склеивающиеся члены подчеркивают , а неподчеркнутые члены (если они есть) добавляют в полученное выражения (для СДНФ – при помощи операции ИЛИ, для СКНФ – И); 2 шаг – в полученном по п. 1 выражении проверяют возможность выполнения операции поглощения -

3 шаг – проверяют возможность повторения действий согласно 1 шагу и 2 шагу; этот процесс продолжается до тех пор, пока есть возможности выполнения операций склеивания и поглощения; итоговым результатом этих действий является минимизированная форма записи логической функции. 4 шаг – в виду того, что некоторые члены исходной функции участвовали в операциях склеивания более одного раза, то в итоговом выражении, полученном на 3 шаге, могут появиться избыточные ЭК; для их исключения необходимо построить таблицу реализаций – в столбцах этой таблицы представлены все исходные члены (это КЕ (КН) заданной логической функции), а строки представляют собой ЭК (ЭД) ее минимизированного уравнения; для нахождения минимального покрытия отмечают значком «+» клетки пересечения строк и столбцов, в которых ЭК (ЭД) входят в исходные КЕ (КН), а затем выполняют поиск минимального покрытия, отмечая символом «(+)» , т. е. ЭК (ЭД), которые полностью покрывают исходные КЕ (КН); для столбцов с одним символом «+» строка ЭК (ЭД) является обязательной.

Пример 2 – минимизировать функцию в виде СДНФ. Согласно 1 шагу выполним операции склеивания, т. е. склеиваются следующие члены 1 -2, 2 -3, 2 -4, 3 -5, 4 -5. Не подчеркнутых членов в исходном выражении нет, в итоге получим выражение: В этом выражение согласно 2 шагу операции поглощения отсутствуют. Поэтому переходим к 1 шагу и выполняем операции склеивания. Склеивающимися членами являются 2 -5 и 3 -4, их подчеркивают, а не подчеркнутый член 1. В итоге получим выражение В этом выражении согласно 2 шагу выполним операцию поглощения для 2 и 3 членов, т. е. получим выражение Повторение 1 и 2 шагов далее является не возможным. Согласно 4 шагу построим таблицу реализаций – таблица 2.

Таблица 2 – Таблица реализаций к примеру 2. Полученные ЭК Исходные КЕ (+) (+) (+) Как следует из данных таблицы 2, избыточных членов в минимизированном выражении нет. В результате минимизация функции завершена, полученное выражение является окончательным результатом. Пример 3 – минимизировать функцию в виде СДНФ. Согласно 1 шагу выполним операции склеивания, т. е. склеиваются следующие члены 1 -2, 1 -3, 2 -4, 4 -5. Не подчеркнутых членов в исходном выражении нет, в итоге получим выражение:

В этом выражение согласно 2 шагу операции поглощения отсутствуют. Повторение 1 и 2 шагов далее является не возможным. Согласно 4 шагу построим таблицу реализаций – таблица 3. Таблица 3 – Таблица реализаций к примеру 3. Полученные ЭК Исходные КЕ Х Х (+) (+) (+) Как следует из данных таблицы 3, избыточным членом в минимизированном выражении является ЭК – . В результате минимизация функции завершена, окончательное выражение минимизированной функции имеет вид:

Пример 4 – минимизировать функцию в виде СКНФ. Согласно 1 шагу выполним операции склеивания, т. е. склеиваются следующие члены 1 -2, 1 -4, 2 -3, 3 -4, 4 -5. Не подчеркнутых членов в исходном выражении нет, в итоге получим выражение: В этом выражение согласно 2 шагу операции поглощения отсутствуют. Поэтому переходим к 1 шагу и выполняем операции склеивания. Склеивающимися членами являются 1 -4 и 2 -3, их подчеркивают, а не подчеркнутый член 5. В итоге получим выражение В этом выражении согласно 2 шагу выполним операцию поглощения для 1 и 2 членов, т. е. получим выражение: Это выражение является окончательным результатом.

3. Минимизация не полностью определенных логических функций и функций с обратной связью. Для не полностью определенных логических функций не на всех возможных наборах комбинаций входных сигналов в таблице истинности определены значения выходного сигнала. Эта ситуация возможна как для комбинационных, так и для последовательностных логических функций. При заполнении таблицы истинности на неопределенных наборах логической функции вместо значений выходного сигнала ставится прочерк. Минимизация и анализ всех С вариантов реализации неопределенной логической функции с целью выбора самого оптимального из них является громоздкой задачей уже начиная со значения К≥ 2, т. к. при этом С≥ 9. Для получения лишь одного варианта реализации следует учитывать особенности технологического процесса.

Пример 6. На рисунке 2 приведены две технологические схемы подачи воды, имеющие различные алгоритмы функционирования. Рисунок 2 а – в бак поступает случайный во времени поток воды Q, от электродных датчиков уровня НУ и ВУ поступают дискретные сигналы при достижении водой заданного уровня их установки; насос Н должен включаться при достижении водой верхнего уровня – ВУ; насос Н отключатся при опорожнении бака и исчезновении сигнала от датчика нижнего уровня – НУ. Дискретная схема управления содержит два входных сигнала НУ и ВУ и один выходной сигнал Н. Вводим условные обозначения: 0 – отсутствие сигнала; 1 – наличие сигнала; НУ и ВУ – сигналы на входе, т. е. от датчиков нижнего и верхнего уровня; Н – сигнал на выходе, т. е. управления электродвигателем насоса.

Рисунок 2 – Технологические схемы подачи воды: а – при опорожнении бака; б – при наполнении бака; Н – насос; ОЭ – общий электрод; НУ – нижний уровень; ВУ - верхний уровень; Q=var – случайный расход воды.

Составляем логические высказывания: исходное состояние НУ=0 И ВУ=0 – Н=0; при НУ=1 И ВУ=0 – Н=0; при НУ=1 И ВУ=1 – Н=1; при НУ=1 И ВУ=0 – Н=1; при НУ=0 И ВУ=0 – Н=0. Построим диаграмму тактов для технологической схемы подачи воды при опорожнении бака (рисунок 2 а) – рисунок 3 а. Диаграмма тактов, приведенная на рисунке 2. 4 а, содержит два неоднозначных такта: б 0, б 1; они свидетельствуют о наличии контуров обратной связи, т. е. это последовательностная логическая функция. Таблица истинности, составленная согласно логическим высказываниям и диаграмме тактов, представлена в таблице 2. 9; в ней на наборе 2 наличие неоднозначных тактов отражено символами 0, 1. Как следует из таблицы 4, эта функция является не полностью определенной, т. к. на такте номер 1 значение ее выходного сигнала не задано.

Рисунок 3 – Диаграммы тактов

Таблица 4 – Таблица истинности к примеру на рисунке 2 а. Номер такта 0; а 1 2; б 0, б 1 НУ 0 0 1 ВУ 0 1 0 Н 0 0, 1 На 0 1 0, 1 3; в 1 1 Согласно описанию технологического процесса подачи воды при опорожнении бака в нормальном режиме работы комбинация входных сигналов НУ=0 И ВУ=1 является невозможной. Для обеспечения правильной работы оборудования во внештатных ситуациях следует на неопределенном такте – 1 присвоить выходному сигналу значение Н=1. В этом случае при комбинации входных сигналов НУ=0 И ВУ=1 (она возможна при обрыве сигнальной цепи датчика НУ) переполнения бака поступающей водой не произойдет. следовательно, в таблицу 4 с учетом этого допущения добавим столбец – На.

СДНФ для заданной в таблице 4 логической функции имеет вид: Минимизацию выполним методом непосредственного упрощения для Y 1 Y 2, т. е. Таблицу реализаций в данном примере строить не требуется. Алгоритм управления насосом при опорожнении бака примет вид:

Рисунок 2 б – из бака вытекает случайный во времени поток воды Q, от электродных датчиков уровня НУ и ВУ поступают дискретные сигналы при достижении водой заданного уровня их установки; насос Н должен включаться при опорожнении бака и исчезновении сигнала от датчика нижнего уровня – НУ; насос Н отключается при достижении водой верхнего уровня – ВУ. Дискретная схема управления содержит два входных сигнала НУ и ВУ и один выходной сигнал Н. Вводим условные обозначения: 0 – отсутствие сигнала; 1 – наличие сигнала; НУ и ВУ – сигналы на входе, т. е. от датчиков нижнего и верхнего уровня; Н – сигнал на выходе, т. е. управления электродвигателем насоса. Составляем логические высказывания:

исходное состояние НУ=0 И ВУ=0 – Н=1; при НУ=1 И ВУ=0 – Н=1; при НУ=1 И ВУ=1 – Н=0; при НУ=1 И ВУ=0 – Н=0; при НУ=0 И ВУ=0 – Н=1. Построим диаграмму тактов для технологической схемы подачи воды при наполнении бака (рисунок 2 б) – рисунок 3 б. Диаграмма тактов, приведенная на рисунке 3 б, содержит два неоднозначных такта: б 0, б 1; они свидетельствуют о наличии контуров обратной связи, т. е. это последовательностная логическая функция. Таблица истинности, составленная согласно логическим высказываниям и диаграмме тактов, представлена в таблице 5; в ней на наборе 2 наличие неоднозначных тактов отражено символами 0, 1. Как следует из таблицы 5, эта функция является не полностью определенной, т. к. на такте номер 1 значение ее выходного сигнала не задано.

Таблица 5 – Таблица истинности к примеру на рисунке 2 б. Номер такта 0; а 1 2; б 0, б 1 НУ 0 0 1 ВУ 0 1 0 Н 1 0, 1 Нб 1 0 0, 1 3; в 1 1 0 0 Согласно описанию технологического процесса подачи воды при наполнении бака в нормальном режиме работы комбинация входных сигналов НУ=0 И ВУ=1 является невозможной. Для обеспечения правильной работы оборудования во внештатных ситуациях следует на неопределенном такте – 1 присвоить выходному сигналу значение Н=0. В этом случае при комбинации входных сигналов НУ=0 И ВУ=1 (она возможна при обрыве сигнальной цепи датчика НУ) переполнения бака поступающей водой не произойдет. следовательно, в таблицу 5 с учетом этого допущения добавим столбец – Нб.

СДНФ для заданной в таблице 5 логической функции имеет вид: Минимизацию выполним методом непосредственного упрощения только Y 1, для Y 2 проводить минимизацию не требуется, т. е. Таблицу реализаций в данном примере строить не требуется. Алгоритм управления насосом при наполнении бака примет вид: В случае, если особенности технологического процесса не существенны, то минимизацию не полностью определенных логических с целью уменьшения числа рассматриваемых вариантов рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

- в таблице истинности на всех неопределенных наборах выходным сигналам логической функции присваивают значение логического 0, получается полностью определенная дополнительная таблица истинности; - проводят минимизацию дополнительной таблицы истинности, используя ее аналитическую запись в виде СДНФ методом непосредственного упрощения или методом Квайна. Мак-Класски; - определяют комбинации значений входных сигналов, приводящих к неопределенной логической функции (как правило, это комбинации только двух входных сигналов); - упрощают минимизированное выражение за счет учета несуществующих комбинаций входных сигналов на ее неопределенных наборах – согласно данным таблицы 6.

Таблица 6 – Таблица учета несуществующих комбинаций сигналов. Сигналы Неопределенные наборы Х 1 0 0 1 1 Х 2 0 1 0 0 Х 2 0 Х 1 Х 2 Х 1 0 Заданная логическая функция (таблица 7) является неопределенной, она не определена на 1 и 5 тактах. Присвоим на этих тактах выходной переменной значения логического 0. Запишем СДНФ и выполним минимизацию методом непосредственного упрощения. Пример 7: минимизировать логическую функцию Y=f(X 1, X 2, X 3), заданную таблицей истинности – таблица 7.

Таблица 7 – Таблица истинности к примеру 7. № такта Х 1 Х 2 Х 3 Y Y* 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 3 4 5 6 7 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1

Анализ комбинаций входных переменных на неопределенных тактах показывает, что функция не определенна на тактах 1 и 5 изза комбинации входных сигналов Х 2=0 И Х 3=1. Это существенно в минимизированном выражении применительно к члену Х 2∙Х 3. Согласно данным таблицы 6 (третий столбец-седьмая строка), следует, что . С учетом изложенного минимизированный алгоритм управления имеет вид: