Лекция 6 Магнитное поле постоянных токов 1

Лекция 6 Магнитное поле постоянных токов 1

Вихревой характер магнитного поля. Скалярный потенциал вне области токов. Уравнения магнитного поля постоянных токов имеют вид: Первое уравнение указывает, что магнитное поле является вихревым. В областях где (наличие постоянных токов) нельзя указать скалярную функцию вида Uм(x, y, z), градиент которой пропорционален вектору поля Н Так как rot grad Uм = 0 при этом оказалось бы всюду rot H = 0, (что не соответствует условию). Поэтому вихревое поле не является потенциальным. В областях пространства, где плотность тока равна нулю (J = 0) имеем rot H = 0, следовательно 2

Величину Uм называют скалярным потенциалом магнитного поля. Индекс «м» отличает магнитный потенциал от электрического. Тогда Потенциал одинаков во всех точках поверхности, которая пересекает линии напряженности поля под прямым углом. Такую поверхность называют Поверхностью равного магнитного потенциала. Ее уравнение имеет вид: Uм (x, y, z) = const. Если обозначить через dn перемещение в сторону вектора Н по нормали к поверхности равного потенциала, то будем иметь: 3

Скалярный магнитный потенциал используется для областей пространства где J = 0. Однако и здесь Uм является многозначной функцией. Рассмотрим магнитное поле около контура с током. Линейный интеграл напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру не охватывающего контура равен нулю: Для пути A-n-B-m-A справедливо: или 4

Если выбрать замкнутый путь например A-l-C- m-A, который охватывает контур тока i, то линейный интеграл напряженности не равен нулю откуда Путь A-r-B-m-A охватывает два раза контур с током i , тогда 5

Интеграл по некоторому пути A-x-B может отличаться от интеграла по пути A-m-B на величину ki, где k – целое число Совместив точку В с точкой Р, в которой потенциал равен нулю, получим: Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной. 6

Векторный потенциал магнитного поля токов Вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора А: Вектор А носит название векторного потенциала магнитного поля. Найдем выражение векторного потенциала, чтобы были справедливы уравнения: 7

Умножим правую и левую части первого уравнения на абсолютную магнитную проницаемость среды , тогда: и так как B = rot A , то имеем: Для проекции на ось ОХ можно записать: 8

Или в развернутом виде: Полученное уравнение – уравнение Пуассона, совпадающее с уравнением Пуассона для электрического потенциала, если заменить A на U и Jx на /. Поэтому его решение можно написать по аналогии с решением Уравнения для электрического потенциала Заменяя U на Ax и / на Jx , получим 9

Аналогично для других проекций на оси координат, имеем что можно записать кратко: 10

Представим элемент объема проводника в виде d. V = dl d. S , где d. S – элемент поперечного сечения и dl – элемент длины проводника, тогда 11

Выражение магнитного потока и энергии магнитного поля через векторный потенциал Магнитный поток Ф сквозь некоторую поверхность S связан с векторным потенциалом магнитного поля А Согласно теореме Стокса следовательно Таким образом, магнитный поток сквозь поверхность S равен линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому 12 контуру, ограничивающему эту поверхность.

Вычисление энергии магнитного поля на основе выражения сопряжено с большими трудностями, поскольку необходимо рассчитать напряженность Н и индукцию В магнитного поля во всех точках бесконечного пространства. Для упрощения выражения воспользуемся известными зависимостями 13

Подставив полученное в выражение для мощности, имеем: Можно показать, что второе слагаемое стремится к нулю, тогда выражение для мощности магнитного поля принимает вид: Таким образом мы показали, что с помощью векторного потенциала упрощаются важные положения теории магнитного поля. 14