Лекция 6 Кривые линии Кривые линии.

Лекция 6 Кривые линии

Кривые линии. Основные понятия n Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по разному. В геометрическом моделировании кривую рассматривают как: n траекторию, описанную движущейся точкой; n проекцию другой кривой; n линию пересечения двух поверхностей; n как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством. n Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т. е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую.

Способы задания кривой n Различны и способы задания кривой линии: n аналитический – кривая задана математическим уравнением; n графический – кривая задана визуально на носителе графической информации; n табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек. n В основу классификации кривых положена природа их уравнений. n Уравнением кривой линии называется такое соотношение между переменными, которому удовлетворяют координаты точки, принадлежащей кривой. n Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные в зависимости от того является ли их уравнение алгебраическим или транцендентным в прямоугольной системе координат. n Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные пространственными

Кривые поверхности могут быть заданы Кривые поверхности Образованные Заданные каркасом кинематическим способом Линейные Нелинейные Линейные каркасы Точечные каркасы поверхности Параллельного Развертываемые переноса Задаваемые сетью Винтовые Топографические С направляющей плоскостью Графические Вращения

КРИВЫЕ ЛИНИИ И ИХ ПРОЕКЦИИ Плоские кривые Плоской кривой называют линию, все точки которой лежат в од- ной плоскости, определяемой любыми тремя точками этой кривой и не лежащими на одной прямой. Наиболее часто встречающимися на практике плоскими кривыми являются кривые второго порядка: окружность, эллипс, парабола и гипербола. Порядок кривой определяется степенью их алгебраического уравнения или максимальным числом точек пересечения ее с прямой. Говоря о кривых второго порядка, имеют в виду, что они пересекаются с прямой не более чем в двух точках. К плоским кривым относятся также различные закономерные кривые: синусоида, циклоида, архимедова спираль и другие. Известные свойства параллельного проецирования позволяют установить, какие свойства кривых сохраняются у их проекций. Так касательная к кривой проецируется как касательная к ее проекции, а линия пересекающая плоскую кривую– как пересекающая проекцию плоской кривой. При этом число точек пересечения с кривой сохраняется, что означает, что порядок плоской кривой при параллельном проецировании сохраняется. Кривую линию называют гладкой кривой, если в каждой из ее точек можно провести только одну касательную t, непрерывно изменяющуюся от точки к точке.

Различают обыкновенные и особые точки кривых. На рисунке кроме обыкновенной точки М, показаны некоторые особые точки: N- точка перегиба, Р- точка возврата первого рода, Q- точка возврата второго рода, R- узловая точка, Т- точка излома. При проецировании все эти особенности точек кривой сохраняются, что позволяет судить о характере плоской кривой по ее проекции. Построение проекций плоской кривой линии, лежащей в плоскости общего положения удобно производить при помощи выше описанного способа совмещения. Построение проекций точек кривой линии выполняют так же, как и для точек плоского многоугольника.

Пространственные кривые Пространственными называют такие кривые, точки которых не лежат в одной плоскости. Как и у плоских кривых, у пространственных кривых могут быть особые точки. Но если особенности плоских кривых сохраняются при их проецировании, то у пространственных кривых дело обстоит иначе. На рисунке показаны две проекции некоторой пространственной кривой АВ. Каждая проекция имеет узловые точки, в то время как сама кривая таких точек не имеет. Поэтому о свойствах пространственной кривой следует судить не по одному виду (проекции), а по ее комплексному чертежу. Так, например, прямая линия является касательной к пространственной кривой только тогда, когда обе проекции прямой являются касательными к соответствующим проекциям кривой в точках, являющихся проекциями точки данной кривой. В то время как для плоской кривой прямая, лежащая в одной с ней плоскости, будет касательной к ней, если хотя бы на одной проекции она касательна к проекции кривой. Чаще других в практике встречается винтовая линия и ее частный случай цилиндрическая винтовая линия. В качестве примера можно привести резьбы и пружины.

Если некоторая точка А совершает сложное движение: равномерно перемещается по некоторой прямой, а прямая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ей оси, то точка А при этом опишет кривую, называемую цилиндрической винтовой линией. Перемещение точки вдоль прямой за один полный оборот последней вокруг оси вращения называют шагом винтовой линии. На рисунке показано построение проекций винтовой линии, ось i которой перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. В этом случае горизонтальная проекция линии (вид сверху) будет окружностью. Показанная на рисунке винтовая линия называется правой, так как точка перемещается вправо (по часовой стрелке) при своем движении по поверхности кругового цилиндра. В противном случае винтовая линия является левой. Если развернуть поверхность цилиндра вместе с винтовой линией, то ее точки лягут на одну прямую (это следует из самого способа построения). Угол α называют углом наклона винтовой линии.

n Алгебраическую кривую линию, которая описывается в системе декартовых координат уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривой линией второго порядка. n Примерами таких кривых являются эллипс, окружность – частный случай эллипса, когда малая и большая оси равны, парабола, гипербола, синусоида.

Линии, все точки которых не принадлежат одной плоскости, называются пространственными Порядок алгебраической пространственной кривой определяется числом ее точек пересечения с плоскостью ℓ 2 3 1 Пi 4

Особые точки кривой

Точки перегиба (Н) – точки, в которых кривая проходит на другую сторону касательной прямой, сохраняя касание Двойная или узловая точка (А) – это точка, в которой кривая пересекает сама себя Точки возврата первого ряда (В), в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке В общую касательную и расположенными по разные стороны от касательной Точки возврата второго ряда С, в которой кривая подходит к точке двумя ветвями, имеющими в точке С общую касательную, расположенную (вблизи точки С) по одну сторону от обеих ветвей кривой

n Простейшими примерами трансцендентных кривых служат графики функций логарифмической, показательной, тригонометрической, а также все спирали, циклоиды и т. п. n В практике конструирования линий и поверхностей широко используются обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определенных парами смежных точек. n Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, пространства - пространственная. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод заданный координатами своих точек называется дискретным

Изображение кривой на ортогональном чертеже На ортогональном чертеже кривые линии задают проекциями. По чертежу кривой в общем случае можно без дополнительных построений определить плоская она или пространственная.

n Синусоидой называют плоскую кривую, изображающую изменение синуса в зависимости от изменения его угла. Для построения синусоиды нужно разделить окружность на равные части и на такое же количество равных частей разделить отрезок прямой АВ = 2 л. R. Из одноименных точек деления провести взаимно перпендикулярные линии, в пересечении которых получают точки, принадлежащие синусоиде.

Пространственные кривые линии n Пространственные кривые линии в геометрическом моделировании обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки. n Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек. n Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии. n Цилиндрическую винтовую линию можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно равномерно перемещающейся в направлении этой оси. n Винтовая линия однозначно определяется своей осью i, шагом P и радиусом R. n Шаг винтовой линии (Р) – величина перемещения точки в направлении оси, соответствующая одному полному обо- роту вокруг оси.

n Спираль Архимеда называется плоская кривая, описываемая точкой, которая равномерно вращается вокруг заданного центра и вместе с тем равномерно удаляется от него. Радиусом ОА проводят окружность. n Отрезок ОА и окружность делят на равное число частей, например на 12. Через точки деления окружности I, II. . XII и центр О проводят лучи, на которых от центра О откладывают отрезки соответственно равные 1/12; 2/12 и т. д. шага спирали. Полученные точки соединяют плавной кривой с помощью лекала.

n Конической винтовой линией называют траекторию точки, которая движется равномерно по образующей конуса вращения, а образующая совершает вращательное движение вокруг оси конуса с постоянной угловой скоростью. Лекция 5. Кривые линии

Для построения проекций винтовой линии а задаем цилиндрическую поверхность вращения с осью i, радиусом винтовой линии - R. Откладываем на оси i отрезок равный шагу P. Вырожденная проекция цилиндрической поверхности есть горизонтальная проекция а 1 данной винтовой линии. Для построения фронтальной проекции делим окружность на равное число частей, например на 8 частей. Фронтальные проекции точек винтовой линии находятся как точки пересечения одноименных горизонтальных и вертикальных прямых проведенных через точки деления. Угол a, составленный касательной t к винтовой линии с плоскостью перпендикулярной оси i, постоянен для любой ее точки и называется углом подъема винтовой линии

n Винтовая линия может быть правой или левой. Она называется правой, если наблюдатель смотрит вдоль оси винтовой линии и видит ее при подъеме закручивающейся против часовой стрелки. На чертеже показана левая винтовая линия. n В технике используются винтовые линии, принадлежащие коническим поверхностям, реже – некоторым поверхностям вращения.

Классификация поверхностей

Классификация поверхностей Для удобства изучения поверхности можно условно разделить на ряд классов. Поверхности вращения – образуются вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси. Линейчатые поверхности – образуются движением прямой линии (в частности винтовые поверхности, образуемые движением прямой линии по винтовым направляющим). Поверхности второго порядка (они пересекаются с плоскостью по кривой второго порядка, а максимальное число точек пересечения такой поверхности с прямой равно двум). Циклические поверхности – образуются движением окружности. Топографические поверхности – поверхности сложной формы, задаются на чертеже семейством линий (обычно линий уровня). Нужно отметить, что классификация эта условная и некоторые поверхности могут быть отнесены не к одному, а сразу к нескольким классам.

По виду По закону движения образующей линейчатые криволинейные Образующая плоская Образующая неразвертываемые цилиндр развертываемые пространственная конус сфера пирамида эллипсоид призма тор Образованы движением прямолинейной криволинейной образующей образующей

По виду По закону движения образующей образующей коноид с плоскостью параллелизма цилиндроид вращения гиперболический параболоид винтовые тор геликоид сфера цилиндр конус

Поверхности вращения. Способы образования и задания поверхности n Основным способом образования поверхностей является кинематический способ. n В этом случае поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по какому либо закону. n Сама линия при движении может оставаться неизменной или непрерывно меняться. n В общем случае поверхность может быть образована направляющей т, перемещающейся по некоторым неподвижным образующим t (рисунок ). Видно, что можно поменять местами образующие и направляющие, при этом получится одна и та же поверхность. Поверхность, одно из основных геометрических понятий. n Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к конструированию, расчету и воспроизведению сложных технических поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных графических систем. Так, например, поверхность прямого кругового цилиндра (рисунок ) может быть образована так. Во-первых, вращением прямолинейной образующей t вокруг параллельной ей оси i. Во-вторых, движением образующей окружности m, центр которой перемещается по оси цилиндра i, а плоскость окружности остается перпендикулярной этой оси. В-третьих, вращением около оси i образующей произвольной формы k, нанесенной на поверхность цилиндра. n Из всех возможных способов образования поверхности следует выбирать такие, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения.

Цилиндрическая поверхность ∆(m; ℓ S) S Цилиндрическая // поверхность ℓ образуется // движением прямой ℓ (образующей) по m некоторой кривой m параллельно самой себе или имеющей постоянное направление S

В процессе образования кинематической поверхности линия может оставаться неизменной или менять свою форму - изгибаться или деформироваться. Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая. Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Это так называемые циклические поверхности. Если же группировать поверхности по закону движения образующей линии и производящей поверхности, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

Ш поверхности вращения; Швинтовые поверхности; Шповерхности с плоскостью параллелизма; Шповерхности параллельного переноса. Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальная форма таких поверхностей определяется теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают ее форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов). Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас. Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности. Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задаюющих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую. Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т. п. ), которые могут и не входить в состав поверхности. Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Для задания поверхности на комплексном чертеже необходимо иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность таких элементов поверхности называют определителем поверхности. Часто поверхность задают проекциями ее направляющих и указывают способ построения ее образующих. Для придания чертежу большей наглядности строят на нем еще и очерк поверхности, а так же ее наиболее важные линии и точки. На рисунке показано построение параллельной проекции поверхности общего вида Д на плоскость проекций Г. Проецирующие прямые, касающиеся поверхности Д, образуют цилиндрическую поверхность, а точки касания образуют некоторую линию т, называемую контурной линией. Очерком поверхности называют проекцию ее контурной линии. Иными словами очерк поверхности это граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекций.

Задание поверхности на комплексном чертеже 1. Определителем – совокупность геометрических элементов, позволяющих реализовать закон образования поверхности 2. Каркасом – семейством линий 3. Очерком – проекцией контурной линии поверхности

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i. Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть включает две операции: 1. на образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F, 2. каждую точку вращают вокруг оси i.

Поверхностью вращения называют поверхность, описываемую какой либо линией (образующей, в частности прямой) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Образующая линия может быть как плоской, так и пространственной кривой. Поверхность вращения определяется заданием своей образующей т и оси вращения i (рисунок). Каждая точка М образующей т при вращении описывает окружность с центром О на оси i. Эти окружности называют параллелями. Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно экватором и горлом. Линии поверхности вращения, плоскость которых проходит через ось вращения i, называют меридианами. Принимая во внимание способ образования поверхности ясно, что все меридианы равны между Собой. Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

При изображении поверхности вращения на комплексном чертеже ее обычно располагают так, чтобы ось вращения была перпендикулярна какой либо плоскости проекций (в нашем примере горизонтальной плоскости Г). В этом случае все параллели h проецируются на эту плоскость проекций без искажения, а экватор определяет горизонтальный очерк поверхности. Меридиан f, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на фронтальную плоскость проекций Ф. Этот меридиан называется главным меридианом. Он определяет фронтальный очерк поверхности. Построение любой точки этой поверхности удобно производить при помощи параллели h, проведенной на поверхности на уровне нужной точки.

При вращении прямой линии могут быть образованы ниже перечисленные поверхности. Цилиндр вращения образуется вращением прямой t вокруг параллельной ей оси i (рисунок 1). Конус вращения образуется вращением прямой t вокруг пересекающейся с ней оси i (рисунок 2). Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой t вокруг скрещивающейся с ней оси i (рисунок 3 ). В этом случае все точки прямой опишут окружности различных радиусов, причем общий перпендикуляр ОА прямых t и i будет наименьшим из всех радиусов, поэтому точка А опишет окружность, являющуюся горлом гиперболоида. Для построения главного меридиана гиперболоида нужно повернуть вокруг оси i ряд точек прямой t до совмещения их с фронтальной плоскостью, проходящей через ось i. При этом получим гиперболу, являющуюся фронтальным очерком однополостного гиперболоида. Поскольку все три поверхности образованы движением прямой линии, их можно отнести и к классу линейчатых поверхностей. В то же время эти поверхности являются поверхностями второго порядка, так как максимальное число точек пересечения каждой из них с прямой линией равно двум. рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра. Тор образуется вращением окружности вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности, но не проходящей через ее центр (рисунок 1). Такой тор называют закрытым. Если же ось вращения i проходит вне окружности, тор называют открытым или кольцом (рисунок 2 ). Сфера является поверхностью второго порядка, а тор – четвертого, что определяется максимальным числом точек пересечения этих поверхностей с прямой линией. Построение произвольной точки М на поверхности сферы или тора производят с помощью параллелей h. Сфера является поверхностью второго порядка, а тор – четвертого, что определяется максимальным числом точек пересечения этих поверхностей с прямой линией. Рис. 1 Рис. 2

Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси i (рисунок 1). Параболоид вращения образуется вращением параболы t вокруг ее оси i (рисунок 2). Эта поверхность используется в качестве отражающей поверхности в прожекторах для получения параллельного пучка световых лучей. Рис. 1 Рис. 2

Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее мнимой оси i (рисунок 1). Здесь же показан асимптотический конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы. Однополостный гиперболоид находится во внешней части этого конуса. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы t вокруг ее действительной оси i (рисунок 2). Двуполостный гиперболоид находится во внутренней части асимптотического конуса. Все четыре рассмотренные выше поверхности являются и поверхностями второго порядка. Рис. 1 Рис. 2

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ «Линейчатой» называется поверхность, которая описывается какой либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону. В общем случае линейчатая поверхность может быть получена движением прямой линии по трем направляющим (рисунок 1). Помимо этого существуют и другие способы, определяющие закон движения прямолинейной образующей, описывающей линейчатую поверхность. Так линейчатую поверхность можно получить имея лишь одну направляющую линию т, если прямолинейная образующая t, двигаясь по ней, будет проходить через неподвижную точку (рисунок 2) или будет оставаться параллельной сама себе (рисунок 3). Линейчатая поверхность получится и при движении прямолинейной образующей по двум направляющим при сохранении определенного положения образующей относительно некоторой неподвижной плоскости (параллельность или постоянный наклон к ней). Рис. 1 Рис. 2 рис. 3

Линейчатые поверхности с одной направляющей В зависимости от вида направляющих и характера движения образующей получаются различные типы линейчатых поверхностей. Коническая поверхность образуется движением прямой линии t по некоторой кривой направляющей т и проходящей через неподвижную точку S (вершину). Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии t по некоторой кривой направляющей т и имеющей постоянное направление s. Если направляющей является ломаная линия, то получим частные случаи конической и цилиндрической поверхностей – пирамидальную и призматическую поверхности. Обычно в качестве направляющей выбирается какая-нибудь линия уровня, например горизонталь h. А для увеличения наглядности изображения на комплексном чертеже помимо направляющих и вершины S или направления s, дополнительно строят очерки этих поверхностей. На рисунке 1 показано построение горизонтального и фронтального очерков конической и цилиндрической поверхностей. Точками 1 и 2 обозначены концы очерковых образующих на горизонтальных проекциях, а точками 3 и 4 концы очерковых образующих на фронтальных проекциях. Этими очерковыми образующими определяются области на плоскостях проекций, внутри которых могут находиться точки данных поверхностей. Кроме этого очерковые образующие разграничивают проекции поверхностей на видимую и невидимую части. Если направляющей т конической или цилиндрической поверхностей является кривая второго порядка, то и поверхность получится – второго порядка. Торс образуется движением прямолинейной образующей t, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей т, называемой ребром возврата (рисунок 2). Все рассмотренные выше поверхности относятся к числу развертывающихся поверхностей. Рис. 1 Рис. 2

Линейчатые поверхности с двумя направляющими Рассмотрим некоторые из линейчатых поверхностей с двумя направляющими, у которых все образующие параллельны неподвижной плоскости, называемой плоскостью параллелизма. Цилиндроид образуется движением прямолинейной образующей t по двум криволинейным направляющим α и b, причем во всех своих положениях образующая t параллельна некоторой плоскости параллелизма Б (рисунок 1). Для построения образующих на чертеже проводят ряд плоскостей, параллельных плоскости параллелизма и определяют точки их пересечения с обеими направляющими α и b. Плоскость Б в данном случае является горизонтально проецирующей. Обычно же для удобства построения образующих за плоскость параллелизма принимают одну из плоскостей проекций. В этом случае все образующие будут линиями уровня.

Коноид образуется движением прямолинейной образующей t по двум направляющим, одна из которых является кривой линией α, а другая – прямой b, при этом во всех своих положениях образующая параллельна некоторой плоскости параллелизма (рисунок ). Если у коноида прямолинейная направляющая b перпендикулярна плоскости параллелизма, то коноид называется прямым.

Косая плоскость образуется движением прямолинейной образующей t по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим α и b, причем во всех своих положениях образующая t параллельна некоторой плоскости параллелизма (рисунок. На нашем рисунке плоскостью параллелизма является горизонтальная плоскость Г, а образующие t этой косой плоскости являются горизонталями. Нужно отметить, что одну и ту же косую плоскость можно получить, если в качестве направляющих взять две любые образующие косой плоскости, а за плоскость параллелизма – плоскость параллельную направляющим α и b. Поскольку в сечении косой плоскости можно получить помимо ее прямолинейных образующих , параболу и гиперболу, то эту поверхность называют так же гиперболический параболоид. Косая плоскость является поверхностью второго порядка.

Поверхность второго порядка определяется как поверхность, пересекающаяся с произвольной плоскостью по кривой второго порядка, либо как поверхность, пересекающаяся с произвольной прямой в двух точках. При этом имеется в виду, что прямая не принадлежит поверхности. Поскольку поверхности второго порядка широко применяются в технике, перечислим их, включая и те, которые были рассмотрены как поверхности вращения или как линейчатые поверхности. Коническая поверхность второго порядка включает следующие виды: конус вращения и эллиптический конус, который может быть получен деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы. Цилиндрическая поверхность второго порядка включает виды: цилиндр вращения эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры. Эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Эллипсоид включает виды: эллипсоид вращения , сфера и трехосный эллипсоид, который можно получить деформацией параллелей эллипсоида вращения в эллипсы. Параболоид включает виды: параболоид вращения эллиптический и гиперболический параболоиды. Эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Гиперболический параболоид (см. рисунок 5) является так же линейчатой поверхностью. Однополостный гиперболоид включает виды: однополостный гиперболоид вращения (см. рисунок 6) и однополостный эллиптический гиперболоид, который можно получить из гиперболоида вращения деформацией параллелей в эллипсы либо движением прямолинейной образующей по трем прямолинейным направляющим. Двуполостный гиперболоид включает виды: двуполостный гиперболоид вращения и двуполостный эллиптический гиперболоид, который может быть получен из гиперболоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы. Нужно отметить, что все поверхности второго порядка (за исключением параболического и гиперболического цилиндров, а также гиперболического параболоида) могут пересекаться плоскостью по окружности.

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ «Винтовой» называется поверхность, описываемая некоторой линией (образующей) при ее винтовом движении. Если образующей является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. В зависимости от того, перпендикулярна или наклонна обра зующая к оси геликоида, его называют прямым или наклонным. Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей t по двум направляющим, одна из которых – цилиндрическая винтовая линия т, другая – ось винтовой поверхности i. При этом во всех своих положениях образующая t параллельна плоскости параллелизма, перпендикулярной оси i. В качестве плоскости параллелизма обычно принимается одна из плоскостей проекций (рисунок 1). У прямого геликоида образующая t расположена под прямым углом к оси i. Прямой геликоид можно отнести к числу коноидов и назвать винтовым коноидом. Наклонный геликоид отличается от прямого геликоида тем, что угол между образующей t и осью i отличен от прямого. Образующая t наклонного геликоида при своем движении скользит по двум направляющим, одна из которых – цилиндрическая винтовая линия т, а другая – ее ось i. При этом во всех своих положениях образующая t параллельна образующим некоторого конуса вращения. Он называется направляющим конусом наклонного геликоида. На рисунке 2 показано построение проекций наклонного геликоида. Образующие геликоида параллельны соответствующим образующим направляющего конуса. Рис. 1 Рис. 2

Циклические поверхности «Циклической» называется поверхность, которая описывается окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении. Из рассмотренных ранее поверхностей к циклическим можно отнести, во-первых, поверхности вращения, поскольку они могут быть образованы движением окружности (параллели), центр которой перемещается вдоль оси вращения, а плоскость окружности перпендикулярна к оси. Во-вторых, к циклическим поверхностям можно отнести те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения (пересекаются плоскостью по окружности). Трубчатая поверхность отличается тем, что ее образующая окружность т имеет постоянный радиус. Если направляющая t трубчатой поверхности является цилиндрической винтовой линией, то образуется трубчатая винтовая поверхность. Эта поверхность может быть получена и движением сферы постоянного диаметра по цилиндрической винтовой линии. Примером такой поверхности является цилиндрическая винтовая пружина.

Топографические поверхности «Топографической» называют поверхность, образование которой не подчинено какому-либо геометрическому закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, обшивки самолета, корпуса судна и многие другие. На чертеже такие поверхности изображают при помощи вспомогательных линий. Так на географических картах земная поверхность изображается при помощи семейства горизонталей (рисунок а). Поверхность обшивки самолета, корпуса судна и другие – при помощи линий уровня (горизонталей, фронталей и профильных) с их согласованием и привязкой. Эти поверхности часто называют каркасными, поскольку совокупность задающих их линий образует каркас поверхности. На рисунке б показан теоретический чертеж поверхности фюзеляжа самолета. На этом чертеже показаны три семейства линий данной поверхности – горизонтали, фронтали и профильные линии. Чтобы излишне не «засорять» чертеж линиями на нем не изображены фронтальные проекции горизонталей и горизонтальные проекции фронталей.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПЛОСКОСТЬЮ Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую. Обычно построение этой линии производят по ее отдельным точкам. Основным способом построения точек линии пересечения поверхности с плоскостью является способ вспомогательных секущих проецирующих плоскостей. При этом вводится несколько вспомогательных проецирующих плоскостей, пересекающих данную поверхность по некоторым линиям, а данную секущую плоскость – по прямым линиям. Точки пересечения этих линий с соответствующими прямыми, являясь общими для данных поверхности и плоскости, будут точками линии их пересечения. Итак, для построения точек линии пересечения поверхности с данной плоскостью общего положения необходимо рассечь их вспомогательной проецирующей плоскостью по графически простым линиям данной поверхности. При этом точки пересечения графически простых линий поверхности и прямых от пересечения плоскостей будут точками искомой линии пересечения. Среди всех точек линии пересечения можно выделить опорные и случайные точки. К числу опорных точек относятся экстремальные точки и точки видимости. Экстремальными являются высшая и низшая точки линии сечения, а также ближняя, дальняя, левая и правая точки (по отношению к наблюдателю).

Особые случаи пересечения поверхности с плоскостью Довольно часто при пересечении поверхности с плоскостью заранее известен вид искомой кривой. В этом случае линия пересечения может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, например, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности. Цилиндр пересекается плоскостью по эллипсу. При пересечении конуса вращения с плоскостью могут получиться все виды кривых второго порядка (конические сечения). Так, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс , а если плоскость перпендикулярна оси конуса - получается окружность. Если секущая плоскость параллельна только одной образующей конуса – в сечении получается парабола. Если же секущая плоскость параллельна двум образующим, то в сечении получается гипербола. Если плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара прямых пересекающихся в точке вершины конуса. В тех случаях, когда линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой окружность, эллипс или пару прямых, можно избежать построения линии пересечения по точкам, построив эти линии по их основным элементам.

Пример. Построить проекции и натуральный вид сечения конуса вращения наклонной плоскостью Д. Поскольку фронтально проецирующая плоскость Д пересекает все образующие конуса, то в сечении получится эллипс. Фронтальной проекцией эллипса будет отрезок АВ прямой, в которую “выродилась” плоскость Д. Горизонтальная же проекция будет эллипсом, так как ортогональная проекция эллипса так же в общем случае будет эллипсом. Большая ось АВ эллипсасечения, являясь фронталью, не искажается на виде спереди (фронтальной проекции). Малая ось CD является фронтально проецирующей прямой и поэтому на виде спереди проецируется в точку (делящую отрезок АВ пополам), а на виде сверху проецируется без искажения. Для построения горизонтальных проекций точек C и D малой оси, достаточно провести через эти точки параллель конуса h, являющуюся окружностью. Теперь эллипс, являющийся проекцией эллипса-сечения можно построить по его осям. Можно избрать и другой путь построения эллипса – по точкам. Тогда проекции случайных точек можно находить при помощи параллелей

Наиболее распространенными примерами линейчатых поверхностей являются цилиндрическая и коническая поверхности. Ш коническая поверхность (конус) – образуется при движении прямой, которые пересекаются в собственной точке S, называемой вершиной, и пересекают направляющую m. Шцилиндрическая поверхность (цилиндр) - прямолинейная образующая при движении пересекает направляющую m и остается параллельной сама себе и указанному направлению S, стремящемуся к бесконечности. Цилиндрическая поверхность является частным случаем конической, когда вершина S удалена в бесконечность.

Наиболее распространенными поверхностями вращения с криволинейными образующими являются: Ш сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра; Ш тор – образуется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности;

Шпараболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси; Ш гиперболоид вращения – различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей. Под винтовым движением понимается совокупность двух движений: поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси. Геометрическая часть определителя винтовой поверхности состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть: 1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, … 2. Строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются заданные точки.

В промышленной практике также известны поверхности: Ш плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) , представляющих с собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n. В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида поверхностей: цилиндроид , коноид , гиперболический параболоид.

n Направляющая n Косая винтовая цилиндра конуса поверхность образуется движением прямой линии по двум направляющим – цилиндрической винтовой линии и ее оси, причем образующая составляет с осью постоянный острый Лекция 5. Кривые линии угол.

Если в образовании кривой линии наблюдается закономерность, которая может быть выражена уравнением в той или иной системе координат, то такая кривая называется закономерной, например эллипс, парабола, гипербола и др. гипербола Незакономерной называется кривая линия, в которой нельзя С обнаружить закономерности В образования, например линия А пересечения рельефа местности плоскостью

S контур очерк

n Шар n Эллипсоид вращения Лекция 5. Кривые линии

n Однополосный гиперболоид вращения n Параболоид вращения Лекция 5. Кривые линии

n Тор образуется вращением круга вокруг его хорды или вокруг оси, не пересекающей круга, но лежащей в его плоскости; в этом случае тор называется круговым кольцом Лекция 5. Кривые линии

Коническая поверхность ∆(i, ℓ m; ℓ i ) i Коническая поверхность – образуется движением ℓ прямой линии ℓ (образующей) по некоторой S кривой линии m и имеющей неподвижную точку S m

Торсовая поверхность ∆(ℓ m) m – ребро возврата Торсовая поверхность ℓ образуется движением m прямой ℓ, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной направляющей кривой m, называемой ребром возврата

Однополостный гиперболоид

Многогранные поверхности – это поверхности, образованные частями (отсеками) пересекающихся плоскостей Многогранником называется тело, ограниченное многогранной поверхностью, состоящей из плоских многоугольников Отсеки плоскостей называются гранями, а линии их пересечения – ребрами Точки пересечения ребер называются вершинами

Пирамидальная поверхность Пирамида m – замкнутый контур S ℓ m m Если направляющая m Поверхность с замкнутой ломаная, а все ломаной направляющей образующие ℓ (m), общей точкой пересекаются в одной пересечения образующих точке, такая поверхность ребер и граней называется пирамидальной называется пирамидой

Задача Построить недостающую проекцию точки S 2 S N 2 N А 2 X 1, 2 В 2 С 2 В 1 А 1 S 1 N 1 С 1

Призматическая поверхность Призма S ℓ m Если все образующие поверхности Поверхность с замкнутой параллельны – ломаной направляющей поверхность (m) (основанием) и называется взаимно параллельными призматической ребрами – призма

Проецирующая призма k 2 f 2 g 2 С А В X 1, 2 С 1 А 1 g 1 k 1 В 1 f 1 Если ребра призмы перпендикулярны основанию, гранник называется проецирующей призмой

Линейчатые поверхности с двумя направляющими (поверхности Каталана) Цилиндроид ∆(m, n, ℓ; ℓ∥П 2); ℓ∥П 2 n ℓ 2 ∽ n 2 m ∽ m 2 ℓ ∥ 0 ∽ m 1 ∽ n 1 m 1 ∥ ℓ 1 ∥ ℓ 1

n Цилиндр n Конус вращения Лекция 5. Кривые линии

n Касательные плоскости к кривым поверхностям Лекция 5. Кривые линии

Вопросы для повторения 1. Чем различаются плоская и пространственная кривая? 2. Как определить длину участка кривой линии?