ЛЕКЦИЯ 6 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ГАРМОНИЧЕСКИЕ

ЛЕКЦИЯ 6

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

КОЛЕБАНИЯ – движения или процессы которые характеризуются повторяемостью во времени. Физическая природа колебаний может быть различной: механические, электромагнитные, температурные и т. д. однако различные по природе колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями, значит, возможен единый подход к изучению колебаний различной физической природы. КОЛЕБАНИЯ СВОБОДНЫЕ (СОБСТВЕННЫЕ) – совершаются за счет первоначально сообщенной энергии, при последующем отсутствии внешних воздействий на систему совершающую колебательные движения.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ – колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса). УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Где: – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины. – начальная фаза колебаний при t=0 – фаза колебаний в момент времени t – круговая (циклическая) частота – величина совершающая колебания

– изменяется в пределах от до. – изменяется в пределах от -1 до 1. – период колебания – промежуток времени, за который повторяются определенные состояния системы совершающей гармонические колебания, и за которые фаза колебаний получает приращение. – частота колебаний – число полных колебаний , совершаемых в единицу времени. Единица измерения частоты – Гц (Герц) (1 Гц – частота периодического процесса, в котором за 1 с совершается один цикл процесса.

СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ Скорость и ускорение колебаний величины определяются как первая и вторая производные от времени. Скорость колебаний: Ускорение колебаний:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ Гармонические колебания могут быть изображены графически с помощью метода вращающегося вектора амплитуды. Гармоническое колебание представлено проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амплитуды А, отложенного из произвольной точки оси О, под углом , равным начальной фазе, и вращающе-гося с угловой скоростью вокруг этой оси.

Гармонические колебания можно выразить в комплексной форме. По уравнению Эйлера где – мнимая единица Уравнение гармонического колебания можно записать в виде: Вещественная часть этого выражения представляет собой гармоническое колебание. Обозначение вещественной части можно опустить, и уравнение можно записать в виде Колеблющаяся величина S равна вещественной части комплексного выражения.

МЕХАНИЧЕСКИЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Пусть материальная точка совершает А прямолинейные гармонические ко- -А О лебания вдоль оси х около положения равновесия О принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени будет выражаться формулой: х Скорость и ускорение колеблющейся точки соответственно равны:

СИЛА ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА КОЛЕБЛЮЩУЮСЯ ТОЧКУ Сила действующая на колеблющуюся материальную точку массой равна: Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия, и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия). -А О F А х

ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Кинетическая энергия материальной точки совершающей прямолинейные гармонические колебания равна: Потенциальная энергия материальной точки совершающей гармонические колебания под действием упругой силы равна:

Полная энергия материальной точки равна: Полная энергия материальной точки остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, ибо упругая сила является консервативной. и изменяются с частотой , то есть в два раза превышающей частоту гармонических колебаний. Так как Следовательно:

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР МАТЕМАТИЧЕСКИЙ, ФИЗИЧЕСКИЙ И ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИКИ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Гармонический осциллятор – система совершающая колебания, описываемые уравнением: – некоторая колеблющаяся величина изменяющаяся от до. Если колебания совершаются вдоль оси х то уравнение имеет вид: Если колебания совершаются с изменением угла то: Примеры гармонического осциллятора: пружинный маятник, математический маятник, физический маятник.

ПРУЖИННЫЙ МАЯТНИК Пружинный маятник – груз массой подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью (коэффициентом жесткости) и совершающий гармонические колебания под действием силы. Уравнение движения пружинного маятника: • • Циклическая частота: Период: Амплитуда Потенциальная энергия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Математический маятник –идеализированная система состоящая из математической точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной , колеблющейся под действием силы тяжести Уравнение движения математического маятника: • Циклическая частота • Период колебаний • Момент инерции

ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса О, не проходящей через центр масс тела С. Если маятник отклонен на угол из положения равновесия, то момент возвращающей силы равен: – момент инерции физического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку О. – расстояние между точкой подвеса О и центром масс маятника С.

– возвращающая сила (направления и всегда противоположны, для малых колебаний маятника. Уравнение движения физического маятника: • Циклическая частота • Период колебания • Приведенная длина физического маятника (расстояние ) Точка на продолжении прямой , отстоящая от оси

веса на расстояние приведённой длины – центр качаний физического маятника. То есть : всегда больше чем. и обладают свойством взаимозаменяемости: если ось подвеса перейдет в центр качаний, то точка прежней оси подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не изменится. Математический маятник – частный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке. Приведенная длина физического маятника – длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

СВОБОДНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ При электромагнитных колебаниях различные величины (токи, заряды) периодически изменяются и сопровождаются взаимными превращениями магнитного и электрического полей. Для возбуждения и поддерживания электромагнитных колебаний используется КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР – цепь состоящая из включенных последовательно: катушки индуктивностью , конденсатора емкостью и резистора сопротивления. Для возникновения гармонических колебаний необходимо что бы сопротивление на резисторе было пренебрежимо мало.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Пусть в начале процесса на обкладках конденсатора имеются заряды , тогда, в момент времени , между обкладками конденсатора будет электрическое по -ле с энергией. Если замкнуть конденсатор на катушку , он начнет разряжаться и в катушку потечет ток , возрастающий со временем. Энергия электрического поля будет уменьшаться, а энергия магнитного поля катушки возрастать. По закону сохранения энергии полная энергия будет:

В момент времени конденсатор полностью разряжается и Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, слабеет магнитное поле катушки и в ней индуцируется ток текущий в том направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле стремящееся ослабить ток, который обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигает максимума, но знаки заряда на обкладках конденсатора поменяются местами. Это происходит в момент времени.

Далее те же процессы будут протекать в обратном направлении. (на рисунке показан контур в момент времени ), и система к моменту достигнет исходного состояния. По закону Ома, для контура содержащего элементы : справедливо: – напряжение на резисторе – напряжение на конденсаторе – ЭДС самоиндукции на катушке Значит: Так как: получим:

Дифференциальное уравнение колебаний заряда контуре в В случае свободных гармонических электромагнитных колебаний , следовательно: Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний заряда в электромагнитном контуре

Другая форма записи гармонических колебаний заряда в колебательном контуре: • • • – амплитуда колебаний заряда – циклическая частота – период колебаний (формула Томпсона) Сила тока в колебательном контуре Напряжение на конденсаторе в колебательном контуре

СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДИНАКОВЫХ НАПРАВЛЕНИЕМ И ЧАСТОТОЙ

Пусть имеются два сонаправленных колебания с одинаковой циклической частотой , амплитудами и , начальными фазами и. Их уравнения: Если сложить эти два колебания, то результирующее колебание будет иметь вид: Где:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний. Возможны ситуации:

БИЕНИЯ Если два сонаправленных колебания немного отличаются по частоте, то в результате их сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания , возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами на-зывается биениями. Пусть амплитуды складываемых колебаний , циклические частоты и , причем , начальные фазы обоих колебаний равны нулю.

Получившееся выражение есть произведение двух колебаний. Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по периодическому закону: Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса, то есть частота биений равна разности частот складываемых колебаний. Период биений:

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей Х и У. Амплитуды колебаний и , начальная фаза первого колебания равна нулю, разность фаз колебаний. Заменив на и на получим: Данное уравнение – уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно, относительно коорди-

Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз. например: • эллипс вырождается в отрезок прямой • амплитуда которой : • угол Данное уравнение: линейнополяризованное колебание y x

y Уравнение принимает вид: x Уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат. Данное уравнение – циркулярно поляризованных колебаний, или колебаний поляризованных по кругу. Если частоты складываемых перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания имеет сложную форму. Геометрические фигуры создаваемые такими траекториями называются фигурами Лиссажу.