Лекция 6 Элементы статистической физики ПЛАН ЛЕКЦИИ 1

Лекция 6 Элементы статистической физики ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Некоторые сведения из теории вероятностей: Вероятность события Среднее число событий Функция распределения Закон умножения вероятностей Закон сложения вероятностей Закон усреднения 2. Распределение проекции скорости 3. Распределение модуля скорости 1

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей Вероятность события. Ведем обозначения: А – некоторое событие , Если событие А не фиксируется, это событие В N – полное число экспериментов - число экспериментов, в которых событие А произошло - число экспериментов, в которых событие А не произошло (произошло событие В) 2

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 1. Вероятность события. - вероятность события А , - вероятность события В, т. е. вероятность того, что событие А не происходит 3

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 2. Среднее число событий Пусть известна вероятность случайного события А. Можно ли предсказать, сколько раз в серии из N экспериментов произойдет это событие? В каждой новой серии экспериментов числа и будут отличаться от полученных в предыдущих сериях. Но достаточно предсказываются средние значения 4

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 3. Функция распределения Пусть - случайная величина - некоторый интервал значений этой величины Попадание значения в этот интервал – событие случайное. - вероятность этого события, зависит от ширины интервала . 5

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 3. Функция распределения При малых другу: величины и пропорциональны друг От чего зависит ? От того, в каком месте оси ОХ располагается интервал Следовательно, коэффициент пропорциональности есть функция от 6

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 3. Функция распределения называется функцией распределения . Функция распределения есть величина, численно равная вероятности того, что значение случайной величины попадет в единичный интервал, расположенный в окрестностях точки Функция распределения еще называется плотностью вероятности 7

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 4. Закон умножения вероятностей. Если и - два независимых случайных события, которые происходят с вероятностями и , то вероятность того, что они произойдут одновременно, равна Значок в формуле означает «и» . 8

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 5. Закон сложения вероятностей. Если и - два исключающих друга случайных события, которые происходят с вероятностями и , то вероятность того, что произойдет какое-то одно из этих событий, равна Значок в формуле означает «или» . 9

Некоторые понятия и сведения из теории вероятностей 6. Закон усреднения. Если - случайная величина с плотностью вероятности (с функцией распределения) , то среднее значение этой величины можно найти по формуле Если случайная величина, причем , то среднее значение равно Пример: 10

Вероятность микросостояния. Все микропараметры системы - величины случайные Максимальная информация о макросостоянии системы содержится в функциях распределения всех её микропараметров Рассмотрим конкретную систему и конкретное её макросостояние: · системой будет идеальный газ; · состояние системы – равновесное. Состояние этой системы полностью определяют координаты и скорости всех её молекул. Поэтому надо найти функции распределения координат и скоростей. Рассмотрим чистый одноатомный идеальный газ 11

Вероятность микросостояния. Чистым газом называется газ, состоящий из одинаковых молекул. Иными словами, он представляет собой химически чистое вещество. Молекула чистого газа обладает тремя степенями свободы Микросостояние молекулы с тремя степенями свободы – это набор трёх координат (x, y, z) и трёх проекций скорости (vx, vy, vz). Задача состоит в поиске шести функций распределения. Рассмотрим две задачи: Функции распределения скоростей (vx, vy, vz). Функции распределения координат. 12

Распределение проекции скорости (распределение Максвелла) Распределение скоростей молекул в равновесном идеальном газе называется распределением Максвелла. Два постулата Максвелла: 1. Постулат независимости Три декартовые компоненты скорости молекулы vx, vy и vz являются независимыми случайными величинами и имеют одну и ту же функцию распределения. 2. Постулат нормальности Распределение проекции скорости молекулы является нормальным: k – постоянная Больцмана 13

Распределение Максвелла) проекции скорости (распределение Нормальное распределение является самым распространённым видом распределения. Для него плотность вероятности (функция распределения) имеет вид – параметр распределения, то есть некоторое число, не зависящее от x и отличающее одно нормальное распределение от другого. Это число называется среднеквадратичным отклонением или стандартом. Стандарт в рассматриваемом случае равен 14

Распределение Максвелла T 1 < T 2 < T 3 Площадь под каждой из кривых одна и та же, и равна 1. Это следует из условия нормировки 0 15

Распределение Максвелла Распределение модуля скорости Зная функции распределения проекций скорости vx, vy, vz, можно найти функцию распределения любого микропараметра, который зависит от vx, vy, vz, – например модуля скорости v, связанного с vx, vy, vz выражением Конечный результат Эту формулу чаще всего и называют распределением Максвелла 16

Распределение Максвелла Функции распределения Максвелла для модуля скорости T 1 < T 2 < T 3 Кривые f(v), в отличие от f(vx). не симметричные. Но они тоже снижаются и расширяются по мере роста температуры – по той же причине, что и зависимости f(vx). 0 17

Распределение Максвелла Какой смысл имеют значения скорости, при которых функция f(v) достигает максимума? Вероятность W попадания скорости молекулы в малый интервал скоростей v определяется формулой 0 v 1 v 2 v 3 Наибольшей является вероятность попадания в интервал, расположенный в окрестности того значения v, для которого f(v) достигает максимума. Этот интервал и соответствующая ему скорость называются наиболее вероятными 18

Распределение Максвелла Вычислим наиболее вероятную скорость vв, используя правило нахождения экстремума функции 0 v 1 v 2 v 3 Применение этого правила приводит к следующему результату: vв растёт с ростом температуры. Наиболее вероятный интервал скоростей v перемещается в область более быстрых молекул 19

Распределение Максвелла Перейдем от v к относительной скорости определяется формулой u, которая Как и абсолютная скорость v, относительная u – случайная величина. Функция распределения относительной скорости 20