Лекция № 6 Элементы математической логики. Логические

Лекция № 6 Элементы математической логики. Логические функции Excel.

• Логика - это наука, изучающая правильность суждений, рассуждений и доказательств. • Суждение истинно, если оно отражает действительное положение вещей. Примеры истинных суждений: «снег белый» , « 2´ 2 = 4» , «театр - это искусство» . • Суждение ложно, если оно противоречит истинному положению вещей. Примеры ложных утверждений - « 2´ 2 = 5» , «снег - черный» , «Земля плоская» . • Математическая логика - это дисциплина, изучающая технику математических доказательств.

• IV век Аристотель • XVIII век Эйлер • XVII век Лейбниц • XIX Дж. Буль «все a суть b» «некоторые a суть b» «все a не суть b» «не все a суть b»

Логика высказываний • высказывание – любое повествовательное предложение, про которое известно, является оно истинным или ложным. а) «сумма чисел 2 и 5 равна 7» (истинное высказывание), б) « 2 + 5 = 7» — предыдущее высказывание, записанное с помощью математических символов, в) «для всех значений x верно неравенство (ложное высказывание), г) «завтра будет солнечный день» (может быть истинным или ложным). Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – A, B и т. д.

• высказывательные формы (предикаты) – предложения, содержащие переменную. Например, выражение « »

• «У кошки 4 ноги» ; • «Сумма углов треугольника равна 180°» ; • «Температура кипения воды 180°» ; • «У квадрата есть прямой угол» ; • « 2 x = 3 y» ; • «Число 5 делится на 2 без остатка» ; • «x < 5» ; • «У квадрата есть только один прямой угол» ; • «a + b = 10» ; • «Дважды два – четыре» ; • «Пустое множество не имеет подмножеств» .

Простые и сложные высказывания • Высказывание имеет вид повествовательного предложения. Из двух таких предложений можно получить новые с помощью логических связок – союзов «и» , «или» , « если…, то» , «тогда и только тогда, когда» и частицы «не» . Такие предложения будем называть составными. • Предложения, не являющиеся составными, называются элементарными. • Соответственно, если можно судить об истинности или ложности таких предложений, то они будут называться простыми и составными высказываниями.

Логические операции над высказываниями • Высказывание «А и В» , истинное, если истинны оба высказывания А и В, и ложное, если хотя бы одно из них ложно, называется конъюнкцией этих высказываний и обозначается А^В. • Высказывание «А или В» , истинное, если истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложное лишь в одном случае, когда оба высказывания А и В ложны, называется дизъюнкцией этих высказываний и обозначается А В.

Таблица истинности для высказывания А ^ В А В А ^ В И И И Л Л И Л Л Л Таблица истинности для высказывания А В А В А В И И И Л И Л Л

Отрицание • Логическая операция, соответствующая логической связке «не» , называется отрицанием. • Высказывание «не А» , истинное лишь в том случае, когда высказывание А ложно и ложное лишь в том случае, когда высказывание А истинно, называется отрицанием А и обозначается . А И Л И

Импликация и эквиваленция • Импликацией высказываний А и В называют высказывание (читается «если А, то В» ), ложное лишь в случае, когда А истинно, а В – ложно. А В И И И И Л Л Л И И Л Л И

• Эквиваленцией высказываний А и В называют высказывание (читается «А тогда и только тогда, когда В» ), истинное, в том и только в том случае, когда оба эти высказывания истинны, или оба ложны. А В И И И И Л Л Л И Л Л Л И

Язык и формулы логики высказываний • Раздел математической логики, в котором изучают свойства выражений, составленных из высказываний с помощью логических операций, называется алгеброй высказываний. • Пусть X, Y, Z– переменные, обозначающие элементарные логические высказывания или их значения истинности. Такие переменные будем называть логическими переменными. • С помощью логических переменных и символов логических операций можно формализовать любое логическое высказывание. Таким образом, логическое высказывание заменяется формулой, отражающей логическую структуру этого высказывания. • Например, высказывание «Число а делится на 6 тогда и только тогда, когда а делится на 2, и а делится на 3» формализуется в виде .

Определим алфавит, то есть, набор символов, которые употребляются в логике высказываний: 1. (i – индекс, значения которого – натуральные числа) – символы для обозначения логических переменных, 2. И, Л – символы, обозначающие логические константы «истина» , «ложь» , 3. - символы логических операций, 4. ( , ) – скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения логических операций.

Определение формулы логики высказываний: 1. Всякая логическая переменная есть формула. 2. Символы И, Л есть формулы. 3. Если есть формула, то есть формула. 4. Если есть формулы, то , , есть формулы. 5. Никаких других формул в логике высказываний нет.

Алгоритм формализации высказываний. • Если высказывание – простое, то ему ставится в соответствие элементарная формула. • Если высказывание – составное, то для составления формулы требуется: а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное высказывание, в) заменить их соответствующими символами, с) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.

Пример Формализовать высказывание: «Неверно, что число 500 делится на 3 или на 13» Пусть X – « число 500 делится на 3» , Y – «число 500 делится на 13» . Тогда данное сложное высказывание имеет вид

Составление таблиц истинности для формул логики высказываний

таблица истинности X Y И И И Л Л И И Л Л Л Л И

Логические функции Excel Логическая функция ЕСЛИ имеет вид: ЕСЛИ(x 1; x 2; x 3), где x 1, x 2, x 3 – аргументы x 1 - логическое выражение, x 2, x 3 – любые выражения, разрешенные в Excel; причем вычисляется x 2, если x 1 имеет значение ИСТИНА, и x 3, если x 1 имеет значение ЛОЖЬ. Если третий аргумент функции не определен, то ошибки в записи функции нет – в этом случае ей присваивается значение ЛОЖЬ, если условие не выполнено. Если ничего не нужно вычислять при невыполнении условия, следует в качестве третьего аргумента задать пробел как текст. Примеры: ЕСЛИ(A 5>0; LN(A 5); -1); ЕСЛИ(B 2<>0; 1/B 2; ” ”)

Логическая функция И имеет вид: - И(x 1; x 2; ; …; xn), где x 1; x 2; ; …; xn – аргументы, являющиеся логическими выражениями. Функция может содержать до 30 аргументов. Функция И принимает значение ИСТИНА, если все ее аргументы истинны, в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ. Функция может применяться для задания сложного условия, определяемого системой равенств и неравенств: или, в форме логических высказываний, где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным.

• Логическая функция НЕ имеет вид - НЕ(x), где x – логическое выражение. Ее значение ИСТИНА, если x имеет значение ЛОЖЬ, и наоборот.

• Логическая функция ИЛИ имеет вид: ИЛИ(x 1; x 2, …; xn), где x 1; x 2; ; …; xn –аргументы, являющиеся логическими выражениями. • Функция может содержать до 30 аргументов. • Функция ИЛИ принимает значение ИСТИНА, если хотя бы один из ее аргументов есть ИСТИНА, в противном случае она принимает значение ЛОЖЬ. • Функция применяется для задания сложного условия определяемого совокупностью неравенств или где xi – равенство или неравенство, которое может быть истинным или ложным.