ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2. 1 Свободные незатухающие

ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2. 1 Свободные незатухающие электромагнитные колебания

Характеристики электромагнитных колебаний Электромагнитные колебания – движение электрических зарядов, которое повторяется через определенные или почти определенные промежутки времени (например, периодическое перетекание зарядов с одной обкладки конденсатора на другую при подключении к нему катушки индуктивности) Колебательный контур – любая электрическая цепь, обладающая емкостью и индуктивностью. Наличие емкости и индуктивности является необходимым условием возникновения собственных колебаний в цепи.

Характеристики электромагнитных колебаний Период э/м колебаний T – наименьший промежуток времени, через который движение электрических зарядов повторяется. Изменяющиеся величины при электромагнитных колебаниях: заряд q конденсатора, напряжения U на различных элементах контура, сила тока I в цепи. Амплитуда э/м колебаний – величина наибольшего отклонения соответствующего физического параметра (заряда, напряжения, тока) от своего равновесного значения.

Характеристики электромагнитных колебаний Свободные э/м колебания – колебания в контуре, в который не подключена внешняя ЭДС: при выводе системы из положения устойчивого равновесия (минимум потенциальной энергии – энергии заряженного конденсатора) колебания происходят без внешнего воздействия. Свободные э/м колебания называются гармоническими, если омическое сопротивление колебательного контура пренебрежимо мало. Собственная частота 0 контура – это частота гармонических колебаний в контуре, омическое сопротивление которого равно нулю.

Характеристики электромагнитных колебаний Свободные э/м колебания называются затухающими, если в контуре присутствует не равное нулю омическое сопротивление. В этом случае энергии электрического поля заряженного конденсатора и магнитного поля катушки будут постепенно превращаться в тепло, выделяемое на омическом сопротивлении. Вынужденные э/м колебания – колебания, возникающие в электрической цепи в результате внешнего воздействия и происходящие с частотой этого воздействия. Примером такого воздействия служит поданное на вход контура переменное напряжение U = Umcos t.

Колебательные контуры

Условие квазистационарности тока Для описания колебаний в электрических цепях можно воспользоваться законом Ома или правилами Кирхгофа, однако эти законы справедливы только для цепей постоянного тока. Однако, если токи и напряжения изменяются не слишком быстро, то для мгновенных значений сил токов и напряжений эти законы остаются в силе. Мгновенное значение физической величины – ее значение в определенный момент времени.

Условие квазистационарности тока Ток называется квазистационарным при условии, что во всех поперечных сечениях проводников, соединенных между собой последовательно и составляющих электрическую цепь, мгновенное значение силы тока приблизительно одинаково в один и тот же момент времени. Пусть в некоторой цепи протекает изменяющийся во времени ток. Условие квазистационарности будет выполнено, если за время распространения по цепи э/м возмущения сила тока успевает измениться незначительно. Электромагнитным возмущением является, например, скачкообразное изменения напряженности электрического поля во всех участках цепи. Его скорость равна c = 3 108 м/с.

Условие квазистационарности тока Оценим частоту переменного тока, для которого выполнено условие квазистационарности. Промежуток времени, в течение которого сила переменного тока успевает существенно измениться, приблизительно равен периоду T = 1/ колебаний тока. Если l – длина цепи, c – скорость света в вакууме, то время передачи э/м возмущения вдоль цепи равно = l/с. Тогда из условия квазистационарности тока следует:

Уравнение гармонических колебаний и его решение Рассмотрим колебательный контур, в состав которого входят конденсатор емкостью C, катушка индуктивности L, при этом сопротивление катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало (R = 0). Пусть в некоторый момент времени конденсатор заряжается: по контуру течет ток силой I, на обкладках конденсатора сосредоточен заряд q, потенциалы обкладок равны 1 и 2.

Уравнение гармонических колебаний и его решение По закону Ома для участка цепи между точками 1 и 2: Здесь R = 0, is – ЭДС самоиндукции. Таким образом, получим уравнение гармонических колебаний:

Уравнение гармонических колебаний и его решение Общее решение этого уравнения имеет вид: Таким образом, заряд на обкладках конденсатора меняется по гармоническому закону. Величина qm – амплитуда колебаний заряда; ( 0 t + 0) – фаза колебаний; 0 – начальная фаза; 0 – циклическая частота колебаний (она равна собственной частоте контура) Период колебаний:

Уравнение гармонических колебаний и его решение Сила тока I в контуре в произвольный момент времени: Здесь Im = qm 0 – амплитуда колебаний тока. Если известны значения заряда q 0 и силы тока I 0 в начальный момент времени (t = 0): q 0 = qmcos 0 и I 0 = –qm 0 sin 0, то из этих начальных условий можно найти амплитуду и начальную фазу колебаний заряда на конденсаторе:

Напряжение на конденсаторе Установим связь между фазами колебаний тока в цепи и напряжения на конденсаторе при гармонических колебаниях. Напряжение на конденсаторе равно: Таким образом, при гармонических колебаниях ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе на /2.

Напряжение на катушке Установим связь между фазами колебаний тока в цепи и напряжения на катушке при гармонических колебаниях. Разность потенциалов на концах катушки равна по величине и противоположна по знаку (при выбранном направлении обхода контура) разности потенциалов на обкладках конденсатора: Таким образом, при гармонических колебаниях напряжение на катушке опережает по фазе ток на величину .

Энергия гармонических колебаний Энергия W гармонических колебаний равна сумме энергии заряженного конденсатора и энергии магнитного поля а катушке: Таким образом, полная энергия гармонических колебаний не зависит от времени и равна максимальному значению энергии заряженного конденсатора. Величина W также равна максимальному значению энергии тока в катушке:

ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2. 2 Свободные затухающие электромагнитные колебания

Затухающие электромагнитные колебания Всякий реальный контур обладает омическим сопротивлением, поэтому энергия э/м колебаний постепенно переходит в тепло, выделяющееся на сопротивлении, и колебания затухают. Рассмотрим контур, обладающий емкостью C, индуктивностью L и сопротивлением R. Пусть в некоторый момент времени конденсатор разряжается, при этом его заряд равен q, разность потенциалов на его обкладках 1 – 2; сила тока в цепи равна I.

Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний По закону Ома для участка 1 – 2 цепи: или Здесь = R/2 L – коэффициент затухания, 0 = 1/(LC)1/2 – квадрат собственной частоты контура

Затухающие электромагнитные колебания Если < 0, то зависимость от времени t заряда q на обкладках конденсатора имеет вид: Здесь величина qme– t – амплитуда затухающих колебаний, qm – начальная амплитуда.

Циклическая частота и период затухающих электромагнитных колебаний Циклическая частота затухающих э/м колебаний: Период затухающих э/м колебаний:

Напряжение на обкладках конденсатора Вычислим напряжение UC на обкладках конденсатора: Видно, что напряжение на обкладках конденсатора колеблется в фазе с зарядом на его обкладках.

Сила тока в цепи при затухающих колебаниях Найдем силу тока I при затухающих колебаниях: Здесь tg = – /. Поскольку cos < 0, а sin > 0, значение угла заключено в пределах от /2 до . Следовательно, при затухающих колебаниях сила тока I опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем на /2.

Величины, характеризующие затухание: коэффициент затухания Коэффициент затухания Здесь R – омическое сопротивление контура, L – индуктивность контура. Коэффициент затухания определяет, насколько быстро уменьшается амплитуда колебаний заряда (тока, напряжения) с течением времени. Коэффициент затухания численно равен обратному времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Величины, характеризующие затухание: время жизни Время жизни колебаний - это промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

Величины, характеризующие затухание: логарифмический декремент затухания Логарифмический декремент затухания ( ) – натуральный логарифм отношения амплитуд затухающего колебания в моменты времени, разделенные промежутком в один период T:

Величины, характеризующие затухание: добротность контура Добротность Q – умноженное на число количество колебаний за время, в течение которого амплитуда уменьшается в e раз: При слабом затухании ( << 0) добротность Q равна (с точностью до коэффициента 2 ) отношению энергии E колебаний к величине потерь энергии за один период | E|:

Апериодический режим При увеличении сопротивления R контура и, соответственно, коэффициента затухания период затухающих колебаний возрастает: При 0 T , т. е. при достаточно большом коэффициента затухания колебания в системе невозможны. При этом выведенная из положения система возвращается в это положение, не совершая колебаний. Такое движение, при котором отсутствует признак колебаний – повторяемость, – называется апериодическим движением.

Апериодическое движение Если коэффициент затухания > 0, то решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид: Здесь C 1, 2 – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий движения. Поскольку параметры 1, 2 < 0, а функция q представляет собой сумму убывающих экспонент, величина q – заряд конденсатора – быстро приближается к нулевому значению

Апериодический режим

Апериодическое движение Если выполнено условие = 0, то решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид: Здесь C 1, 2 – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий движения. При выполнении условия = 0 (т. е. Rкр/2 L = 1/(LC)) поведение механической системы называется критическим режимом, параметр – критическим коэффициентом затухания, а соответствующее сопротивление Rкр – критическим сопротивлением:

ЛЕКЦИЯ 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 2. 3 Вынужденные электромагнитные колебания

Уравнение вынужденных колебаний Подадим на вход колебательного контура, состоящего из омического сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора емкости C, переменное напряжение В контуре возникнут вынужденные колебания с частотой внешнего приложенного напряжения.

Уравнение вынужденных колебаний Запишем закон Ома для участка цепи между точками 1 и 2: Здесь

Уравнение вынужденных колебаний Получаем: Перепишем это уравнение в виде Данное уравнение является дифференциальным уравнением вынужденных колебаний. Здесь = R/2 L – коэффициент затухания, 0 = 1/(LC)1/2 – квадрат собственной частоты контура

Уравнение вынужденных колебаний и его решение Как следует из теории линейных дифференциальных уравнений, его общее решение имеет вид Здесь первое слагаемое – затухающее колебаний с частотой , амплитуда которого по истечении достаточного продолжительного времени (время установления колебаний) оказывается малой по сравнению с амплитудой qm второго слагаемого.

Уравнение вынужденных колебаний и его решение По истечении этого времени решение дифференциального уравнений примет вид: Амплитуда и разность фаз колебаний заряда q и внешнего напряжения U соответственно равны: Приведенные выражения аналогичны формулам для амплитуды колебаний координаты тела и тангенса разности фаз колебаний внешней силы и координаты при вынужденных механических колебаниях.

Уравнение вынужденных колебаний и его решение Обычно на практике с помощью амперметра и вольтметра измеряют силу тока и напряжение в различных участках цепи, а не величину заряда конденсатора. Получим выражения для силы тока I и напряжений на конденсаторе UC, катушке UL и сопротивлении UR. Кроме того, для описания вынужденных колебаний чаще используют параметр – разность фаз колебаний приложенного напряжения U и силы тока I в контуре, а не (разность фаз между приложенным напряжением и зарядом на конденсаторе)

Сила тока при вынужденных колебаниях Найдем силу тока, дифференцируя выражение для заряда q по времени: Здесь Im – амплитуда силы тока, = – /2 – разность фаз колебаний поданного на вход колебательного контура напряжения U и тока I в контуре.

Сила тока при вынужденных колебаниях Амплитуда силы тока в контуре: Разность фаз внешнего напряжения и тока

Напряжение на конденсаторе Вычислим напряжение на конденсаторе: Здесь амплитуда напряжения UCm на конденсаторе:

Напряжение на катушке индуктивности Вычислим напряжение на катушке: Здесь амплитуда напряжения ULm на катушке:

Напряжение на сопротивлении R Вычислим напряжение на сопротивлении R: Здесь амплитуда напряжения URm на сопротивлении:

Амплитудные резонансные кривые Амплитудными резонансными кривыми называют графики зависимости от частоты амплитуды тока Im и амплитуды UCm напряжения на конденсаторе. Фазовая резонансная кривая – это график зависимости от частоты разности фаз между колебаниями внешнего напряжения U и тока I в колебательном контуре.

Амплитудная резонансная кривая напряжения на конденсаторе Амплитудная резонансная кривая напряжения – график зависимости амплитуды напряжения UCm на конденсаторе от частоты внешнего напряжения U. Положение максимума UCm легко найти, приравняв к нулю производную знаменателя выражения для UCm к нулю: Тогда UCm = Um.

Амплитудная резонансная кривая тока – график зависимости амплитуды тока Im в контуре от частоты внешнего напряжения U. Амплитуда тока достигает максимального значения при некоторой частоте рез, которую легко определить, взяв производную от Im по и приравняв ее к нулю: Тогда Im = Um/R.

Резонанс Резонансом называется явление, когда при некоторой частоте внешнего переменного напряжения U амплитуда тока Im в колебательном контуре достигает наибольшего значения. Соответствующая частота называется резонансной частотой. Таким образом, явление резонанса в последовательном колебательном контуре возникает в том случае, когда частота внешнего переменного напряжения совпадает с собственной частотой контура

Фазовая резонансная кривая – это зависимость от частоты тангенса разности фаз между внешним напряжением и током. В условиях резонанса, т. е. когда = 0 tg = 0 между током и внешним напряжением равна нулю. Принято говорить, что в условиях резонанса контур обладает только активным сопротивлением.

Переменный ток – вызванное внешним переменным напряжением вынужденные э/м колебания в цепи, обладающей индуктивностью, емкостью и активным сопротивлением. Обозначим: - полное сопротивление цепи (импеданс). Тогда соотношение между амплитудными значениями силы тока Im и внешнего напряжения Um называется законом Ома для переменного тока:

Емкостное сопротивление Амплитуда напряжения UCm на конденсаторе: Величина XC = 1/( C) называется емкостным сопротивлением контура.

Индуктивное сопротивление Амплитуда напряжения ULm на катушке: Величина XL = L называется индуктивным сопротивлением контура. Величина Носит название реактивного сопротивления контура.

Импеданс Таким образом, полное сопротивление контура (импеданс) равен В условиях резонанса, т. е. когда = 0 X = 0, т. е. контур обладает только активным сопротивлением.

Мощность переменного тока Рассмотрим цепь переменного тока, представляющую собой последовательный колебательный контур. На вход цепи подано внешнее переменное напряжение U = Umcos t, при этом мгновенное значение силы тока в цепи I = Imcos( t – ). Мгновенная мощность: Однако, практический интерес представляет не мгновенное, а среднее за достаточно большой промежуток времени значение мощности тока.

Мощность переменного тока Среднее значение мощности за промежуток времени, равный или больше, чем период: Таким образом,

Мощность переменного тока Вычислим: Из формулы следует, что чем больше реактивное сопротивление X цепи по сравнению с активным сопротивлением R, тем меньше величина cos , т. е. меньше поступающая в цепь мощность тока P.

Действующие значения тока и напряжения Учитывая закон Ома для переменного тока, выражение для мощности переменного тока можно переписать в виде: Действующим (эффективным) значением силы тока Ieff называется величина, равная

Действующие значения тока и напряжения Тогда мощность переменного тока может быть выражена следующим образом Это равенство формально совпадает с выражением для мощности постоянного тока, на участке цепи, сопротивлением которого равно R. Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, мощность которого равна мощности переменного тока, причем постоянный ток должен течь по проводнику с сопротивлением R, равным активному сопротивлению цепи переменного тока.

Действующие значения тока и напряжения В электротехнике в общем случае произвольного периодически изменяющегося от времени тока силой I = I(t), текущего по цепи с сопротивлением R, действующее значение силы тока определяется из соотношения