Лекция 6 1 Геометрический метод решения задачи об

Лекция 6 1. Геометрический метод решения задачи об использовании ресурсов. 2. Решение задачи в системе Mathcad 3. Понятие о выпуклом множестве точек 4. Теоретические основы симплексного метода 5. Пример решения задачи симплексным методом: а) введение дополнительных переменных б) определение первого допустимого базисного решения в) проверка оптимальности базисного решения г) переход к новому базисному решению

1. Геометрический метод решения задачи об использовании ресурсов. Рассмотрим задачу при ограничениях В нашем случае

Координаты вершин многоугольника O(0; 0) C: B(3; 5) A(0; 5) B: C(6; 4) D: E(7; 0) D(7; 2)

Значения целевой функции в вершинах многоугольника:

2. Решение задачи в системе Mathcad

Пример. (Волков С. Н. , Землеустройство. Экономико-математические методы и модели, Т. 4. ) Проектом внутрихозяйственного землеустройства предусмотрено коренное и поверхностное улучшение заболоченных (100 га) и закустаренных (140 га) пастбищ. Определить, какие мероприятия и на какой площади целесообразно провести для получения максимального выхода продукции (в переводе на кормовые единицы) с улучшенных угодий. На эти мероприятия запланировано 6 млн. руб. Другие исходные данные приведены в таблице. Виды угодий и мероприятия по их улучшению Затраты на улучшения 1 га, тыс. руб. Выход продукции с 1 га угодий, ц корм. ед. Осушение + коренное улучшение 35 32 Осушение + поверхностное улучшение 25 23 Коренное улучшение 15 27 Поверхностное улучшение 10 18 Пастбища заболоченные: Пастбища закустаренные:

Решение. Введем обозначения х1 - площадь заболоченных пастбищ, на которых проводится осушение с последующим коренным улучшением, (га). х2 - площадь заболоченных пастбищ, на которых проводится осушение с последующим поверхностным улучшением, (га). х3 - площадь закустаренных пастбищ, на которых проводится осушение с последующим коренным улучшением, (га). х4 - площадь закустаренных пастбищ, на которых проводится осушение с последующим поверхностным улучшением, (га). Задача в стандартной форме: ограничения по площади Затраты Выход на продукции с 1 улучшения га угодий, ц корм. ед. 1 га, тыс. руб. финансы 35 25 выход продукции 32 23 15 27 10 18

3. Понятие о выпуклом множестве точек Рассмотрим многоугольники на плоскости M N Выпуклый Многоугольник не является выпуклым многоугольник Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий эти точки. Примеры выпуклых множеств

Теорема. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Доказательство. Пусть А и В – выпуклые множества

Граничная точка Угловая точка Внутренняя точка Точка М называется внутренней точкой множества, если некоторая окрестность этой точки содержит только точки данного множества. Точка N называется граничной точкой данного множества, если любая окрестность этой точки содержит точки, принадлежащие данному множеству и не принадлежащие ему. Точка А называется угловой точкой множества, если она не является внутренней для любого отрезка, принадлежащего данному множеству.

Множество точек называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество точек называется ограниченным, если существует шар (круг) с центром в любой точке множества, который содержит в себе данное множество. В противном случае множество называется неограниченным. R сектор Многоугольная область Выпуклое замкнутое множество точек пространства (плоскости), имеющее конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником (многоугольником), если оно ограниченное и выпуклой многогранной областью (многоугольной областью), если оно не ограниченное.

4. Теоретические основы симплексного метода Справедливы утверждения: 1. Множество допустимых решений системы m линейных уравнений с n переменными является выпуклым многогранником (или многогранной областью) в n - мерном пространстве В общем случае множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым многогранником (или многогранной областью) в n мерном пространстве. 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то целевая функция принимает максимальное (или минимальное) значение хотя бы в одной из угловых точек многогранника решений. 3. Между допустимыми базисными решениями задачи линейного программирования и угловыми точками многогранника решений существует взаимно однозначное соответствие.

Пример. x 2 B 10 A 6 10 D 3 C x 1

Симплекс (лат. simplex – простой) - простейший выпуклый многогранник в n – мерном пространстве с n+1 вершиной отрезок треугольник A B n=1 n=2 пирамида (тетраэдр) n=3 Метод последовательного целенаправленного перебора вершин многогранника (базисных допустимых решений). В 1947 году разработал американский ученый Дж. Данциг.

Геометрическая интерпретация симплексного метода F=c 2 F=c 1 F=c 3 Линии уровня целевой функции grad F Основные составляющие симплексного метода: 1. Введение дополнительных переменных 2. Определение первого допустимого базисного решения 3. Критерий оптимальности полученного решения 4. Правило перехода к новому базисному допустимому решению

5. Пример решения задачи симплексным методом а). переход к канонической форме (введение дополнительных переменных) Рассмотрим задачу (1) при ограничениях (2) (3)

С помощью дополнительных неотрицательных переменных x 3, x 4, x 5, x 6 перейдем к системе уравнений (4) б) первое базисное допустимое решение В качестве базисных переменных на первом шаге примем дополнительные переменные x 3, x 4, x 5, x 6. Тогда x 1 , , x 2 свободные переменные Выразим базисные переменные через свободные первое допустимое базисное решение

Это решение является допустимым, следовательно, оно может быть и оптимальным. в) критерий оптимальности базисного решения Целевая функция выражена через свободные переменные: Эту функцию можно увеличить за счет увеличения любой из свободных переменных, входящих в формулу с положительными коэффициентами. Для определенности будем выбирать переменную, имеющую больший коэффициент, т. е. в данном случае x 2. При этом все переменные должны быть неотрицательными. В результате приходим к системе неравенств или 5 6 16

Уравнение, где достигается наибольшее значение переменной, переводимой в базисные, называют разрешающим. В данном случае третье уравнение является разрешающим. г) переход к новому базисному решению Рассмотрим второй шаг Базисные переменные свободные переменные Выразим новые базисные переменные через новые свободные, начиная с разрешающего уравнения Второе базисное решение

Выражая линейную функцию через свободные переменные на этом шаге, получаем Значение линейной функции не является максимальным, так как его можно увеличить за счет переменной , входящей в выражение для линейной функции с положительным коэффициентом. Наибольшее возможное значение x 1 определяем из системы Первое уравнение является разрешающим, переменная x 3 переходит в свободные, при этом Третий шаг. Базисные переменные: свободные переменные:

Выражаем новые базисные переменные через новые свободные переменные. - базисное решение Выражаем линейную функцию через свободные переменные: Третье допустимое базисное решение не является оптимальным, так коэффициент при переменной x 5 является положительным. Переводим x 5 в базисные переменные. Определяем наибольшее возможное значение для этой переменной.

Второе уравнение является разрешающим, и переменная x 4 переходит в свободные. Четвертый шаг. Основные переменные После преобразований системы, получаем свободные переменные.

Линейная функция, выраженная через свободные переменные, имеет вид Это выражение не содержит положительных коэффициентов при свободных переменных, поэтому значение функции является максимальным.

Координаты вершин многоугольника O(0; 0) C: B(3; 5) A(0; 5) B: C(6; 4) D: E(7; 0) D(7; 2)

Экономический смысл дополнительных переменных остаток S 1 остаток S 2 остаток S 3 остаток S 4