ЛЕКЦИЯ 5 Законы алгебры логики 1 Логические

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

ЛЕКЦИЯ № 5 Законы алгебры логики. 1. Логические функции одной и двух переменных. 2. Постулаты алгебры логики 3. Законы алгебры логики.

1. Логические функции одной и двух переменных. При синтезе дискретных систем широко используются понятия: логическая переменная и логическая функция. Логическая переменная – величина, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В дискретных системах логическими переменными являются входные, выходные и промежуточные сигналы. Логическая функция – это функция алгебры логики, принимающая, как и ее аргументы, только два значения: 0 или 1. Логические функции выражают зависимость выходных величин от значения входных переменных. В зависимости от количества входных величин они могут быть функциями одной переменной, двух переменных и многих переменных.

Для любой логической функции значения ее выходного сигнала однозначно связаны с комбинациями значений входных сигналов. Так как входные переменные логической функции могут принимать только два конечных значения, то область определения любой логической функции так же конечна. Принцип суперпозиции, широко используемый при анализе логических функций, разрешает подстановку в любую логическую функцию вместо ее аргументов (входных сигналов) других функций. При помощи суперпозиции можно анализировать и строить логические функции с большим числом входных сигналов из конечного количества функций с малым числом переменных. Совокупность значений каждой комбинации входных переменных логической функции называется ее набором. Каждому набору соответствует строго определенное значение выходного сигнала, определяемое видом логической функции.

Для логической функции с одним выходным сигналом и заданным количеством входных сигналов – n количество возможных наборов – N определяется как: Для логической функции с одним выходным сигналом и заданным количеством входных сигналов – n количество возможных функций – M определяется как: В алгебре логики проводится прямое изучение логических функций одной (n=1, N=2, M=4) и двух (n=2, N=4, M=16) переменных. В остальных случаях для изучения логических функций используется принцип суперпозиции. Логические функции для одной входной переменной приведены в таблице 1, а для двух входных переменных – в таблице 2. Логические функции от одного и двух аргументов ввиду их простоты называются элементарными функциями алгебры логики.

Таблица 1. – Логические функции одной переменной Y=F(X). X 0 1 F 0 F 1 0 0 0 1 F 2 1 0 F 3 1 1 Наименование функции Константа нуля Повторение аргумента Инверсия аргумента Константа единицы Уравнение алгебры логики F 0=0 F 1=X F 3=1

Таблица 2. Логические функции двух переменных Y=F(X 1, X 2). X 1 0 0 1 1 X 2 0 1 F 0 0 0 Константа нуля F 0=0 F 1 0 0 0 1 Конъюнкция (И) F 1=X 1·X 2 F 2 0 0 1 0 Запрет по Х 2 F 3 0 0 1 1 Повторение аргумента X 1 F 4 0 1 0 0 Запрет по Х 1 F 5 0 1 Повторение аргумента X 2 F 6 0 1 1 0 Исключающее ИЛИ (XOR) F 7 0 1 1 1 Дизъюнкция (ИЛИ) F 8 1 0 0 0 Функция Вебба (НЕ-И) F 9 1 0 0 1 Эквивалентность F 10 1 0 Инверсия Х 2 (НЕ) F 11 1 0 1 1 Импликация от Х 2 к Х 1 F 12 1 1 0 0 Инверсия Х 1 (НЕ) F 13 1 1 0 1 Импликация от Х 1 к Х 2 F 14 1 1 1 0 Штрих Шеффера (НЕ-ИЛИ) F 15 1 1 Константа единицы Наименование функции Уравнение алгебры логики F 3=X 1 F 5=X 2 F 7=X 1+X 2 F 15=1

Согласно данным в таблице 2 элементарные функции алгебры логики находятся во взаимосвязи друг с другом и согласно принципу суперпозиции всегда могут быть выражены через логические операции НЕ, И, ИЛИ. Система логических функций, реализованных в базисе НЕ, ИЛИ была впервые изучена Дж. Булем. Поэтому алгебра высказываний, построенная на основе этих логических функций, называется булевой алгеброй. Для реализации дискретных алгоритмов управления широко применяют следующие наборы элементарных функций алгебры логики: - элементы НЕ, ИЛИ, И (F 1, F 7, F 10); - элементы НЕ, И (F 1, F 10); - элементы НЕ, ИЛИ (F 1, F 7); - элементы НЕ-И (F 14); - элементы НЕ-ИЛИ (F 8).

Выпускавшиеся наборы логических элементов реализовывали функции: «Логика – Т» НЕ-ИЛИ (F 8), «Логика – И» НЕ-И (F 14). Элементы LOGO! реализуют следующие базовые функции: И (F 10), НЕ-И (F 14), ИЛИ (F 7), НЕ-ИЛИ (F 8), НЕ (F 1), XOR (F 6). Этот базовый набор элементарных логических функций позволяет реализовать на элементах LOGO! любые дискретные алгоритмы управления. 2. Постулаты алгебры логики. Булева алгебра – это алгебраическая структура, в которой все переменные и функции называются булевыми или логическими. Законы Булевой алгебры дают возможность вести преобразования алгебраических выражений, описывающих определенные булевы функции. Эти преобразования позволяют одну формулу заменить другой, равной ей. Все законы алгебры логики остаются справедливыми при замене переменных любыми логическими функциями.

Для доказательства законов алгебры логики удобно использовать физическую интерпретацию сигналов на примере релейно-контактных элементов, т. е. по состоянию катушек и контактов реле. В простейшем случае реле состоит из одной катушки и контактов. Если на катушку реле подано напряжение питания и это реле сработало, то значение данной переменной равно 1; если катушка реле обесточена и это реле отключено, то значение данной переменной равно 0. Если контакты реле замыкаются при подаче напряжения на его катушку, то они являются замыкающимися и в уравнениях записываются без символа инверсии. Если контакты реле размыкаются при подаче напряжения на его катушку, то они являются размыкающимися и в уравнениях записываются с символом инверсии. Если контакты замкнуты, то значение данной переменной равно 1; если контакты разомкнуты, то значение данной переменной равно 0. Смысловые значения символов 0 и 1 для электромеханических реле отражены в таблице 3.

Таблица 3 – Значения символов 0 и 1 для реле. Элемент реле Катушка Контакт Символ 0 Обесточена Разомкнут Символ 1 Под током Замкнут Последовательное соединение контактов реле соответствует логической операции И. Параллельное соединение контактов реле соответствует логической операции ИЛИ. Размыкающиеся контакты реле соответствуют логической операции НЕ. При записи алгебраических выражений используют знаки операций НЕ, И, ИЛИ и скобки. Порядок вычисления уравнений в алгебре логики следующий: - первыми выполняются операции НЕ; - вторыми выполняются операции И; - третьими выполняются операции ИЛИ; - если применяются скобки, то операции в скобках выполняются вне очереди.

1. Каждый из сигналов в алгебре логики может быть равен 0 либо 1: Х=0, если Х≠ 1; Х=1, если Х≠ 0. 2. Для логической операции ИЛИ всегда справедливы следующие преобразования: 0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=1. 3. Для логической операции И всегда справедливы следующие преобразования: 0∙ 0=0; 0∙ 1=0; 1∙ 0=0; 1∙ 1=1. 4. Для логической операции НЕ всегда справедливы следующие преобразования: Законы алгебры логики основаны на постулатах – подстановках вместо переменных значений этих переменных в виде комбинации 0 и 1. Законы остаются справедливыми при замене любых переменных любыми логическими функциями.

3. Законы алгебры логики. 1. Закон универсального множества: Х+1=1; Х∙ 1=Х. 2. Закон нулевого множества: Х+0=Х; Х∙ 0=0. 3. Закон тавтологии (повторения): Х+Х=Х; Х∙Х=Х. 4. Закон дополнительности: 5. Коммутативный (переместительный) закон: Х 1+Х 2=Х 2+Х 1; Х 1∙Х 2=Х 2∙Х 1. 6. Ассоциативный (сочетательный) закон: Х 1+(Х 2+Х 3)=(Х 1+Х 2)+Х 3=Х 1+Х 2+Х 3; Х 1∙(Х 2∙Х 3)=(Х 1∙Х 2)∙Х 3=Х 1∙Х 2∙Х 3. 7. Дистрибутивный (распределительный) закон: Х 1∙(Х 2+Х 3)=Х 1∙Х 2+Х 1∙Х 3; Х 1+(Х 2∙Х 3)=(Х 1+Х 2) (Х 1+Х 3). 8. Закон абсорбции (поглощения): Х 1+(Х 1∙Х 2)=Х 1; Х 1∙(Х 1+Х 2)=Х 1. 9. Закон склеивания:

10. Закон двойственности (инверсии): 11. Закон двойной инверсии: На основе постулатов и законов алгебры логики устанавливают взаимосвязи между различными формами записи логических функций. Пример 1: - инверсия функции, заданной в ДНФ, дает ее запись в КНФ, т. е. - инверсия функции, заданной в КНФ, дает ее запись в ДНФ, т. е.

Пример 2: переход от ДНФ (КНФ) к СДНФ (СКНФ) осуществляется введением в каждую ЭК (ЭД) недостающих переменных, раскрытием скобок и исключением повторяющихся членов, т. е. или Пример 3: для перехода от СДНФ к СКНФ надо найти не вошедшие в СДНФ конъюнкции и , соединив их при помощи операций дизъюнкции, взять инверсию от полученного выражения, т. е. не вошедшие с СДНФ конъюнкции – тогда

Пример 4: для перехода от СКНФ к СДНФ надо найти не вошедшие в СКНФ дизъюнкции и, соединив их при помощи операций конъюнкции, взять инверсию от полученного выражения, т. е. не вошедшие в СКНФ дизъюнкции – тогда Рассмотренные законы алгебры логики могут быть применимы и для другого элементарного логического базиса, например функции Шеффера или функции Вебба. Однако их рассмотрение выходит за рамки настоящего курса и нами не рассматриваются.

Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ 5 Законы алгебры логики 1 Логические

лекэпсхм-5.pptx

Количество слайдов: 15