ЛЕКЦИЯ 5 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1 Закон больших

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

ЛЕКЦИЯ 5 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1 Закон больших чисел - общий принцип, в силу которого совместное действие случайных факторов приводит при некоторых весьма общих условиях к результату, почти независящему от случая. Теорема 1. (Чебышев П. Л. , 1867) Если случайные величины попарно независимы и то при любом , где С – некоторая постоянная, Теорема 2. (Бернулли Я. , 1800) Пусть - число успехов в n испытаниях Бернулли и - вероятность успеха в отдельном испытании. Тогда при любом Теорема Бернулли точно доказывает, что частота появления события в серии опытов при увеличении числа опытов сближается с вероятностью события.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА В этой теореме выясняются условия, при которых закон распределения суммы случайных величин приближается к нормальному закону. В наиболее общем виде теорема доказана А. М. Ляпуновым. Теорема 3. (Ляпунов А. М. , 1900) Пусть - независимые случайные величины, имеющие конечный третий абсолютный центральный момент. Положим Если при отношение то при 2

3 ЦЕПИ МАРКОВА Последовательность случайных величин Маркова с состояниями и при любых подмножествах называется цепью если любых множества и любых выполняется равенство (1) В приложениях значения случайных величин интерпретируются как номера состояний изучаемой системы, которая в дискретные моменты времени t (t = 0, 1, 2 , …) меняет своё состояние. Свойство (1) означает, что при фиксированном положении системы в данный момент времени s будущее поведение системы (t > s) не зависит от поведения системы в прошлом или более кратко: при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого. Свойство (1) называют свойством марковости.

Цепь Маркова называется однородной, если при любых не зависят от t. Матрицу один шаг, а вектор 4 вероятности называют матрицей перехода за вектором начальных вероятностей. Матрица вероятностей перехода и вектор начальных вероятностей однозначно определяют переходы системы из состояния в состояние во времени. Для однородной цепи Маркова при любом s выполняется равенство Функции cостояние называют вероятностями перехода из состояния j за время t. в

5 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Выборочное исследование - это статистическое исследование совокупности объектов с целью определения общих количественных характеристик совокупности на основе данных, относящихся лишь к части объектов, составляющих выборку. Пусть нам требуется оценить неизвестную долю белых шаров в урне, содержащие белые и чёрные шары. По схеме случайного выбора с возвращением отберём n шаров. При большом n доля белых шаров в полученной выборке близка к доле белых шаров в урне. Указанная процедура может быть описана в терминах случайных величин. Пусть , если k – ый шар в выборке оказался белым, и в противном случае (k = 1, 2, …, n). Тогда случайные величины независимы и одинаково распределены. Доля Белых шаров в выборке может быть вычислена по формуле При измерении числовых характеристик результат каждого измерения можно Рассматривать как значения некоторой случайной величины. Несколько независимых измерений, проводимых в одинаковых условиях , можно описать соответствующим количеством случайных величин, имеющих одну и туже функцию распределения.

6 (или просто выборкой) случайный независимы и Назовём случайной выборкой объёма n вектор ( ), где одинаково распределены. Одной из основных характеристик случайной выборки является эмпирическая функция распределения определяемая формулой где - число значений среди меньших. Таким образом, при любом величины и являются случайными. Для каждой эмпирической (или выборочной) функции распределения можно ввести выборочные моменты. Выборочным моментом порядка ν называется число -выборочное математическое ожидание (выборочное средне). Центральным выборочным моментом порядка ν называется число

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ 7 Предположим, что в результате экспериментальных исследований получены опытные данные, характеризующие некоторую случайную величину. На основании этих данных высказывается гипотеза ( Н) о том, что эта случайная величина подчиняется некоторому известному (теоретическому) закону распределения. Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, рассмотрим некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и экспериментального распределения. Допустим, что в результате обработки опытных данных, выбранная мера расхождения приняла некоторое значение u. Предположим, что гипотеза Н верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счёт случайных причин, связанных с недостаточным объёмом опытных данных, мера расхождения U окажется равной или больше обнаруженного на опыте значения u, т. е. вычислим вероятность события Если эта вероятность весьма мала, то гипотезу Н следует отвергнуть, как мало правдоподобную. Если же эта вероятность Значительна, то следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н. Каким же способом выбрать меру расхождения U?

8 Оказывается, что наиболее удобным для использования в этих целях является критерий Пирсона (или критерий ). Он строится так. Предположим, что в экспериментальном исследовании проведено n независимых Опытов, в каждом из которых случайная величина приняла определённое значение. Результаты опытов сведены в k разрядов и оформлены в виде таблицы Ii x 1; x 2 ; x 3 xk ; xk+1 Pi* P 1 * P 2 * Pk * Частота попадания в интервал Pi P 1 P 2 Pk Вероятность попадания в интервал 1. Определяется значение число значений в -ом интервале 2. Определяется число степеней свободы r=k-s k – число интервалов, s – число связей. 3. По r и χ с помощью таблиц считается вероятность превышения меры над Найденным в эксперименте значением.

9 ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ Имеется случайная величина , закон распределения которой содержит неизвестный параметр. Требуется найти подходящую оценку параметра Проведём n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина примет определённое значение (2) Обозначим оценку параметра . Очевидно, что оценка, построенная по (2) есть случайная величина. Естественно потребовать от оценки, чтобы при увеличении числа опытов она приближалась к параметру , т. е. Оценка с таким свойством называется состоятельной. Желательно, чтобы оценка не приводила к систематической ошибки в сторону завышения или занижения, т. е. - несмещённая оценка. Желательно, чтобы несмещённая оценка обладала наименьшей дисперсией, т. е. Оценка с таким свойством называется эффективной.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 10 Часто требуется не только определить оценку неизвестного параметра функции распределения, но и найти диапазон погрешностей, к которым может привести использование , как точечной оценки неизвестного параметра. Пусть для параметра получена из опыта несмещённая оценка и мы хотим оценить возможную при этом ошибку. Назначим некоторую достаточно большую вероятность ( 0, 9; 0, 95; 0, 99) такую, что событие с вероятностью можно практически считать достоверным, и найдём такое значение , для которого (3) Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на будет. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью Равенство (4) означает, что с вероятностью Перепишем (3) в виде (4) неизвестное значение параметра Попадёт в интервал Вероятность принято называть доверительной а интервал - доверительным интервалом. вероятностью,

Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ 5 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 1 Закон больших

Теор. вер. лек.5.ppt

Количество слайдов: 10