Лекция 5 Взаимное положение плоскостей 1 Взаимно параллельные

Лекция 5 Взаимное положение плоскостей 1. Взаимно параллельные плоскости. 2. Взаимно перпендикулярные плоскости. 3. Взаимно перпендикулярные прямые. 4. Метрические задачи на определение расстояний.

Взаимное положение плоскостей Плоскости могут быть Параллельные Пересекающиеся

Взаимно параллельные плоскости Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. DЕ II АС и DF II AB

Две плоскости параллельны, если параллельны одноименные следы (Г 1 II Р 1 и Г 2 II Р 2).

Через точку К провести плоскость Р(Р 1, Р 2), заданную следами и параллельную плоскости Г(Г 1, Г 2). Р 2 Г 2 К 2 N 2 ГХ 1. Провести h(h 1, h 2) h 1 II Г 1, h 2 II Х. h 2 Рх х N 1 3. Через точку N 2 провести Р 2 II Г 2 и найти Рх; К 1 Г 1 Р 1 N(N 1, N 2) фронтальный след горизонтали. h 1 4. Через точку Рх провести Р 1 II Г 1.

Для того чтобы 2 профильнопроецирующие плоскости были параллельны необходимо, чтобы были параллельны профильные следы этих плоскостей (Р 3 II ∑ 3).

Для того чтобы 2 профильно проецирующие плоскости были параллельны необходимо, чтобы были параллельны профильные следы этих плоскостей (Р 3 II Г 3).

• Плоскости пересекаются, если пересекаются их следы. • Две плоскости пересекаются по прямой линии, общей для обеих плоскостей. • Для построения линии пересечения достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей. Если плоскости заданы следами, то нужно найти точки, в которых пересекаются одноименные следы. АВ – линия пересечения плоскостей

1. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью общего положения

Пересечение плоскости общего положения Г и горизонтально-проецирующий плоскости Р

2. Пересечение двух плоскостей общего положения

3. Пересечение плоскости уровня и плоскости общего положения.

Взаимно перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны, если возможно провести прямую, лежащую в одной плоскости и перпендикулярную другой плоскости.

Г(Г 1, Г 2) САВС, т. к. (Г 1 А 111, Г 2 А 212) т. е. плоскость Г(Г 1, Г 2) проходит перпендикулярно прямой, лежащей в плоскости С АВС

Г(Г 1, Г 2) Р(Р 1, Р 2), т. к. (Р 1 h 1, P 2 h 2) т. е. плоскость Р(Р 1, Р 2) проходит перпендикулярно прямой h(h 1, h 2), лежащей в плоскости Г(Г 1, Г 2)

Если следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны между собой, то плоскости не перпендикулярны. Плоскости не перпендикулярны, т. к. не возможно провести прямую, принадлежащую одной плоскости и перпендикулярную другой.

ЗАДАНИЕ 2. Пересечение треугольников На формате А 4 построить линию пересечения треугольников АВС и DFE, определить видимость их сторон, полагая треугольники непрозрачными.

Координаты точек ФИО А YA Z A ХB В YB ZB 0 80 45 50 25 80 115 90 25 50 20 65 115 130 145 20 20 65 28 165 120 125 4. Воловик 120 40 О. Н. 5. Евсюков 125 90 Ф. С. 6. Иванкович 120 50 А. В. 7. Князев А. Н. 0 55 60 90 90 90 10 0 85 50 50 80 40 50 110 5 8. Левша А. В. 12 90 85 9. Петракевич Д. 10 50 С. 10. Серков 110 90 С. Ю. 11. Смирнов 110 40 Е. А. 85 50 100 25 115 8 75 110 65 15 52 25 80 0 80 45 75 10 50 0 0 55 40 125 20 ХA 1. Авсиевич Е. В. 2. Амельченя П. С. 3. Анёха А. В. 35 ZD ХE F YF ZF 50 0 65 105 80 130 20 35 55 85 130 0 165 115 20 148 0 8 55 120 28 170 45 100 35 20 30 20 70 20 95 0 100 60 140 65 55 20 75 120 60 50 20 30 70 65 105 15 80 110 20 10 40 120 5 95 65 85 20 25 45 85 120 40 75 10 80 60 80 20 90 110 80 5 23 135 80 85 70 85 110 0 35 20 120 0 52 55 0 115 15 70 40 35 15 50 0 40 75 110 80 ХC С YC Z C ХD D YD 9 10 55 Е YE 70 105 80 130 20 55 20 10 ZE ХF 35 0 45 100 25

1. По заданным координатам строим проекции треугольников АВС и DFE; 22 Г 2 62 Е 2 2. Заключаем прямую ED в плоскость Г; А 2 12Ξ 52 L 2 42 3. Строим линию пересечения плоскостей Г 72 К 2 и АВС (прямая 1 -2); 4. Находим т. К; 32 5. Заключаем прямую EF в F 2 С 2 плоскость P; 6. Строим линию В 1 пересечения плоскостей Р и АВС (прямая 3 -4); F 1 21 7. Находим т. L; 41 8. Соединяем т. К и т. L. KL – линия пересечения 71 Ξ 61 К 1 L 1 плоскостей АВС и DFE; 51 С 1 9. Определяем видимость при помощи метода 31 А 1 11 Е 1 конкурирующих точек. В 2 D 2 х D 1 Р 2

Координаты точек X Y Z A 10 80 60 B 80 20 90 C 110 80 5 D 0 55 40 E 50 110 0 F 120 40 75

Метрические задачи 1. Определить расстояние от точки А до плоскости Г(Г 1, Г 2). 1. Через т. А проводим перпендикуляр к плоскости Г, (А 1 В 1 Г 1, А 2 В 2 Г 2). 2. Находим т. В. 3. АВ=А 1 В 1 – натуральная величина расстояния от т. А до плоскости Г(Г 1, Г 2).

2. Через точку А провести перпендикуляр к прямой b(b 1, b 2). 22 f 2 1. Через т. А проводим плоскость ( h f ), перпендикулярную прямой b (h 1 b 1, f 2 b 2); К 2 А 2 h 2 12 b 2 х Г 1 Строим линию пересечения плоскостей (прямая 1 -2); 4. 1222 пересекает b 2 в т. К 2. Находим К 1. 5. К 1 11 Заключаем прямую b в плоскость Г. 3. АК b 21 А 1 b 1 2. h 1 f 1

3. Определить расстояние от точки А до плоскости Г(Г 1, Г 2). А 2 Р 2 Г 2 К 2 ГХ х Дано: т. А и плоскость Г N 2 1. Через т. А проводим перпендикуляр к плоскости Г Рх N 1 М 2 К 1 М 1 Р 1 А 1 Г 1 К 0 2. Заключаем проекции перпендикуляра в плоскость Р. 3. Строим линию пересечения плоскостей Г и Р (прямая MN). Находим т. К 4. Находим натуральную величину отрезка АК. А 1 К 0 – расстояние от точки А до плоскости Г.

4. Определить расстояние от точки D до плоскости D 0 h 2 D 2 42 А 2 В 2 22 F 2 m 2 х 12 f 2 32 С 2 m 1 4 1 В 1 11 f 1 А 1 h 1 21 F 1 С 1 31 D 1 Г 1 С АВС. 1. В плоскости АВС проводим f(f 1, f 2); 2. В плоскости АВС проводим h(h 1, h 2); 3. Через проекцию D 1 т. D проводим m 1 h 1; 4. Через проекцию D 2 т. D проводим m 2 f 2; 5. Заключаем прямую m в плоскость Г; 6. Строим линию пересечения АВС и плоскость Г; 7. Находим т. F – точка пересечения m с плоскостью АВС; 8. Находим натуральную величину расстояния от точки D до плоскости АВС – D 0 F 2.