Лекция 5 Тройной интеграл 1 Вычисление тройного интеграла

Лекция 5 Тройной интеграл 1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 2. Примеры вычисления тройных интегралов 3. Замена переменных в тройном интеграле 1

1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах (ДСК) - тройной интеграл 2

Теорема Пусть T - цилиндрическое тело: образующие параллельны оси Oz, снизу ограничено поверхностью , сверху ограничено поверхностью , тогда 3

Если то 4

Вывод Тройной интеграл сводится к по формуле (1): 1. Вычислению внутреннего интеграла по z Вычислению трехкратного интеграла по формуле (2) 2. Двойного интеграла по области D – проекции тела T на плоскость Oxy 5

Замечания 1. (о пределах в трехкратном интеграле) Пределы внутренних интегралов могут зависеть только от тех переменных, по которым интегрирование еще не выполнено. Пределы внешнего интеграла всегда постоянны. 6

2. Результаты интегрирования не зависят от последовательности интегрирования. 3. Постоянные пределы в трехкратном интеграле в декартовых переменных возможны в единственном случае: - прямоугольный параллелепипед с границами, параллельными координатным плоскостям Т. е. для тела, ограниченного координатными поверхностями x=const, y=const, z=const. 7

2. Примеры вычисления тройных интегралов в (ДСК) Пример 1. Расставить пределы в трехкратном интеграле 8

Пример 2. Расставить пределы в трехкратном интеграле параболоид вращения с осью Oz плоскость, проходящая через Ox 9

10

3. Замена переменных в тройном интеграле Теорема Если 1. Непрерывно дифференцируемые функции взаимно однозначно отображают область T' пространства u, v, t на область T пространства x, y, z 2. Якобиан 11

то - формула замены переменных в тройном интеграле Цель замены : упростить вычисление интеграла. 12

Тройной интеграл в цилиндрической системе координат (ЦСК) - цилиндрические координаты Ограничения: 13

Границы тела Т' – границы тела Т, выраженные в цилиндрических переменных 14

Замечания. Связь ЦСК с уже известными СК? 1. Цилиндрические координаты – это сочетание полярных координат в плоскости Oxy и декартовой координаты z. В каких случаях выгоден переход к ЦСК? 2. Переход к цилиндрическим координатам в тройном интеграле выгоден, когда выгоден переход к полярной системе координат в Oxy для тел с осевой симметрией 15

3. Если то 16

4. Постоянные пределы в трехкратном интеграле в цилиндрических координатах возможны в единственном случае: - В ЦСК тело ограничено координатными поверхностями - полуплоскости, ограниченные осью Oz - цилиндры с осью Oz - плоскости, перпендикулярные оси Oz 17

Пример. Вычислить объем конуса с радиусом основания R и высотой H. - круг Уравнение поверхности? 18

19

Тройной интеграл в сферической системе координат (ССК) - сферические координаты r- длина радиус вектора - долгота - широта Ограничения: 20

21

Задание. Сформулировать замечания к случаю перехода к ССК, аналогичные рассмотренным при переходе к ЦСК. 22

Пример. Вычислить объем шара радиуса R. ДСК ССК 23

24