Лекція 5 Тема Векторний простір і його базис

Лекція 5 Тема. Векторний простір і його базис. План 1. Векторний добуток векторів. 2. Мішаний добуток векторів. 3. Векторний простір, його розмірність і базис. 4. Розклад вектора за базисом.

1. Векторний добуток векторів. Означення 1. Векторним добутком векторів називається третій вектор , такий, що: § довжина вектора дорівнює: , де – кут між векторами ; § вектор перпендикулярний до кожного з векторів : § вектори утворюють праву трійку векторів, тобто орієнтовані так, як орти (рис. 1. ).

Рис. 1

Властивості векторного добутку. 1. (антикомутативність); 2. , де ; 3. (розподільність); 4. , коли , або ; 5. Модуль вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах (рис. 2): ; 6. Векторний добуток векторів визначається формулою .

Рис. 2

2. Мішаний добуток векторів. Означення 2. Мішаним добутком векторів називається скалярний добуток вектора на вектор , тобто .

Властивості мішаного добутку. 1. , тобто в мішаному добутку знаки векторного скалярного добутків можна міняти місця ми, тому мішаний добуток векторів скорочено позначають 2. , тобто при перестановці двох векторів мішаний добуток лише змінює свій знак. 3. вектори , тобто мішаний добуток не зміниться, якщо переставляти по колу.

Продовження 4. , якщо хоча б один з векторів нульовий, або якщо будь-які два вектори колінеарні, або якщо три ненульових вектори компланарні, тобто лежать в одній площині. 5. Модуль мішаного добутка векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах. (рис. 3). 6. Мішаний добуток векторів обчислюється за формулою: , і

Рис. 3

3. Векторний простір, його розмірність і базис. Означення 3. Упорядкована множина n дійсних чисел називається n–вимірним векторним простором Rn. Частинні випадки Rn: R 1– одномірний простір, елементами якого є вектори з однією координатою, тобто вектори, що належать деякій прямій; R 2 – двовимірний простір, елементами якого є вектори, що належать деякій площині і мають по дві координати; R 3 – тривимірний простір, елементами якого є вектори з трьома координатами.

Продовження Означення 4. Вектор є лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , які одночасно не дорівнюють нулю, що. Означення 5. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , які одночасно не дорівнюють нулю, то виконується рівність: . Якщо ця рівність можлива лише за умови, що , то вектори називаються лінійно незалежними.

Продовження Означення 6. Базисом n–вимірного векторного простору Rn називається будь-яка сукупність n лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор цього простору. Означення 7. Максимальне число лінійно незалежних векторів простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює кількості базисних векторів цього простору.

Твердження 1. Якщо вектори лінійно залежні, то після приєднання до них одного або кількох нових векторів дістанемо знову лінійно залежну систему векторів. 2. Якщо вектори лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів дістанемо знову лінійно незалежну систему векторів. 3. Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли хоча б один з цих векторів є лінійною комбінацією інших. 4. В просторі Rn будь-яка система (n + 1) векторів є лінійно залежною.

4. Розклад вектора за базисом. Якщо вектори утворюють базис в просторі Rn, то довільний вектор цього простору є лінійною комбінацією базисних векторів, тобто існують такі числа , які одночасно не дорівнюють нулю, що виконується рівність: . Числа називаються координатами вектора в базисі. Цей вираз називається розкладом вектора в базисі. Легко показати, що цей вираз – єдиний для вектора.