ЛЕКЦИЯ 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА 1 2 3

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

ЛЕКЦИЯ 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА 1. 2. 3. 4. 5. Способ вращения. Вращение вокруг проецирующих прямых. Вращение вокруг прямых уровня. Плоскопараллельное перемещение. Способ замены плоскостей проекций. 1

5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Способы преобразования чертежа предназначены для того, чтобы дать наиболее выгодное изображение предметов (геометрических образов) для решения позиционных и метрических задач. Решение многих задач существенно упрощается, если изображение предмета на плоскости вырождается или его проекции занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Существуют способы, позволяющие так преобразовать чертеж, чтобы изображение предмета заняло частное положение относительно плоскостей проекций. Такие способы получили название - способы преобразования чертежа. Принципиально различают два основных способа. Первый способ – изменяют положение исходных объектов в пространстве так, чтобы они приняли частное положение относительно заданных плоскостей проекций. Второй способ – заданную систему плоскостей проекций заменяют на новую так, чтобы пространственные объекты оказались в новой системе плоскостей в частном положении. Первый способ получил название - способ вращения, второй – способ перемены плоскостей проекций. Рассмотрим указанные способы. 2

5. 1 Способ вращения Сущность способа вращения состоит в изменении положения объекта, заданного на эпюре, так, чтобы его элементы заняли частное положение относительно плоскостей проекций и проецировались без искажения на какую-либо из этих плоскостей. Для преобразования чертежа способом вращения необходимо подготовить аппарат вращения: центр, ось и радиус вращения. По положению оси вращения различают несколько видов этого способа. 5. 1. 1 Вращение вокруг проецирующих прямых Рассмотрим суть способа вращения. Пусть точка А вращается вокруг горизонтально проецирующей прямой i. Траектория движения окружность с центром вращения. точки А O на оси При вращении точки вокруг оси i, ее горизонтальная проекция также вращается по дуге окружности. Фронтальная проекция при этом перемещается в плоскости Г параллельно оси ОХ. Повторим алгоритм вращения точки А вокруг проецирующей прямой на чертеже Г. Монжа

5. 1. 1 Вращение вокруг проецирующих прямых Рассмотрим суть способа вращения на эпюре Монжа. Пусть точка А вращается вокруг горизонтально проецирующей прямой i. Траектория движения точки А - окружность с центром O на оси вращения (рис. 5. 1). A 2 Г 2 i 2 A 21 Х i 1 A 1 О 1 Ra Рис. 5. 1 A 11 Радиус АО вращения точки А проецируется в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций П 1. A 1 O 1 = Ra. А 1 О 1 - натуральная величина. Горизонтальная проекция точки А 1 перемещается по дуге окружности, а фронтальная проекция А 2 перемещается по горизонтальной прямой – следу Г 2. А 1 – новое положение точки А. Применение способа вращения вокруг проецирующих прямых разберем на примере решения некоторых типовых задач. 4

Вращение геометрического образа (отрезка прямой или плоскости) вокруг проецирующих прямых сводится к вращению точек фигуры. A 22 i 2 a 2 Ф 2 A 21 b 2 b 1 d 1 A 11 i 1 a 1 A 12 Пример 1: Точку А (рис. 5. 2) вращением вокруг вертикальной прямой i ввести в плоскость Р(a∩b). Решение: 1) Траектория движения точки А - окружность в горизонтальной плоскости Ф. Ф 2 // ОХ. 2) Плоскость Ф пересекает данную плоскость Р по горизонтали. (т. к. прямая b - горизонталь, то горизонтальную проекцию горизонтали найти нетрудно). d 1//b 1 3) Дуга окружности движения точки А и горизонталь b 1 плоскости пересекаются в двух точках А 11 и А 12. Эти точки, А 1 и А 2, и есть решение задачи. Рис. 5. 2 5

Пример 2: Определить натуральную величину отрезка прямой ВС (рис. 5. 3). В 2 С 2 ≡i 2 В 1 i 1 н. в. С 1 Рис. 5. 3 В 2* В 1* Решение: 1) Чтобы прямая проецировалась без искажения, она должна быть параллельна какой - либо плоскости проекций, т. е. одна из ее проекций должна быть параллельна оси ОХ. 2) Вращением вокруг оси i П 2 фронтальную проекцию прямой B 2 C 2 повернем в положение, параллельное оси ОХ. С 2 i 2 , B 2*С 2 // OX, 3) Определив новое положение точки В прямой ВС, отметим натуральную величину прямой. В 1*С 1* - натуральная величина. Запомним: Вращение вокруг проецирующей прямой позволяет прямую линию общего положения привести в положение прямой уровня (рис. 5. 3); Отметим: Для преобразования прямой общего положения в проецирующую прямую необходимо дважды применить вращение, сначала привести прямую в положение линии уровня, а затем в положение проецирующей прямой. 6

Рассмотрим на примере, как методом вращения определить истинную величину плоской фигуры. Если плоскость занимает в пространстве произвольное положение, то сначала вращением вокруг проецирующей прямой приводят ее в положение проецирующей плоскости, а затем уже вращением вокруг второй проецирующей прямой - в положение плоскости уровня. Пример 3: Фронтально проецирующую плоскость треугольника ABC привести в положение, параллельное плоскости проекций (Рис. 5. 4). Решение: 1) Пусть ось вращения треугольника i фронтально проецирующая прямая, проходящая В 2 через вершину C треугольника АВС. 2) Плоскость треугольника АВС вращением 1 вокруг оси i приводим в положение, параллельное B 2 А 21 Г 2 С 2≡i 2 горизонтальной плоскости проекций П 1. При этом, вершины А и В треугольника перемещаются по дугам окружностей в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, до совпадения с 1 горизонтальной плоскостью уровня Г 2. B 1 В 21 и А 21 Г 2. 3) Горизонтальные проекции нового положения точек А 11 и В 11 находим на пересечении i 1 h 1 соответствующих линий связи со следами A 11 плоскостей движения этих точек. 4) Горизонтальная проекция треугольника А 11 В 11 С 11 – натуральная величина. Отметим, что горизонталь h плоскости АВС остается С 1 все время перпендикулярной фронтальной плоскости Рис. 5. 4 проекций (h 1 ОХ). Очевидно, плоскость произвольного положения можно перевести в положение проецирующей, если ее горизонталь (или фронталь) будет перпендикулярна оси проекций ОХ. А 2 7

5. 1. 2 Вращение вокруг прямых уровня До сих пор мы вращали геометрические образы вокруг проецирующих прямых. При этом, для определения натуральной величины плоской фигуры необходимо дважды применить вращение вокруг проецирующих прямых. Однако, истинные размеры плоской фигуры можно определить сразу, если вращать ее вокруг линии уровня (горизонтали или фронтали). Пример: Определим натуральную величину треугольника ABC (рис. 5. 5). Решение: 1) В плоскости треугольника АВС выбираем произвольно ось вращения горизонталь h 1, проходящую, например, через вершину С. Вершины А и В будут вращаться по окружностям вокруг оси h 1. Вершина С инцидентна оси вращения h и не изменяет своего положения. Отметим, что когда треугольник ABC займет положение, параллельное горизонтальной плоскости П 1, радиусы вращения точек А и В станут параллельными этой плоскости, т. е. будут проецироваться в натуральную величину. 8

Вращение вокруг прямых уровня Определим центр и радиус вращения точки В. В 2 А 2 X ≡ i 2≡ h 2 В 1 А 1 i 1 ≡ h 1 11 О 1 А 0* Г 11 2) Центр вращения вершины В треугольника - точка О 1 пересечения горизонтали h с плоскостью Г вращения этой точки (Г 1 h 1). OB - радиус вращения вершины В. О 1 В 1 = RB. (отрезок OB - линия наибольшего наклона плоскости треугольника ABС к горизонтальной плоскости проекций П 1). С 2 Длину отрезка OВ можно определить методом прямоугольного треугольника. О 1 В 1* - гипотенуза прямоугольного треугольника натуральная величина радиуса вращения точки В. В 1 В 1* = ZB-ZO. О 1 В 1* = |RB|. 3) От центра О 1 вращения вершины В В 1* откладываем длину радиуса вращения и отмечаем точку В 0 4) Положение точки А 0 можно определить аналогичным способом, однако, воспользуемся тем, что точка А инцидентна линии (B-1) и плоскости Г движения этой точки. На пересечении линии (В 0 -11) С 1≡С 0 и следа плоскости Г 1 отметим точку А 0. Треугольник А 0 В 0 С 0 - истинная величина заданной плоскости. Отметим: вращение вокруг прямой уровня применяется для плоской фигуры. В 0* Г 1 Рис. 5. 5 9

5. 2 Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания оси) При вращении геометрического образа без указания оси его проекция на плоскости, перпендикулярной оси вращения, сохраняет свою величину и форму. Вторая проекция точек геометрического образа перемещается по прямым, перпендикулярным проекции оси вращения (т. е. параллельно оси ОХ). Это позволяет плоско параллельно перемещать данный объект на свободное поле чертежа. Разберем пример применения этого способа для определения натуральной величины треугольника АВС (рис. 5. 6). Как видно из рисунка, плоскость АВС находится в общем положении относительно плоскостей проекций. Преобразуем чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня (Найдем натуральную величину плоскости). Решение: 1) В плоскости АВС проведем горизонталь h. Для удобства проведем ее через точку А. 2) Переместим плоскопараллельно треугольник АВС на свободное поле чертежа так, чтобы горизонтальная проекция его горизонтали стала перпендикулярна оси ОХ, h 1 ОХ. (Горизонталь стала фронтально проецирующей прямой). 3) Тогда на фронтальной плоскости проекций плоскость АВС вырождается в прямую линию (плоскость стала проецирующей). 4) Проецирующую плоскость АВС преобразуем в плоскость уровня (вращением или плоско параллельным А 20 перемещением). С 20 В 2 В 1 2 А 21 12 А 2 С 2 А 10 А 11 В 1 h 11 С 21 А 10 В 10 С 10 – действительная величина ΔАВС. 11 h 10 С 1 А 1 Рис. 5. 6 С 11 111 В 11 ≡В 10 Отметим, что h 10 также оси ОХ. C 10 10

5. 3 Замена плоскостей проекций Сущность способа заключается в том, что положение объекта в пространстве не изменяется, а система плоскостей проекций заменяется новой. При этом одна из новых плоскостей проекций выбирается так, чтобы геометрический объект находился относительно нее в частном положении. П 2 П 4 Х Х 1 П 1 А 2 l 1 А П 1 А 4 П 4 l 2 ZА Х П 2 ZА Ах П 1 А 4 ZА ХА АА 1=А 2 Ах =ZА =А 4 АХ 1 0 А 1 А 4 Х 1 Ах1 YА А 1 АХ 1 Х 1 11

Замена плоскостей проекций Переход от одной системы плоскостей проекций к другой легко проследить на ортогональном чертеже точки (рис. 5. 8). Точка А задана проекциями А 1 и А 2. Произведем замену плоскостей проекций. А 2 А 4 – новое положение точки А. Х Положение новых осей проекций выбирается исходя из условия задачи. Разберем пример на рис. 5. 9. Пример: Определить длину прямой. В 2 А 2 П 1 Х В 1 А 1 α А 4 Рис. 5. 8 Отметим, что в новой системе плоскостей проекций П 1/П 4 прямая АВ – фронталь. П 1 Х 14 П 4 Решение: 1) Проведем дополнительную ось проекций ОХ 14, которая определяет на чертеже новую систему плоскостей проекций П 1/П 4. 2) Проекция А 4 точки А на новую плоскость П 4 находится по линии связи, перпендикулярной новой оси ОХ 14 на расстоянии Zа от нее. 3) Величина Za определяется из основной системы плоскостей проекций. В 4 П 1 Х 14 П 4 А 4 Рис. 5. 9 Решение: 1) Исходя из условия задачи, новую плоскость П 4, а значит новую ось Х 14 выбираем параллельно одной из проекций прямой (рис. 5. 9). X 14 // A 1 B 1 2) По линии проекционной связи откладываем от оси Х 14 расстояние Za и Zb и находим проекции точек А 4 и В 4. 3) Проекция А 4 В 4 - натуральная величина отрезка АВ. Угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1 определяется также на новой 12 плоскости проекций П 4.

Пример : Определить угол наклона плоскости общего положения к горизонтальной плоскости проекций. Отметим, что данную задачу можно решить, не применяя преобразования чертежа. Для этого достаточно определить угол между линией ската плоскости и ее натуральной величиной, определенной методом прямоугольного треугольника. Используя способ замены плоскостей проекций, данную задачу также можно легко решить в одно действие. Решение: Для определения угла наклона α необходимо заданную плоскость АВС общего положения (рис. 5. 10) преобразовать в проецирующую. Для этого: 1) Найдем в треугольнике АВС горизонталь h, а новую плоскость П 4 (и ось Х 14) проведем перпендикулярно к ней. X 14 h 1. 2) Найдем новое положение треугольника АВС на новой плоскости проекций. А 4 С 4 В 4 П 4. Угол проецируется без искажения на плоскости П 4. Повторим алгоритм решения данной задачи для плоскости, заданной следами (рис. 5. 11). 1. Проведем Х 14 Р 1. 2. Возьмем произвольную точку А на плоскости Р. 3. Найдем новую проекцию точки А на П 4. 4. А 4≡ 14. Значит след Р 4 проходит через эту точку. Горизонтали плоскости Р проецируются в точку на следе Р 4. Р 2 В 2 С 2 12 А 2 Х Х В 1 h 2 ZA 11 h 1 П 1 Х 14 П 4 h 1 А 2 А 1 α Р 1 С 1 П 1 α С 4 В 4 Х 14 П 4 h 4≡ А 4 ≡ 14 Р 4 А 4 Рис. 5. 10 Рис. 5. 11 13

При решении задач не всегда удается обойтись одной заменой плоскостей проекций. Часто требуется произвести две замены. Сначала объект переводят в одно частное положение (параллельное или перпендикулярное плоскости проекций), а затем в другое частное положение. Р 2 Пример: Определить расстояние от точки Р до прямой произвольного положения АВ (рис. 5. 12). Чтобы измерить расстояние необходимо из точки Р опустить перпендикуляр. Вспомним, что прямой угол проецируется без искажения, когда одна его сторона параллельна плоскости проекций. Используем это при выборе хода решения задачи. В 2 К 2 А 2 Х Р 1 В 1 К 1 П 4 П 1 Х 14 П 4 А 1 К 4 А 4 Рис. 5. 12 Х 45 П 5 В 4 А 5≡В 5 Решение: 1) Исходя из условия задачи, новую плоскость проекций П 4, а значит новую ось Х 14 проведем параллельно горизонтальной проекции отрезка прямой А 1 В 1. Х 14||А 1 В 1, П 4 П 1. 2) На новой плоскости проекций П 4 отрезок прямой проецируется без искажения, а значит к нему можно восстановить перпендикуляр. 3) Чтобы определить истинную величину расстояния от точки до прямой, необходимо провести новую ось проекций Х 54, а значит и новую плоскость проекций перпендикулярно направлению истинной величины отрезка А 4 В 4. X 45 A 4 B 4. 4) На новой плоскости проекций П 5 отрезок PK проецируется в натуральную величину. P 5 K 5 натуральная (истинная) величина искомого расстояния от точки до прямой. 5) Отметим К 4 и построим проекции расстояния от точки до прямой на П 1 и П 2. Отметим, что данную задачу можно решить по другому сценарию, например, найти натуральную величину плоскости (Р, АВ) и в ней измерить искомое расстояние. Также отметим, что замену плоскостей проекций особенно эффективно применять для преобразования объектов, не лежащих в одной плоскости, например, определение расстояний между скрещивающимися прямыми, параллельными плоскостями и т. д. 14

Пример: Определим расстояние между скрещивающимися прямыми. Эту задачу удобно решать заменой плоскостей проекций. В 2 К 2 А 2 П 2 Х П 1 D 2 N 2 С 2 А 1 D 1 Х 14 П 1 П 4 К 1 В 1 2) Заменой плоскостей П 1/П 4 новыми П 4/П 5 отрезок АВ переведем в горизонтально проецирующее положение. А 5 ≡ В 5. С 1 А 4 N 1 н. в. 3) Искомое расстояние определим от точки А 5 ≡ В 5 до прямой С 5 D 5. N 4 С 4 К 4 В 4 4) А 5≡В 5≡К 5, N 5 C 5 В 5 D 4 5) Самостоятельно построим проекции искомого расстояния на горизонтальной и фронтальной плоскости. П 4 Х 45 П 5 С 5 N 5 / С 5 D 5 = 1/3 эта пропорция сохраняется на всех проекциях. N 5 К 5 ≡ А 5≡В 5 Рис. 5. 13 План решения: 1) Заменой плоскостей П 2/П 1 новыми П 1/П 4 отрезок АВ переведем в положение, параллельное фронтальной плоскости проекций (Рис. 5. 13). А 4 В 4 – натуральная величина прямой АВ. Обозначим проекцию расстояния на плоскостях П 1 и П 2. С 5 Убедимся, что проекции расстояния между прямыми короче натуральной величины расстояния. D 5 15

ЛЕКЦИЯ № 6 Метрические задачи Задачи инженерной графики, в которых требуется измерить расстояние между объектами, углы, длину, опустить или восстановить перпендикуляр, построить прямую линию или плоскость перпендикулярную другой плоскости и т. п. называются метрическими. 1 2 3 Прямая линия перпендикулярная к плоскости. Взаимно перпендикулярные прямые. Взаимно перпендикулярные плоскости.

6 МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Некоторые метрические задачи нами рассмотрены ранее. Остановимся лишь на тех, решение которых базируется на следствии теоремы о проецировании прямого угла. Задача 1: Определить расстояние от точки А до прямой h (рис. 6. 1). Решение: 1. Так как прямая – горизонталь, к ней сразу можно провести перпендикуляр. А 1 В 1 h 1. 2. Определив н. в. отрезка АВ, получим искомое расстояние. В 2 h 2 Задача 2: Определить расстояние между прямыми линиями a и b (рис. 6. 2). Решение: 1. Так как а П 2, то искомое расстояние определяется сразу. 2. С 2 Е 2 – натуральная величина расстояния. 3. С 1 Е 1 // ОХ. а 2 ≡Е 2 b 2 А 2 С 2 Если прямая уровня – до нее сразу можно определить проекцию расстояния. Если прямая проецирующая – от нее сразу можно измерить расстояние. н. в. В 1 С 1 Е 1 а 1 h 1 А 1 b 1 Рис. 6. 2 17

6. 1 Прямая линия перпендикулярная к плоскости Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Из определения следует, что прямая, перпендикулярная к плоскости, будет перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей в этой плоскости. Ранее было доказано, что прямой угол проецируется без искажения, если хотя бы одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей. Как известно, в плоскости общего положения всегда можно провести прямые линии, параллельные плоскостям проекций. Это прямые уровня – горизонтали и фронтали плоскости. Очевидно, на эпюре прямая линия перпендикулярна плоскости, если ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтали плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтали плоскости. В 2 А 2 22 h 2 12 С 2 f 2 Решение: 1) В плоскости ВСD проведем главные линии –горизонталь h и фронталь f. 2) Используя графический признак перпендикулярности прямой и плоскости, через точку А проведем прямую m, перпендикулярно главным линиям плоскости. A m, m 1 h 1, m 2 f 2. m 2 D 2 В 1 11 h 1 D 1 f 1 m 1 21 С 1 А 1 Рис. 6. 3 Задача 3: Через точку А провести прямую линию, перпендикулярную плоскости ВСD (рис. 6. 3). Отметим, что через точку пространства можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости. Отметим, что прямая m перпендикулярна любой прямой данной плоскости. 18

Часто при решении различных задач требуется восстановить перпендикуляр к плоскости в какой-то определенной ее точке. Разберем пример решения такой задачи для плоскости, заданной пересекающимися прямыми. Задача 4: Дана плоскость Р(АВ∩ВС), требуется восстановить перпендикуляр к плоскости в точке В (рис. 6. 4). В 2 Решение: f 2 1) В заданной плоскости проведем горизонталь h и фронталь f. Для удобства проведем их через точки А и С 22 плоскости. 2) Используя графический признак, проводим А 2 12 проекции перпендикуляра ВК к плоскости Р, которые К 2 составляют прямые углы с направлением горизонтали и фронтали плоскости (точку К выберем на прямой К 1 произвольно) : С 2 B 1 K 1 A 111 и В 2 К 2 С 222. 3) Согласно определения, прямая ВК перпендикулярна плоскости Р: ВК Р (АВ∩ВС). В 1 4) Отметим также, что прямая ВК перпендикулярна h 1 всякой прямой заданной плоскости. В том числе, она перпендикулярна прямым АВ и ВС. 1 21 1 С 1 6. 2 Взаимно перпендикулярные прямые Две прямые взаимно перпендикулярны, если каждая из них перпендикулярна плоскости, включающей другую прямую. Поэтому, для построения прямой линии, перпендикулярной другой прямой, необходимо построить А 1 Рис. 6. 4 плоскость, перпендикулярную этой прямой. Решение данной задачи сводится таким образом к предыдущей. Рассмотрим ее на эпюре Монжа. Отметим также, что построение прямой перпендикулярной прямой частного положения рассмотрен нами ранее на рис. 6. 1 и 6. 2. 19

Рассмотрим общий случай определения расстояния от точки до прямой. Задача 5: Через точку К провести прямую, пересекающую заданную прямую под прямым углом (рис. 6. 5). Для начала отметим, что в пространстве можно провести только одну прямую, пересекающую заданную прямую под прямым углом, но можно провести семейство прямых, перпендикулярных заданной прямой. d 2 Решение: 12 h 2 К 2 1) Через точку К проводим плоскость Р(h∩f), заданную главными линиями, используя следствие теоремы о проецировании прямого угла. 2) Определим точку Е пересечения прямой d с Е 2 22 плоскостью Р (первая позиционная задача). Ф 2 d 2 , 1 -2 = Ф∩Р(h∩f) f 2 E 1=d 1∩ 1121 , E 2=E 1 E 2∩d 2 3) Прямая ЕК перпендикулярна к заданной прямой d, Ф 2 как всякая прямая плоскости Р, перпендикулярной этой прямой. ЕК d, т. к. Е 1 К 1 , a E 2 K 2 d 1 f 1 21 Е 1 h 1 11 Рис. 6. 5 К 1 4) Прямая ЕК пересекается с заданной прямой d в точке Е. Таким образом, ЕК – проекция расстояния от точки К до прямой d. Отметим, что данная задача может быть легко решена с использованием преобразования чертежа. Для этого достаточно преобразовать прямую d в частное положение (далее по рис. 6. 1, или 6. 2). Запомним: если нельзя провести прямую, перпендикулярную другой прямой, то всегда можно провести плоскость, задав ее главными линиями, горизонталью h и фронталью f. 20

6. 3 Взаимно перпендикулярные плоскости Построение взаимно перпендикулярных плоскостей основано на одном из следующих положений: а) Если прямая перпендикулярна к какой-либо плоскости, то всякая плоскость, проведенная через эту прямую, будет перпендикулярна к первой плоскости (рис. 6. 6 и 6. 7). в) Если плоскость перпендикулярна к какой-либо прямой другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны (рис. 6. 8). Пример 1. Через прямую АВ провести плоскость G, Рассмотрим оба случая на примерах. перпендикулярную заданной плоскости DЕК (рис. 6. 7). Отметим, что такую плоскость можно провести только одну. Задача сводится к построению перпендикуляра из точки А Изображение перпендикулярных плоскостей или В к плоскости ДЕК. Решение: А 2 1. Проведем f и h. 2. Проведем d 1 h 1 и d 2 f 2. N Q 3. G(АВ ∩ d) ДЕК. Е 2 f 2 В 2 D 2 А h К 2 d 2 Δ d 1 f Е 1 h 1 К 1 Q ( N h, N f ) Δ( h∩f) Рис. 6. 6 В 1 D 1 Рис. 6. 7 А 1 21

А 2 Пример 2. Через точку А (рис. 6. 8) необходимо провести плоскость, перпендикулярную заданной плоскости Р (ВС∩СЕ). С 2 Очевидно, таких плоскостей можно провести бесчисленное множество. Однако, задача решается очень быстро, если новую плоскость задать главными линиями. При этом направление горизонтали и фронтали необходимо принять перпендикулярным одной и той же прямой заданной плоскости. f 2 В 2 Е 2 С 1 А 1 Е 1 h 1 В 1 Рис. 6. 8 Решение: 1) Построим плоскость Q(h∩f) при этом h 1 B 1 C 1; f 2 B 2 C 2. 2) Отметим, что новая плоскость Q(h∩f) перпендикулярна прямой ВС, по определению: Q BC. Но ВС Р, а значит обе плоскости взаимно перпендикулярны. Q(h∩f) P (ВC∩CE) Для закрепления материала разберем примеры, в которых используются рассмотренные выше свойства. Пример 3. Определить геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек А и В (рис. 6. 9). Решение: 1) Прежде всего определимся с геометрическим местом точек, равноудаленных от заданных точек А и В. Это плоскость, проходящая через середину отрезка АВ и перпендикулярная к нему. 2) Соединим проекции точек А и В и разделим отрезок АВ пополам. АК = KB (Ai. Ki = Кi. Вi). 3) Из точки К проведем плоскость, перпендикулярную отрезку АВ. Согласно определения, такую плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми Р (m∩n), причем, n – фронталь, а m – горизонталь. m 1 A 1 B 1 , n 2 A 2 B 2. 4) Плоскость Р(m∩n) проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Отметим, что любая точка плоскости Р равноудалена от точек А и В. n 2 А 2 К 2 m 2 В 2 m 1 А 1 n 1 К 1 Рис. 6. 9 В 1 22

Е 2 Пример 4. Построить плоскость Р параллельную заданной плоскости Q (АВС) и отстоящую от нее на 40 мм (рис. 6. 10). Решение: В 2 К 2 Расстояние, как известно, измеряется перпендикуляром. Согласно теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр на комплексном чертеже можно провести только тогда, когда одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций. 1) Отметим, что сторона АВ плоскости Q – фронталь, А 1 В 1//ОХ, а сторона АС – горизонталь, А 2 С 2//ОХ. ℓ 2 А 2 ℓ 1 С 2 А 1 В 1 К 1 40 мм Е 1 К 10 Е 10 Рис. 6. 10 С 1 Следовательно, к проекции А 2 В 2 и А 1 С 1 можно восстановить перпендикуляр. Проведем его через точку А плоскости. Таким образом, прямая ℓ перпендикулярна плоскости Q. Однако, сама прямая не параллельна ни одной плоскости проекций, поэтому на ней нельзя сразу отмерить требуемое расстояние. 2) Определим натуральную величину перпендикуляра ℓ, для чего выберем на нем произвольно точку Е. 3) А 1 Е 10 - истинная величина отрезка АЕ. Отложим на ней 40 мм, считая от точки А плоскости Q. A 1 K 10 = 40 мм. 4) Определим проекции точки К на перпендикуляре АЕ. K 1 K 1 A 1 E 1, К 1 А 1 Е 1, К 2 = К 1 К 2∩А 2 Е 2. Точка К в пространстве отстоит от плоскости Q(АВС) на 40 мм. 5) Через точку К проведем плоскость Р, параллельную плоскости Q. P//Q, K P. Для чего проведем любые две пересекающиеся прямые т и n параллельные двум любым пересекающимся прямым плоскости Q. т//АВ, n//AC, P(m∩n). Таким образом, плоскость Р(m∩n) параллельна заданной плоскости Q(АВС) и отстоит от нее на расстоянии 40 мм. 23

Скачать презентацию ЛЕКЦИЯ 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА 1 2 3

Лекция 5,6.ppt

Количество слайдов: 23