Лекция 5 Симплекс-метод решения задач с начальным

Лекция № 5 Симплекс-метод решения задач с начальным базисом

Условие задачи Задача 1. Найти максимум функции Z = х1 + 4 Х 2 + 6 симплексным методом при выполнении ограничений: Шаг 1. Избавляемся от неравенств в ограничениях, введя в них неотрицательные балансовые переменные. Запишем условие задачи в виде равенств, добавляя балансовые переменные , каждая из которых входит только в одно уравнение системы с коэффициентом равным единице, Поскольку в исходной задаче необходимо найти максимум функции, то знаки коэффициентов целевой функции Z меняем на противоположные.

Условие задачи Полученная система равенств будет иметь вид: Согласно этой системе заполним начальную таблицу

Определение ведущего элемента Максимальный по модулю отрицательный элемент в строке целевой функции равен – 4, следовательно, ведущий . столбец – Для определения ведущей строки находим отношения решений балансовых переменных к их коэффициентам ведущего столбца и выбираем из этих отношений наименьшее. Ведущая строка – , ведущий элемент, расположенный в ячейке на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, равен 2. Поделив все элементы ведущей строки на 2, сделаем ведущий элемент равным 1 и методом сложения превратим остальные элементы ведущего столбца в нули.

Находим отношения решений к элементам разрешающего столбца и определяем разрешающую строку, имеющую наименьшую величину отношения. Разрешающий элемент находится в ячейке на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки. Делаем разрешающий элемент таблицы равным 1 (делим элементы этой строки почленно на 2).

Итерация 1 Умножим все элементы разрешающей строки на 4 и почленно сложим ее с первой строкой. В результате получим

Итерация 1 Теперь умножим все элементы разрешающей строки на -2 и почленно сложим ее с второй строкой. Таблица будет иметь вид:

Итерация 1 Достигнуто оптимальное решение, так как в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Оптимальное значение функции Z = 16, достигается в точке с координатами: . Это решение является оптимальным и единственным.

Условие задачи Задача 2. Найти максимум функции Z = х1 + 2 Х 2 + 6 симплексным методом при выполнении ограничений: Шаг 1. Также избавляемся от неравенств в ограничениях, с помощью неотрицательные балансовых переменных. Запишем условие задачи в виде равенств, добавляя балансовые переменные , каждая из которых входит только в одно уравнение системы с коэффициентом равным единице, Поскольку в исходной задаче необходимо найти максимум функции, то знаки коэффициентов

Условие задачи Полученная система равенств будет иметь вид: Согласно этой системе уравнений заполним начальную таблицу

Определение ведущего элемента Максимальный по модулю отрицательный элемент в строке целевой функции равен – 2, следовательно, ведущий . столбец – Для определения ведущей строки находим отношения решений балансовых переменных к их коэффициентам ведущего столбца и выбираем из этих отношений наименьшее. Ведущая строка – , ведущий элемент, расположенный в ячейке на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, равен 2. Поделив все элементы ведущей строки на 2, сделаем ведущий элемент равным 1 и методом сложения превратим остальные элементы ведущего столбца в нули.

Находим отношения решений к элементам разрешающего столбца и определяем разрешающий элемент таблицы. Делаем разрешающий элемент таблицы равным 1 (делим элементы этой строки на 2)

Итерация 1 Умножим все элементы разрешающей строки на 2 и почленно складываем ее с первой строкой. Получаем:

Итерация 1 Теперь умножим все элементы разрешающей строки на -2 и почленно сложим ее с второй строкой. Таблица будет иметь вид:

Итерация 1 Достигнуто оптимальное решение, так как в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Оптимальное значение функции Z = 11, достигается в точке с координатами: . Это решение является оптимальным , однако, оно не является единственными, так коэффициент при свободной переменной целевой функции обратился в ноль, и если мы ее будем изменять, то функция цели Z не изменится, а решение будет другим, т. е. получим еще одно оптимальное решение, которое будет альтернативным данному решению. Для его нахождения введем в базис переменную , выбрав в качестве ведущего соответствующий столбец, а ведущей строки –.

Итерация 2 Теперь разделим все элементы разрешающей строки на 2 , потом на -1/2, и почленно сложим ее с третьей строкой. Таблица будет иметь вид:

Итерация 2 Теперь таблица будет иметь вид: Имеем оптимальное решение, т. к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов. Альтернативное оптимальное значение функции Z = 11, и оно достигается в точке с координатами: .

Условие задачи Задача 3. Найти максимум функции Z = 3 х1 + 2 Х 2 + 6 симплексным методом при выполнении ограничений: Шаг 1. Запишем условие задачи в виде равенств, добавляя балансовые переменные , каждая из которых входит только в одно уравнение системы с коэффициентом равным единице, Поскольку в исходной задаче необходимо найти максимум функции, то знаки коэффициентов целевой функции Z меняем на противоположные.

Условие задачи Полученная система равенств будет иметь вид: Согласно этой системе уравнений заполним начальную таблицу

Определение ведущего элемента Максимальный по модулю отрицательный элемент в строке целевой функции равен – 3, следовательно, ведущий . столбец – Для определения ведущей строки находим отношения решений балансовых переменных к их коэффициентам ведущего столбца и выбираем из этих отношений наименьшее. Ведущая строка – , ведущий элемент, расположенный в ячейке на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, равен 1. Методом почленного сложения превратим остальные элементы ведущего столбца в нули.

Итерация 1 Умножаем разрешающую строку на 3 и складываем ее с первой. Складываем вторую строку с третьей.

Итерация 1 В строке , которая имеет отрицательное решение, нет ни одного отрицательно элемента. Следовательно, система ограничений несовместна и задача решения не имеет.

Условие задачи Задача 3. Найти максимум функции Z = -3 х1 + 2 Х 2 + 6 симплексным методом при выполнении ограничений: Шаг 1. Запишем условие задачи в виде равенств, добавляя балансовые переменные , каждая из которых входит только в одно уравнение системы с коэффициентом равным единице, Поскольку в исходной задаче необходимо найти максимум функции, то знаки коэффициентов целевой функции Z меняем на противоположные.

Условие задачи Полученная система равенств будет иметь вид: Согласно этой системе уравнений заполним начальную таблицу

Ведущим столбцом является столбец. Если все члены ведущего столбца отрицательны, то это означает, что задача неразрешима ввиду неограниченности целевой функции.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!