ЛЕКЦИЯ 5 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

ЛЕКЦИЯ 5 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

МЕТОД ГАУССА • Мы закончили изучение численных методов решения уравнений с одним неизвестным. • На практике очень часто встречаются задачи, при решении которых математическая модель записывается в виде системы линейных уравнений. • Рассмотрим один из распространенных методов решения систем линейных уравнений, • так называемый, МЕТОД ГАУССА.

МЕТОД ГАУССА • Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными (2. 1) в общем виде: • а 11 х1+а 12 х2 +. . . +а 1 n xn = b 1 • а 21 х1+а 22 х2 +. . . +а 2 n xn = b 2 • … … • аm 1 х1+аm 2 х2 +. . . +аmn xn = bm

МЕТОД ГАУССА • Решить систему (2. 1) значит найти n • упорядоченных чисел 1, 2 , . . . , n, • которые являются решением каждого из уравнений системы (2. 1). • Пусть матрица А = (аi j) данной системы невырождена, • т. е. ее определитель не равен нулю.

МЕТОД ГАУССА • Системы вида (2. 1) решаются точными и приближенными (итерационными) методами. • Одним из точных методов является известный вам метод с применением формул Крамера. • Точные методы дают точное решение системы за конечное число операций • (если все они выполнялись без погрешностей). • Число операций приближенных методов зависит от заданной погрешности вычислений.

МЕТОД ГАУССА • Метод Гаусса или • метод последовательного исключения неизвестных • основан на приведении исходной матрицы коэффициентов аij к треугольному виду. • Для начала рассмотрим этот алгоритм на ручном решении конкретного примера. • Этот пример следует использовать в качестве контрольного примера • при составлении программы, • реализующей метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

МЕТОД ГАУССА • ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений • 2, 34 х 1 4, 21 х2 11, 61 х3 = 14, 41 • 8, 04 х 1 + 5, 22 х2 + 0, 27 х3 = 6 , 44 • 3, 92 х 1 7, 99 х2 + 8, 37 х3 = 55, 56 • Промежуточные результаты ручного счета удобно записывать в таблицу.

МЕТОД ГАУССА

МЕТОД ГАУССА • Далее поясним, как заполняются клетки этой таблицы. • РАЗДЕЛ А. В клетки таблицы вносятся коэффициенты исходной системы линейных уравнений и столбец свободных членов. • .

МЕТОД ГАУССА • Заполнение раздела А завершается первым преобразованием по схеме единственного деления: • все элементы первой строки раздела А • делим на элемент а 11 • (который, естественно, должен быть отличен от нуля и называется ведущим элементом

МЕТОД ГАУССА • Результаты этого деления записываем в последнюю строку раздела А.

МЕТОД ГАУССА • РАЗДЕЛ А 1. Далее рассмотрим, как формируются элементы раздела А 1. • В этом разделе будут находиться результаты, которые получатся исключением неизвестного х1 во втором и третьем уравнениях системы. • Рассмотрим подробнее, как формируется первая строка раздела А 1.

• На этом шаге следует применить такое правило: • каждый элемент раздела А 1 равен разности соответствующего элемента раздела А и произведения элементов, • являющихся проекцией на первый столбец раздела А, • и проекцией на последнюю строку раздела А.

МЕТОД ГАУССА • В результате применения этого правила первый элемент раздела А 1 будет таким: • 5, 22 8, 04 · ( 1, 7991) = 19, 6848; • второй элемент первой строки раздела А 1 будет равен: 0, 27 8, 04 · ( 4, 9615) = 40, 1605. •

• Первый элемент второй строки раздела А 1 будет согласно нашему правилу равен: • 7, 99 3, 92 · ( 1, 7991) = 0, 9375. • Второй элемент второй строки раздела А 1 будет равен: • 8, 37 3, 92 · ( 4 , 9615) = 27, 8191

МЕТОД ГАУССА • Запишем общую формулу для этих вычислений. • Пусть «в» вычисляемый элемент раздела, • «а» соответствующий ему элемент предыдущего раздела, • рг его горизонтальная проекция (на первый столбец) и • рв его вертикальная проекция • (на последнюю строку предыдущего раздела). • Тогда в = а – р в · рг.

МЕТОД ГАУССА • РАЗДЕЛ А 2. Клетки раздела А 2 заполняются аналогичным способом. • Вычисления продолжаются до тех пор, • пока не будут исключены все неизвестные. Последняя строка прямого хода должна содержать клетку с 1 и клетку со свободным членом. • На этом шаге неизвестное, стоящее в заголовке таблицы над клеткой с 1 • равно полученному свободному члену. • В нашем примере это х3 = 0, 9672.

Обратный ход метода Гаусса • Далее выполняется обратный ход для нахождения остальных неизвестных. • Сначала х2 , а затем х 1.

• Здесь применяют такое правило. • Смотрим на строку из предыдущего раздела таблицы, содержащую 1 напротив переменной х2 , • берем свободный член из этой строки и • вычитаем из него произведение элемента, • стоящего слева от свободного члена на ранее найденное неизвестное.

• В нашем примере мы получим следующее • х 2 = 2, 8424 2, 0402· 0, 9672 = 4, 8157. • х3 • х1=6, 1581 ( 4, 9615)· 0, 9672 ( 1, 7991) • • х3 • • ( 4, 8175) = 2, 2930 • х2

МЕТОД ГАУССА • Таким образом, мы получили следующее решение системы 3 -х линейных уравнений: • х1 = 2, 2930 • х2 = 4, 8157 • х3 = 0, 9672.

Невязки • Далее выполняют проверку полученного решения. • Для этого подставляют найденные значения неизвестных в левые части уравнений, входящих в исходную систему. • Полученные результаты сравнивают с соответствующими свободными членами. • Разность между левой частью уравнения системы и его свободным членом называют невязкой этого уравнения.

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ • Пусть число уравнений m равно числу неизвестных n, т. е. m = n. • Для удобства записи алгоритма введем некоторые переменные, • которые будем использовать для краткости записи алгоритма. • А (n , n) массив коэффициентов исходной системы линейных уравнений. • В (n) массив свободных членов. • Х (n) массив значений неизвестных.

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ • Поскольку все преобразования с коэффициентами системы мы будем производить на месте, • то следует для сохранения “не испорченных” значений исходных данных • завести 2 рабочих массива А 1(n , n) и В 1(n), • в которые надо переписать первоначальные исходные данные. •

• В конце алгоритма массивы • А 1(n , n) и В 1(n) • понадобятся для подсчета невязок уравнений исходной системы уравнений.

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ • ШАГ 1. Начало цикла по количеству строк i, i = 1 , 2 , . . . , n. • ШАГ 2. Начало цикла по количеству столбцов j, j = 1 , 2 , . . . , n. • ШАГ 3. Вводим коэффициенты исходной системы уравнений а i , j по строкам и свободные члены вi в массивы А(I, J) и В (I) соответственно.

ПРЯМОЙ ХОД • ШАГ 4. Проводим прямой ход исключения неизвестных с использованием следующих формул: • aij = ai j / ai i • aj k = aj k + aj i · ai k • вj = вj + aj i · вi , • где i = 1, 2, . . . , n 1; • j = i +1, i + 2, . . . , n; • k = i +1, i + 2, . . . i + n.

ПРЯМОЙ ХОД • В конце прямого хода, за пределами цикла получаем хn = вn / an n.

ОБРАТНЫЙ ХОД • ШАГ 5. Организовываем обратный ход для последовательного нахождения хn - 1 , х n - 2 , . . . , х 2, х 1, используя следующие формулы: • h = в i и h = h xj aj j , • Где i = n 1, n 2, . . . , 2, 1, • j = i + 1, i + 2 , . . . , n • x i = h / a ii.

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ • В конце обратного хода формируется массив Х(I) неизвестных • х n , х n - 1 , . . . , х 2 , х 1. • ШАГ 6. Выводим на печать массив Х (I).

Расчет невязок • ШАГ 7. Делаем проверку найденных значений неизвестных. • Для этого подставляем их в левые части уравнений, входящих в систему, • вычисляем невязки каждого уравнения и выводим их на печать. • ШАГ 8. Конец задачи.

Контрольный пример и невязки • В качестве контрольного примера к методу Гаусса следует взять систему линейных уравнений, решенную в данной лекции. Для этой системы значения невязок будут такие: • Невязка 1 - го уравнения 9, 53 · 10 -7 • Невязка 2 -го уравнения 6, 67 · 10 -6 • Невязка 3 - го уравнения - 0.

• ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ • В чем состоит главная идея метода последовательного исключения неизвестных? • Что такое невязка уравнения? • Сформулируйте пошаговый алгоритм метода Гаусса. • ВНИМАНИЕ! Для закрепления изученного теоретического материала следует выполнить лабораторную работу № 6.