Лекция 5 Пересечение поверхности и плоскости Сечение поверхностей

Лекция 5 Пересечение поверхности и плоскости. Сечение поверхностей 2 -го порядка • Построение линий пересечения поверхностей • Способ вспомогательных секущих плоскостей Лектор: Стриганова Л. Ю. 1

Пересечение поверхности и плоскости В результате сечения поверхности плоскостью получается линия, которая образует геометрическую фигуру (окружность, эллипс, многоугольник и т. п. ) 2

СЕЧЕНИЕ ГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 32 Ξ 42 12 Ξ 22 11 21 31 41 • Сечение гранной поверхности – многоугольник, который строится по точкам пересечения секущей плоскости и ребер многогранника 3

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ i 2 aп 2 12 1. abi – окружность 2. b^ i – эллипс 22 3. g ll i - прямоугольник L 2 bп 2 i 1 L 1 gп 1 11 21 4

СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ Сечение цилиндра 52 42 32 эллипс b^ i 12 22 5 21 bп 2 41 31 21 51 4 11 2 11 3 11 1 4 12 3 12 2 2 3 1 21 bп 21 2 5 1 41 31 21 5

СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ gп 2 aп 2 L 2 i 2 1. abi – окружность 2. b^ i – эллипс S 2 3. g – треугольник g проходит через вершину S bп 2 i 1 L 1 6

СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ 4. m – гипербола m ll I 5. h – парабола h ll L i 2 hп 2 S L 2 i 1 m п 1 L 1 7

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ эллипс Rк Rк 42 αп 2 1 12 2 22 22 32 2 3 31 1 3 41 11 12 2121 31 3111 4 11 8

22 1 21 3 21 4 21 2 21 42 12 32 31 41 11 3 21 3 11 4 1 2 31 41 9

Пересечение прямой линии с поверхностью конуса 12 22 αп 2 • Нахождение точек пересечения строится методом вспомогательных секущих плоскостей R m 2 R 21 11 m 1 10

СЕЧЕНИЯ СФЕРЫ Сечение сферы плоскостью – окружность, которая может проецироваться как: - прямая линия - окружность - эллипс 11

СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ плоскостью 12 gп 2 52 bп 2 42 22 αп 2 32 31 41 51 11 21 3 11 41 1 5 11 12

ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 13

Линия пересечения поверхностей совокупность точек одновременно принадлежащих двум пересекающимся поверхностям 14

Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей • Линия пересечения многогранников ломаная линия 15

Линия пересечения многогранника и поверхности вращения сочетание плоских кривых линий (парабола, гипербола, эллипс и т. д. ) Линия пересечения двух поверхностей второго порядка пространственная кривая 16

Алгоритм решения задач на построение линии пересечения поверхностей 1. Провести анализ заданных поверхностей - Определить характер заданных поверхностей - (цилиндр, призма, сфера, пирамида и т. д. ) Определить какая из них является проецирующей поверхностью На плоскости проекций, к которой поверхность перпендикулярна, проекция линии пересечения совпадает с очерком проецирующей поверхности 17

2. Определить характерные (опорные) точки линии пересечения - точки пересечения очерков поверхностей - высшие и низшие, правые и левые точки поверхностей - наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций точки - точки принадлежащие очерковым линиям поверхностей 18

3. Провести вспомогательную секущую плоскость частного положения между опорными точками. В сечении поверхностей должны получаться простые геометрические фигуры – окружности, треугольники, прямоугольники. 4. Построить сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей плоскостью. Определить точки пересечения построенных сечений. 5. Обозначить искомые точки линии пересечения поверхностей. Повторение пунктов 3, 4, 5 – n раз 19

6. Соединить линией, полученные точки пересечения. Сохранить последовательность соединения точек, как на проецирующей поверхности 7. Определить видимость линии пересечения и очерковых линий заданных поверхностей 8. Обвести изображение данных поверхностей с учетом видимости изображения оставляя линии построения 20

Задача. Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 21

1. Провести анализ данных поверхностей Пересекаются призма и сфера. Поверхность призмы является проецирующей на горизонтальной плоскости, поэтому линия пересечения на эту плоскость проецируется в простую геометрическую фигуру - треугольник 22

32 42 72 12 52 62 22 02 Rc 21 11 31 Rc п 1 01 п 1 2. Определить опорные точки. На фигуре треугольника это крайние точки 1 и 2 Еще одна характерная точка – 5 на вершине 41 61 71 bп 1 51 Следующими точками будут точки на оси треугольника – это 3 и 4 3. Дополнительными точками являются 6 и 7 23

24

Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 30 Задача. 25

1. Провести анализ пересекающихся поверхностей 26

Цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью, так как все его образующие фронтально проецирующие прямые Линия пересечения заданных поверхностей на фронтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра 27

Характерные точки - точки пересечения очерков точки 1 и 2 на горизонтальной плоскости находятся на оси конуса 28

Характерные точки - низшие точки очерка цилиндра 9 и 10 лежат на основании конуса 92Ξ 102 91 101 29

π 2 52Ξ 62 92Ξ 102 91 101 • Характерные точки - крайние левые точки очерка цилиндра (точки 5 и 6), находятся с помощью вспомогательной плоскости π2 30

R 5 В плоскости π2 фигура сечения конуса – это окружность R 5, а фигура сечения цилиндра по его оси – прямоугольник 31

R 3 b п 2 Промежуточные точки - 3 и 4 находятся с помощью дополнительной секущей плоскости bп 2, которая рассекает конус по окружности R 3, а цилиндр по прямоугольнику На пересечении этих фигур находятся точки взаимного пересечения 32

Промежуточные точки R 7 72 Ξ 8 2 81 71 п 2 - 7 и 8 строятся аналогично предыдущим. Проводят вспомогательную плоскость п 2 Плоскость рассекает конус по окружности R 7, а цилиндр по прямоугольнику 33

Соединяют полученные точки в последовательности, как на проецирующей поверхности конуса: 1, 3, 5, 7, 9, 2, 10, 8, 6, 4, 1 Обводят изображение с учетом видимости 34