Лекция 5 Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в ОИ. Несобственный интеграл. Определение. Сходимость.
Пример 7: o Оценить значение интеграла , не вычисляя его. Найдём значения и для подынтегральной функции на отрезке. Для этого найдём стационарные точки стационарной точкой на отрезке является точка , где
Завершение примера 7: o Вычислим значения функции на границе отрезка: . Таким образом: . Тогда получим: . o Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. o Если функция непрерывна на , то определена функция: , o которая называется интегралом с переменным верхним пределом.
Производная от функции как интеграла с переменным верхним пределом o Теорема 1: Если функция отрезке и - непрерывна на , то Доказательство: Пусть пусть - приращение аргумента (для определённости ). Рассмотрим: Тогда приращение функции:
Доказательство теоремы о производной от интеграла с переменным верхним пределом Далее на основании теоремы о среднем значении (свойство 9) : Рассмотрим: т. к. если , т. о.
Формула Ньютона-Лейбница o Теорема 2: Пусть -какая-либо первообразная функция для на отрезке , непрерывная функция тогда: Доказательство: По предыдущей теореме, имеем: первообразная функция для есть Тогда: или: т. е. Далее: теоремы. Откуда следует утверждение
Связь определённого и неопределённого интегралов o Таким образом формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определённым и неопределённым интегралом, с помощью которой определённый интеграл вычисляется путём нахождения первообразной функции. o Теорема 3 (замена переменной в О. И. ) Пусть функция - непрерывна функция - монотонная и непрерывно дифференцируемая функция , причём: , тогда:
Доказательство теоремы 3 Пусть - первообразная для функции Тогда, рассматривая как сложную функцию: будем иметь: Это означает, что функция первообразная для функции С другой стороны - есть , т. к. , то
Пример 8: Вычислить значение определённого интеграла: Сделаем замену переменной: тогда
Интегрирование по частям в ОИ o Теорема 4: Пусть функции дифференцируемые функции Доказательство: Рассмотрим: - непрерывно , тогда:
Пример 9: o Вычислить значение определённого интеграла: Например:
Несобственный интеграл Сходимость. Признаки сходимости. НИ 1 -го и 2 -го рода. Условная и абсолютная сходимость.
Критерии сходимости НИ от неотрицательных функций o 1. 2. При введении понятия определённого интеграла Римана (собственные интегралы) делались следующие предположения: Отрезок интегрирования конечный; Подынтегральная функция на отрезке интегрирования является ограниченной функцией и кусочно непрерывной. Обобщим понятие собственного интеграла на случаи: а) бесконечного промежутка интегрирования б) неограниченности функции в окрестности некоторых точек области интегрирования
Несобственные интегралы 1 рода o Рассмотрим три области интегрирования: Пусть функция: определена при и является интегрируемой , т. е. тогда, пользуясь понятием интеграла с переменным верхним пределом, имеем: где B изменяется и может быть сколь угодно большой величиной. Рассмотрим (*)
Определение НИ 1 рода o Предел (*) называется несобственным интегралом (НИ) первого рода от функции на полупрямой и обозначается: При этом говорят, что НИ сходится, если этот предел (*) существует и конечный, и расходится, если этот предел не существует или равен бесконечности. На полупрямой НИ определяется аналогично: Здесь также требуется интегрируемость функции в промежутке:
Продолжение рассмотрения НИ 1 рода o Рассмотрим интервал: полагаем, что интегрируема на , т. е. тогда такая, что: функция или Если существуют конечные пределы в правой части, то НИ сходится, если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то НИ расходится.
Скачать презентацию Лекция 5 Определённый интеграл Формула Ньютона-Лейбница Замена переменной
Лекция 5 по ОИ (23.03.11).ppt