Лекция 5 Корпускулярно волновой дуализм Квантовое состояние

Лекция 5. Корпускулярно – волновой дуализм. Квантовое состояние. Уравнение Шредингера. Доцент Кравцова О. С.

1. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества.

Корпускулярные характеристики - энергия и импульс Волновые характеристики - частота и длина волны. Соотношения между корпускулярными и волновыми характеристиками частиц : Таким образом, любой частице, обладающей импульсом (в том числе и частице, в отличие от фотона, обладающей массой покоя), сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля

2. Некоторые свойства волн де Бройля.

Фазовая скорость волн де Бройля Групповая скорость волн де Бройля Волны де Бройля перемещаются вместе с частицей Для фотона

3. Соотношение неопределенностей.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: Микрочастица не может иметь одновременно определенную координату и определенную соответствующую проекцию импульса , причем неопределенности этих величин удовлетворяют соотношениям т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка.

Соотношение неопределенностей - квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам.

4. Волновая функция и ее свойства.

Для описания поведения квантовых систем вводится волновая функция (пси-функция) Условие нормировки вероятностей

Волновая функция, характеризующая вероятность обнаружения действия микрочастицы в элементе объёма должна быть: 1) конечной (вероятность не может быть больше единицы), 2) однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) 3) непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Волновая функция позволяет вычислить средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции:

5. Общее уравнение Шредингера.

Нестационарное (временное) уравнение Шредингера имеет вид масса частицы постоянная Планка оператор Лапласа мнимая единица потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется (функция не только пространственных координат, но и времени искомая волновая функция частицы

Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной; 2) производные должны быть непрерывны; 3) функция должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей.

6. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний оператор Лапласа Описывает поведение квантовой частицы в стационарном (не изменяющемся со временем) потенциальном поле Решением является комплексная волновая функция

7. Движение свободной частицы.

Свободной называется частица, не подверженная действию силовых полей. Это значит, что

8. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» .

при

Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной «яме» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число , определяющее энергетические уровни частицы называется главным квантовым числом.

Собственные волновые функции На рисунке изображены графики собственных функций (а) и плотность вероятности (б) обнаружения частицы на разных расстояниях от «стенок» ямы, определяемая выражением

9. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Квантовая механика приводит к новому квантовому явлению, получившему название туннельного эффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозь потенциальный барьер. Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны. Для случая прямоугольного потенциального барьера Для потенциального барьера произвольной формы

10. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

Линейный гармонический осциллятор - система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы. Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна Уравнение Шредингера для стационарных состояний квантового осциллятора

Собственные значения энергии для этого уравнения Таким образом, энергия квантового осциллятора квантуется (может иметь лишь дискретные значения). Уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях, равных

Минимальная энергия называется энергией нулевых колебаний. Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними подуровнями, т. е. переходы, удовлетворяющие правилу отбора Следовательно, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями и гармонический осциллятор испускает и поглощает энергию квантами.

11. Движение электрона в водородоподобном атоме

Уравнение Шредингера