Лекция 5 Когерентное и некогерентное рассеяние Итак мы

Лекция 5 Когерентное и некогерентное рассеяние Итак, мы выяснили, что амплитуда рассеяния может зависеть от спинового состояния. По этой причине не все рассеянные волны когерентны к падающей (так называемая спиновая некогерентность). Позже мы уточним понятие когерентности, а сейчас опишем рассеяние частиц со спином 1/2, например, нейтронов на ядрах со спином I. Итак, пусть на ядро-мишень со спином I , падает нейтрон со спином 1/2. В этом случае возможны два спиновых состояния системы (ядро + нейтрон) с полными моментами j±: j± = I ± 1/2 Рассеяние нейтронов будет, соответственно, определяться двумя амплитудами A+ (для j+= I + 1/2) и A− (для j−= I − 1/2). Для выделения состояний с полными моментами введем проекционные операторы:

Проекционные операторы Свойства: проекционные операторы вырезают из волновой функции проекцию на заданное состояние (проецируют на него произвольный вектор состояниия) Здесь использовано соотношение и j 2= (I+S)2=I 2+S 2+2(IS)

Рассеяние частиц со спинами При помощи проекционных операторов, рассеянную волну в волновой функции, описывающей рассеяние, можно разложить на суперпозицию двух функций (с полными моментами j±) с амплитудами рассеяния A+ и A−, соответственно, объединив их следующим образом: где Часть амплитуды, не зависящая от спинового состояния системы (нейтрон+ядро мишени) называется амплитудой когерентного рассеяния: а оставшаяся часть - амплитудой некогерентного рассеяния :

Когерентное и некогерентное рассеяние Амплитуда некогерентного рассеяния обращается в нуль (Ainc=0), если A+ =A−, т. е. когда амплитуда рассеяния не зависит от спинового состояния. Так, например, для всех четно-четных ядер (I =0). Очень малое значение Ainc имеют ядра бериллия 9 Be и циркония 40 Zr. Они "прозрачны"для нейтронов. Вычислим сечение упругого рассеяния на одном ядре усредненное по спиновым состояниям, т. е. Если ориентации спинов нейтрона и ядра не коррелированы, как, например, при рассеянии неполяризованных нейтронов, это означает, что =0, так что интерференционное слагаемое (линейное по IS) в сечении отсутствует.

Когерентное и некогерентное рассеяние Таким образом, сечение рассеяния можно представить в следующем виде: где В результате, получим: Используя, соотношения: 2(I +1) = 2 j++1 и 2 I =2 j−+1, можно это выражение переписать:

Когерентное и некогерентное рассеяние Именно в таком виде мы и написали выражение для сечения рассеяния нейтрона на протоне. Его можно получить, если обозначить σt = 4π |A+|2 и σs = 4π |A−|2, а также учесть, что I =1/2. Вычислим теперь усредненное по спиновым состояниям сечение рассеяния тепловых нейтронов двумя одинаковыми ядрами, расположенными в одной точке (т. е. на расстоянии много меньшем длины волны нейтрона). Имеем: Когда спины у ядер не скоррелированы, т. е. <(I 1 S)(I 2 S)> =0, тогда: <(I 1 S + I 2 S)2> =2<(IS)2 >=I(I +1)/2, поэтому

Когерентное и некогерентное рассеяние Мы видим, что амплитуды когерентного рассеяния от двух ядер, складываясь, интерферируют и дают учетверенный вклад в сечение, амплитуды некогерентного рассеяния не интерферируют, оба ядра дают независимый вклад в сечение некогерентного рассеяния. То есть, в первом случае складываются амплитуды, а во втором сечения рассеяния на ядрах. Это и есть пример спиновой некогерентности при рассеянии неполяризованных нейтронов на неполяризованном веществе. Усреднение по спинам ядер и нейтрона, приводит к исчезновению интерференции.

Псевдопотенциал Ферми При рассеянии в веществе (т. е. на большом числе связанных ядер) методы фазового анализа оказываются непригодными, поскольку размеры рассеивателей могут быть большими. Кроме того возможна передача энергии коллективным движениям рассеивателя. Для описания процессов рассеяния на связанных ядрах Ферми предложил псевдопотенциал, который описывает взаимодействие нейтрона с отдельным ядром так, чтобы уже в борновском приближении эффективное сечение рассеяния правильно выражалось через амплитуду: Здесь aν — длина рассеяния (aν = −Aν). mν — приведенная масса нейтрона и ν -го ядра; rν — координата ν-го ядра. Вычисляя амплитуду рассеяния в борновском приближении для такого потенциала, получим правильное ее значение:

Рассеяния на молекуле (кристалле) δ-образный потенциал можно использовать, пока RN << λ (λ>> 10− 12 см), что справедливо до энергии несколько Мэ. В. Cчитая каждый атом среды точечным, мы сможем в борновском приближении вычислять рассеянную волну от больших макроскопических образцов вещества, превосходящих по размерам длину волны нейтрона. При этом, хотя каждый атом среды будет источником сферических (изотропных) волн, уже несколько молекул, амплитуды для которых складываются со своими фазами, могут дать резкую анизотропию рассеяния. Зная аналитически вид взаимодействия (зависящего как от координаты нейтрона, так и от координат атомов среды), можем исследовать также и влияние нейтрона на среду при рассеянии. Пусть рассеивающие ядра связаны в N-атомную молекулу (кристалл). Дифференциальное сечение рассеяния на этой молекуле (кристалле) в системе центра инерции нейтрона и всей молекулы (кристалла) в единичный телесный угол, с переходом молекулы (кристалла) из i-го в l-е состояние в борновском приближении можно записать:

В выражение для Ali входят: — приведенная масса нейтрона и ν-го ядра с массой Mν и массовым числом Aν а также — приведенная масса нейтрона и всей молекулы (кристалла), A = ν Aν. подставляя получим где и, соответственно,

Эффект корреляции спинов ядер молекулы Заодно уточним пример о рассеянии на ядрах с нескоррелированными спинами. Рассмотрим задачу рассеяния на двухатомной молекуле с полным спином J = I 1 +I 2, состоящей из двух одинаковых ядер со спинами I 1 и I 2, и будем предполагать, что λ >> d, где d — расстояние между центрами атомов молекулы. Тогда exp(−iqrν ) ≈ 1, и ненулевым будет только сечение упругого рассеяния. где Подставляя выражения для амплитуд, будем иметь Для неполяризованных нейтронов и молекул отсутствует корреляция между полным моментом молекулы и спином нейтрона, т. е. , как и ранее, <(JS)> =0 и

В результате Рассеяние на орто и параводороде Для молекулы водорода возможны два состояния: со спином 1, когда спины протонов параллельны и со спином 0, когда спины протонов антипараллельны. Состояние со спином J =1 называется ортоводородом, со спином J =0 — параводородом. Поправка на приведенную массу в этом случае равна D = 4/3. Амплитуды когерентного и некогерентного рассеяния определяются (I =1/2): Здесь a+ и a− длины рассеяния нейтрона на протоне в триплетном и синглетном состояниях. Из экспериментальной величины сечения рассеяния нейтронов на протонах мы выяснили квадраты этих величин, т. е. σt и σs. Измеряя же сечения рассеяния на орто и параводороде можно определить их знак, а, следовательно, и знак энергии связи синглетного состояния Ws.

Cечение рассеяния на молекуле водорода Полное сечение получается отсюда умножением на 4π. Таким образом, получаем а) Для параводорода (J =0) б) Для ортоводорода (J =1) Таким образом σort > σpar и где x = a−/a+. Мы видим, что отношение σort /σpar существенным образом зависит от величины и знака отношения синглетной и триплетной амплитуд рассеяния нейтрона на протоне. В частности, для x = − 3 оно становится бесконечным.

На предыдущей лекции мы получили, что при малых энергиях т. е. |a+| / |a−| ≈ 0, 2 или |x| ≈ 5. Если знаки амплитуд a+ и a− одинаковы (x = 5), то получим: заметим, что в этом случа максимальная величина этого отношения всего лишь (σort/σpar)max = 3 при x →∞. Если же знаки a+ и a− противоположны (x=− 5), Опыты по рассеянию тепловых нейтронов на орто и параводороде свидетельствуют, что σort/σpar ≈ 30. Это означает, что знаки синглетной и триплетной амплитуд различны, то есть синглетное состояние дейтона является виртуальным. Более поздние экспериментальные данные дают a+=5, 38 Фм, a−=− 23, 69 Фм, т. е. a−|/|a+| =4, 40. В этом случае имеем

Если бы взаимная корреляция спинов в молекуле отсутствовала, то надо было бы в сечении усреднить J(J +1) по возможным ориентациям спинов протонов и просуммировать по состояниям, т. е. (для I =1/2) то есть, получили результат для рассеяния на ядрах с нескоррелированными спинами: так как

Это сечение, с другой стороны, соответствует сечению рассеяния нейтронов на естественной смеси орто и параводорода, которая возникает в водороде при высокой температуре (в этом случае заселенности состояний со спином 0 и 1 определяются их мультипольностями). При низких температурах, поскольку состояние параводорода ниже состояния ортоводорода (разность энергий ΔE =0, 0147 э. В) ортоводород должен переходить в параводород. Однако этот переход имеет очень малую вероятность (в водороде, охлажденном до 20 K, за месяц не было обнаружено увеличения концентрации параводорода) и происходит только в присутствии катализатора — активированного угля. В этом случае при низких температурах удается перевести в парасостояние практически все молекулы. Иследованием рассеяния нейтронов на чистом параводороде и на естественной смеси и получены испльзованные выше результаты.

Когерентное рассеяние нейтронов кристаллическим веществом Предположим, что кристалл состоит из одинаковых атомов. Будем считать, что масса их велика, чтобы не учитывать изменение их движения при рассеянии. Положения ядер в кристалле rn определяются тремя базисными векторами решетки, называемыми векторами трансляций, a 1, a 2, a 3 следующим образом: где ni — целые числа Пример двумерной решетки Потенциал взаимодействия нейтрона с ядрами, расположенными в узлах решетки rn, можно записать следующим образом:

Амплитуда рассеяния на таком потенциале будет иметь вид где An — амплитуда рассеяния n-ым ядром. Если все ядра одинаковы, то когерентное рассеяние определяется когерентной частью амплитуды (или длины) рассеяния a, так что сечение (в пересчете на одно ядро) будет иметь вид где F (q)=| n 1 n 2 n 3 |2. Здесь N есть число атомов в кристалле. Cумма, входящая в выражение для сечения, максимальна, когда переданный кристаллу (или кристаллом) импульс q удовлетворяет условию где n — целое. В этом случае n = N; и dσ/dΩ = Na 2. То есть для некоторых направлений (q) сечение рассеяния, приходящееся на одно ядро, возрастает в N раз, а это величина макроскопическая, поскольку 1 см 3 вещества содержит N ~ 1023 атомов. Следовательно, когерентное рассеяние на кристалле происходит резко анизотропно и только в определенные q направления.

Условие выполняется, если выполняются следующие уравнения для q Эти уравнения называются условиями дифракции Лауэ. Для определения векторoв q, являющихся решениями уравнений. Лауэ, удобно ввести векторы обратной решетки b 1, b 2, b 3, которые образуют базис в так называемом обратном пространстве векторов q (решений уравнений Лауэ). Рассмотрим вектор q = hb 1 + kb 2 + lb 3, где h, k и l — числа, входящие в уравнения Лауэ. Они будут удовлетворены, если Из 1 -го столбца следует: Из 2 -го Из 3 -го То есть

Это и есть основные (базисные) векторы обратной решетки. Любая их суперпозиция также представляет вектор обратнойрешетки. Так что условие дифракции означает равенство переданного импульса какомулибо из векторов обратнойрешетки: q = k’ − k = g, где g = hb 1 + kb 2 + lb 3. Целые числа ( hkl ) называются индексами Миллера. Векторы обратной решетки впервые изобрел Гиббс. Можно показать, что любой вектор обратной решетки g перпендикулярен Некоторой системе кристаллографических плоскостей, а его величина g =|g| характеризует межплоскостное расстояние d =2π/g. Действительно, например, величина 2π/|b 1| представляет собой объем параллелепипеда, образованного векторами решетки a 1, a 2, a 3, деленный на площадь его грани, построенной на векторах a 2, a 3, а это есть не что иное, как высота параллелепипеда, т. е. расстояние между двумя соседними кристаллографическими плоскостями, параллельными этой грани.

Таким образом, мы получили, что кристаллическая решетка может передавать (или принимать) лишь дискретный набор импульсов. Другими словами, k =k 0 +g Кроме того, поскольку энергия при упругом рассеянии сохраняется, имеем k 2 =|k 0 +g|2 =k 02 Это есть не что иное, как условие дифракции Брэгга. Действительно, из него следует Вводя угол θ 2 k 0 g +g 2 =0 между кристаллографической плоскостью и направлением вектора k 0: θ = θ − π/2, где используя соотношения θ — угол между векторами k 0 и g, и g =2π/d и k =2π/λ, Получим условие дифракции для некоторого угла θ = θB, называемого углом Брэгга, в виде 2 d sin θB =λ, что представляет собой известное условие Брэгга.

Дифракция и нейтронная оптика Предположим пока, что кристалл состоит из одинаковых атомов. Будем считать, что масса их велика, чтобы не учитывать изменение их движения при рассеянии. Положения ядер в кристалле rn определяются тремя базисными векторами решетки, называемыми векторами трансляций, a 1, a 2, a 3 следующим образом: ni — целые числа Потенциал взаимодействия нейтрона с кристаллом можно записать в виде суммы потенциалов атомов, расположенных в узлах решетки rn,

Разложение потенциала кристалла по векторам обратной решетки Для решения дифракционных задач удобно этот потенциал (сумму атомных потенциалов), обладающий свойством трансляционной инвариантности V (r) = V (r + ai), представить в виде суммы потенциалов кристаллографических плоскостей. Последнее называется разложением потенциала по векторам обратной решетки. Каждую систему плоскостей можно задать вектором g, который перпендикулярен плоскостям и равен по величине |g| = 2π/d, где d – межплоскостное расстояние. Это можно считать определением векторов обратной решетки.

Периодический (в направлении g, ось x) потенциал системы плоскостей можно разложить в ряд Фурье: gn=2 n/d. Можно считать, что каждая гармоника описывает потенциал своей системы плоскостей gn (тогда дифракция n-го порядка это дифракция первого порядка, но на системе плоскостей с межплоскостным расстоянием dn=d/n). Здесь мы учли Поскольку V(r) вещественнен и положили

Заметим, что условия трансляционной инвариантности будут выполняться, если выполняются уравнения Лауэ gai = 2πn. Таким образом, оба определения векторов обратной решетки вполне согласуются друг с другом. Вычислим еще амплитуду рассеяния на этом потенциале: поскольку где A(g) — амплитуда рассеяния на потенциале отдельного атома,

Здесь мы использовали, что grn =2πn, в силу уравнений Лауэ, и что все матричные элементы и амплитуды рассеяния на отдельных ато- An(g)≡ A(g), Ω — объем элементарной ячейки, N — число частиц в единице объема, N =1/Ω. мах в моноатомном кристалле одинаковы: Таким образом, сечение рассеяния отлично от нуля, когда переданный импульс равен вектору обратной решетки q = g, т. е. , рассеяние происходит только в брэгговских направлениях, причем величина сечения ~ N 2 Удобство такого представления потенциала кристалла в виде суммы синусоидальных потенциалов кристаллографических плоскостей состоит в том, что каждый синусоидальный периодический потенциал передает (и принимает) фиксированный импульс (равный вектору обратной решетки), т. е. дает один рассеянный (или отраженный) луч. Выделив один из рассеянных лучей, можно создать экспериментальную ситуацию, когда существенна лишь одна система плоскостей, и потенциал кристалла при этом с высокой степенью точности можно считать синусоидальным. Исследуя сравнительные интенсивности большого числа отражений от кристалла, можно, в принципе, восстановить и вид точного потенциала.

Таким образом, мы снова получили, что кристаллическая решетка может передавать (или принимать) лишь дискретный набор импульсов. Другими словами, k = k 0 + g Кроме того, поскольку энергия при упругом рассеянии сохраняется, имеем k 2 =|k 0 +g|2 =k 02 Это есть не что иное, как условие дифракции Брэгга. Действительно, из него следует 2 k 0 g +g 2 =0 θ между кристаллографической плоскостью и направлением вектора θ = θ − π/2, где θ — угол между векторами k 0 и g, и используя Вводя угол k 0: соотношения g =2π/d и k =2π/λ, Получим условие дифракции для некоторого угла θ = θB, называемого углом Брэгга, в виде 2 d sin θB =λ, что представляет собой известное условие Брэгга.