Лекция 5 Бинарные отношения 1 Прямое произведение

Лекция 5. Бинарные отношения

1. Прямое произведение множеств Пусть a, b – два произвольных объекта. Упорядоченная пара: (a, b). Если a≠b, то (a, b)≠(b, a). Упорядоченная последовательность n объектов: (a 1, a 2, …, an). Прямое (декартово) произведение множеств A B – это множество упорядоченных пар элементов из этих множеств: A B={(a, b)|a∈A, b∈B). Если А≠B, то B≠A. Прямое произведение n множеств: A 1 A 2 …An= {(a 1, a 2, …, an)|a 1∈A 1, a 2∈A 2, …, an∈An} A A …A= An

1. Прямое произведение множеств Утверждение. |A|=m, |B|=n ⇒ |A B|=m n Доказательство: Выбрать первый элемент пары – m способов; выбрать первый элемент пары – n способов; по правилу умножения всего m n способов.

2. Бинарные отношения Пусть A, B – произвольные множества. Бинарное отношение из множества A в множество B – это всякое подмножество прямого произведения A B. ⊆ A B Если A=B, то говорят о бинарном отношении на множестве A. Форма записи: префиксная (a, b) ∈ инфиксная a b n-арное отношение – подмножество прямого произведения n множеств: ⊆ A 1 A 2 …An. График бинарного отношения – множество точек плоскости, координаты которых (a, b) образуют упорядоченные пары этого отношения.

2. Бинарные отношения •

2. Бинарные отношения Утверждение. 1 ⊆ A C, 2⊆ C B ⇒ ( 1○ 2)-1 = 2 -1○ 1 -1 Доказательство: (a, b)∈( 1○ 2)-1 ⇒ ⇒ (b, a)∈ 1○ 2 ⇒ ⇒ ∃c∈C: (b, c)∈ 1 & (c, a)∈ 2 ⇒ ⇒ (c, b)∈ 2 -1 & (a, c)∈ 1 -1

2. Бинарные отношения Утверждение. 1 ⊆ A C, 2= ⊆ C B ⇒ ( 1○ 2)-1 = 2 -1○ 11 Доказательство: (a, b)∈( 1○ 2)-1 ⇒ ⇒ (b, a)∈ 1○ 2 ⇒ ⇒ ∃c∈C: (b, c)∈ 1 & (c, a)∈ 2 ⇒ ⇒ (a, c)∈ 1 -1 & (c, b)∈ 2 -1 ⇒ ⇒ (a, b)∈ 2 -1○ 1 -1.

2. Бинарные отношения Утверждение. 1 ⊆ A C, 2⊆ C B ⇒ ( 1○ 2)-1 = 2 -1○ 1 -1 Доказательство: (a, b)∈( 1○ 2)-1 ⇔ ⇔ (b, a)∈ 1○ 2 ⇔ ⇔ ∃c∈C: (b, c)∈ 1 & (c, a)∈ 2 ⇔ ⇔ (a, c)∈ 1 -1 & (c, b)∈ 2 -1 ⇔ ⇔ (a, b)∈ 2 -1○ 1 -1.

2. Бинарные отношения Пусть ⊆ A A. Рефлексивное отношение: ( a∈A): (a, a)∈. Антирефлексивное отношение: ( a∈A): (a, a)∉. Симметричное отношение: ( a, b∈A, a≠b): (a, b)∈ ⇒ (b, a)∈. Антисимметричное отношение: ( a, b∈A): ((a, b)∈ , (b, a)∈ ⇒ a=b). Транзитивное отношение: ( a, b, с∈A): ((a, b)∈ , (b, с)∈ ⇒ (a, с)∈ ). Полное отношение: ( a, b, с∈A): ( a, b∈A, a≠b): (a, b)∈ или (b, a)∈.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Отношение ⊆ A A: 1) рефлексивно ⇔ I ⊆ ; 2) симметрично ⇔ = -1; 3) транзитивно ⇔ ○ ⊆ ; 4) антирефлексивно ⇔ ∩I = ; 5) антисимметрично ⇔ ∩ -1⊆I; 6) полно ⇔ ∪ -1∪I =U.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 1. ⊆ A A рефлексивно ⇔ I ⊆ . Доказательство: рефлексивно ⇔ ⇔ ( a∈A): (a, a) ∈ ⇔ ⇔ I ⊆ .

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 2. ⊆ A A симметрично ⇔ = -1. Доказательство: симметрично ⇔ ⇔ [( a, b∈A, a≠b): (a, b)∈ ⇔ (b, a)∈ ] ⇔ ⇔ (a, b)∈ -1 и (b, a)∈ -1 ⇔ ⇔ (a, b)∈ -1 и (a, b)∈ ⇔ ⇔ ⊆ -1 и -1 ⊆ ⇔ ⇔ = -1.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 3. ⊆ A A . транзитивно ⇔ ○ ⊆ Доказательство: А) транзитивно ⇒ ⇒ ⇒ [( a, b, c∈A): (a, b)∈ и (b, c)∈ ⇒(a, c)∈ ] ○ ⊆ . ⇒ (a, c)∈ ○ ⇒ ⇒ ∃b: (a, b)∈ и (b, c)∈ ⇒(a, c)∈ Б) ○ ⊆. Пусть (a, b)∈ и (b, c)∈ ⇒ ⇒(a, c)∈ ○ ⇒ ⇒ транзитивно.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 4. ⊆ A A антирефлексивно ⇔ ∩I =. Доказательство: антирефлексивно ⇔ ⇔ ( a∈A): (a, a) ∉ ⇔ ⇔ ∩I =.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 5. ⊆ A A антисимметрично ⇔ ∩ -1⊆I. Доказательство: антисимметрично ⇔ ⇔ [( a, b∈A): (a, b)∈ и (b, a)∈ ⇒ a=b] ⇔ ⇔ [(a≠b и (a, b)∈ )⇔ (a, b)∈ и (b, a)∈ -1]⇔ ⇔ ∩ -1⊆I.

3. Теорема о свойствах бинарного отношения Утверждение 6. ⊆ A A полно ⇔ ∪ -1∪I =U. Доказательство: полно ⇔ ⇔ ( a, b∈A, a≠b): (a, b)∈ или (b, a)∈ ⇔ ⇔ (b, a)∈ -1 или (a, b)∈ -1⇔ ⇔ (a, b)∈ ∪ -1 и (b, a)∈ ∪ -1 ⇔ ⇔ ∪ -1 = ∪ -1∪I =U.

4. Замыкание отношений Для бинарного отношения ⊆ A A: рефлексивное замыкание r = ∪I; симметричное замыкание s = ∪ -1; транзитивное замыкание t = ∪ 2∪ 3∪…∪ n∪…. При этом: r - рефлексивное бинарное отношение; s - симметричное бинарное отношение; t - транзитивное бинарное отношение.

ВОПРОСЫ?