Лекция 5 Активные методы поиска экстремума функции

Лекция № 5 Активные методы поиска экстремума функции

Введение Метод поиска экстремума называется активным, если значения целевой функции выбираются последовательно, с учетом информации, полученной на предыдущих шагах. Для активных (последовательных) методов поиска принято указывать в используемых обозначениях номер итерации с помощью надстрочного индекса в круглых скобках. В соответствии с этим отрезок локализации после j итераций будет обозначаться

Метод дихотомии (половинного деления) В этом методе используется четное количество вычислений целевой функции. На j – м шаге ( j - й итерации) производится пара вычислений и , отстоящих на расстоянии ε / 2 от середины текущего отрезка локализации. Если , то отбрасывается часть отрезка, расположенная справа от ; если , то отбрасывается часть отрезка, расположенная слева от. Используются два условия окончания вычислений: а) выполнение заданного количества вычислений N; б) достижение заданной величины δ уменьшения отрезка локализации.

Алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом дихотомии 1. Задаются N (либо δ) и ε. 2. На j - й итерации вычисляются: Если то . Проверяется условие окончания вычислений: а) либо б)

Алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом дихотомии Если одно из этих условий выполняется, то определяются итоговый отрезок локализации, оценки точки минимума и величины минимума и вычисления завершаются. Если условия не выполняются, то полагается и осуществляется переход к п. 2. Отметим, что для определения точки минимума надо рассмотреть все исследованные точки итогового отрезка локализации и выбрать ту из них, для которой значение функции минимально.

Пример нахождения минимума функции методом дихотомии Задача. Определить методом дихотомии минимум функции заданной на отрезке при N = 8, ε = 0, 1. Решение. В данном случае будут выполнены N /2 = 4 итерации. 1. Находим значения и. Затем значения и .

Таблица результатов Полученные данные занесем в таблицу: Так как 1, 644 < 2, 446, мы передвигаем правую границу интервала влево.

Пример нахождения минимума функции методом дихотомии Находим значение Затем значения и и . . Эти результаты также заносим в таблицу.

Таблица результатов Так как в этом случае 1, 680 > 1, 270, то мы передвигаем левую границу интервала вправо. Отсюда Продолжая итерации и занося результаты в таблицу получаем

Таблица результатов Поскольку, j = N/4 = 4, то вычисления завершаются. Точка минимума локализована на отрезке. На этом интервале наименьшее значение функции равно 1, 004 при х = 1, 713, то есть , а

Метод Фибоначчи позволяет получить самый маленький интервал локализации минимума функции. Этот метод был впервые предложен итальянским математиком Леонардо Пизанским (1170 – 1250), более известным под прозвищем «Фибоначчи» , что означает «сын удачи» . Согласно методу Фибоначчи, на первой итерации проводятся два вычисления значений в точках и расположенных симметрично относительно середины отрезка. По результатам вычислений одна из частей отрезка либо отбрасывается, при этом одна из точек или уже проведенных вычислений остается внутри оставленного отрезка.

Метод Фибоначчи На каждом последующей итерации точка очередного вычисления выбирается симметрично относительно оставшейся точки. Таким образом на первой итерации проводятся два вычисления значений , на каждой последующей – одно вычисление. Поэтому при заданном количестве вычислений N будет выполнено N -1 итераций. При вычислении и используются числа Фибоначчи, определяемые следующим образом: Условием окончания вычислений является выполнение заданного количества вычислений N.

Алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом Фибоначчи 1. Задается число вычислений N, определяются числа Фибоначчи , выбирается ε из условия. 2. На j –й итерации вычисляются

Алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом Фибоначчи Если то 3. Проверяется условие окончания вычислений Если оно выполняется, то определяются итоговый интервал локализации, оценки точки минимума и величины минимума и вычисления завершаются. Если условие не выполняется , то принимается j = j +1 и осуществляется переход к п. 2.

Алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом Фибоначчи На j - й, (j > 1) итерации вычисляется только та точка , (i = 1, 2, 3, …) которая не была определена на предыдущей итерации. Оценкой точки минимума является та из точек , которая осталась внутри итогового интервала локализации.

Пример нахождения минимума функции методом Фибоначчи Задача. Определить методом Фибоначчи минимум функции заданной на отрезке при N = 4. Решение. В данном случае будут выполнены N - 1 = 3 итерации. 1. Определяем числа Фибоначчи. Находим . Выбираем ε = 0, 1.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!