Лекция 5 5 1 Векторная запись теоремы

Лекция 5. § 5. 1. Векторная запись теоремы Остроградского Пусть в 3 -х мерном пространстве задано векторное поле где P, Q, R интегрируемы вместе со своими производными. Пусть в пространстве задана замкнутая гладкая поверхность, ориентируемая внешней нормалью. 1

Поток через поверхность S можно вычислить по формуле: Так как S - замкнутая, гладкая, ориентированная, а функции P, Q, R удовлетворяют условиям теоремы Остроградского, имеем: 2

Сравнивая правые части формул (1) и (2) и вспоминая что имеем: - векторная запись теоремы Остроградского. Поток векторного поля через замкнутую поверхность = по объему от этой поверхности, от дивергенции векторного поля. 3

Пример: Поток векторного поля через поверхность неизвестен. S: нормаль внешняя S - замкнутая поверхность – это боковые поверхности конуса и плоскость z = 2. Найдем заранее: 4

Замечание: из материала, приведенного выше ясно, что скалярным полям можно поставить в соответствие векторные поля, а векторным- скалярные. Если дано скалярное поле U(x, y, z) то с помощью операций grad. U скалярному полю можно ставить в соответствие векторное поле. Если есть векторное поле , то с помощью div можно поставить в соответствие векторному полю скалярное поле. 5

§ 5. 2. Теорема Стокса Если в 3 -х мерном пространстве функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), таковы, что: 1) Непрерывны вместе со своими производными 2) В пространстве задан гладкий, ориентированный, замкнутый, ограниченный контур 6

3) Задана гладкая ориентированная поверхность S, натянутая на контур такая что, нормаль к поверхности и обход контура совмещены по правилу Буравчика. Тогда 7

Формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутому контуру натянутая на поверхность S называется формулой Стокса. В частном случае, если поле плоское, R = 0, z = const, формула Стокса переходит в формулу Грина. 8

§ 5. 3. Линейный интеграл в векторном поле. Циркуляция векторного поля. Пусть в 3 -х мерном пространстве задано векторное поле, где P, Q, R интегрируемы вместе со своими производными. Пусть в пространстве задана гладкая ориентированная кривая AB. 9

В силу гладкости в каждой точке AB существует единственный вектор касательной, который может быть записан следующим образом: 10

- углы которые составляет вектор с осями координат. Считаем, что дуга AB задана параметрически: AB: 11

Тогда для координат единичного вектора касательной имеем: где соответствуют ориентации вектора совпадающего с ориентацией дуги AB, и не совпадающей с ориентацией дуги соответственно. 12

Длина элемента дуги может быть найдена по формуле Рассмотрим в каждой точке дуги AB скалярное произведение Скалярное произведение представляет собой непрерывную по координатам x, y, z функцию. Из непрерывности скалярного произведения следует что существует: 13

Этот интеграл называется линейным интегралом в векторном поле. Смысл интеграла: Пусть по дуге AB от действия вектора силы движется материальная точка единичной массы. Скалярное произведение есть проекция вектора на единичный вектор касательной. Если проекция получим элементарную работу, совершенную силой на перемещении dl в направлении вектора. 14

Чтобы найти полную работу, необходимо проинтегрировать по всей длине дуги AB: - полная работа. Смысл линейного интеграла - работа, совершенная эти полем. Определение. (Циркуляции векторного поля). Если существует в векторном поле линейный интеграл по ориентированному замкнутому контуру вида: 15

то значение этого интеграла называется циркуляцией векторного поля и обозначается буквой Ц. Таким образом, циркуляция векторного поля есть работа векторного поля при движении по замкнутому контуру. 16

§ 5. 4. Ротор векторного поля. Векторная запись теоремы стокса. Пусть имеется векторное поле вида: где P, Q, R непрерывны со своими производными. Рассмотрим в векторном поле замкнутый, гладкий, ориентированный контур ℓ, который является краем гладкой ориентируемой поверхности S. Нормаль к поверхности S и обход контура связаны по правилу Буравчика. 17

Найдем работу, которую совершает векторное поле при движении по замкнутому контуру ℓ. Так как на контур ℓ натянута ориентируемая поверхность S, то 18

Учитывая связь между поверхностными интегралами 2 -го и 1 -го рода имеем: Выражение, стоящее под знаком поверхностного интеграла 1 -го рода можно записать как скалярное произведение: 19

и единичного вектора нормали к поверхности Таким образом, работа по замкнутому контуру может быть записана: 20

Вектор характеризует вращательную способность поля. Если он равен 0, то поле не совершает работу при движении по замкнутому контуру. Вектор называется ротором векторного поля (вихрем векторного поля) и обозначается: 21

Векторная запись теоремы Стокса Теорема Стокса связывает: Слева в формуле стоит циркуляция векторного поля по замкнутому контуру ℓ. 22

Это векторная запись теоремы Стокса. Смысл: Циркуляция векторного поля равна потоку ротора этого векторного поля через поверхность S, натянутую на контур ℓ. 23

§ 5. 5. Плотность циркуляции, связь её с ротором. Пусть в векторном поле В произвольной точке пространства M задан вектор. Найдем циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру ℓ, описываемому около точки M и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору. 24

Если циркуляцию разделим на площадь контура ℓ, то получим число, характеризующее среднюю плотность циркуляции в контуре ℓ. 25

Определение. (Плотности циркуляции). Плотностью циркуляции в точке М по направлению вектора называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле: Когда контур ℓ стягивается в точку M. Можно показать, что плотность циркуляции в точке M по направлению вектора равна проекции ротора векторного поля на направление. 26

§ 5. 6. Вычисление циркуляции Ее можно вычислить 2 способами: 1) По определению, путем сведения к криволинейному интегралу 2 -го рода. 2) С помощью теоремы Стокса. Пример: На практике. Дано векторное поле Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру l, заданного пересечением 2 -х поверхностей.

Считаем, что обход контура происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора Z

Считаем, что обход происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора z l лежит в плоскости x + z = 1 l-эллипс. Циркуляция вектор касательной (единичный вектор). Координаты вектора :

P = z, Q = 0, R = y. Циркуляция Криволинейные интегралы 2 рода решаются путем задания параметрически l.

Этот метод вычисления интеграла по определению. Вычислим циркуляцию по теореме Стокса

Замечание: Нормаль к поверхности S и обход контура l согласованы по правилу Буравчика. Так как обход контура производится как показано на рисунке, нормаль к поверхности направлена вверх. При этом нормаль составляет острый угол с осью Z. Контур l лежит в плоскости x+z=1. Значит поверхность S, через которую находится поток векторного поля в теореме Стокса является частью этой плоскости.

Найдем нормаль к поверхности S. где U уравнение поверхности x+z=1 Найдем ротор вектора

Пространственный эллипс находится в плоскости z+x=1 => z=1 -x