Лекция 5. 4. Интегрирование рациональных дробей, некоторых

Лекция 5. 4. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных и трансцендентных функций. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простых дробей. Интегрирование простых дробей. Понятие рациональной функции от нескольких переменных. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простых дробей. Функция вида где Pn ( x ), Qm ( x ) – многочлены степени n и m соответственно, называется дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью. Если n < m , то дробь называется правильной, в противном случае – неправильной. Если дробь неправильная – выделим ее целую часть: где S n-m ( x ), Rk ( x ) – многочлены степени ( n – m ) и k соответственно, причем k < m. , )( )( )( x. Q x. P xf m n , )( )( )( x. Q x. R x. S x. Q x. P m k mn m n

Пусть х1 — действительный корень знаменателя кратности r. Простыми (элементарными) дробями, соответствующими этому корню, называются дроби вида где А 1 , А 2 , . . . , Аr – действительные числа. Пусть i – пара комплексно сопряженных корней знаменателя кратности s , причем ( х – – i )( x – + i ) = x 2 + px + q , где D < 0. Простыми дробями, соответствующими этой паре корней, называются дроби вида где M j x + Nj ( j = 1, 2, …, s ) – многочлены первой степени с действительными коэффициентами. , 11 xx A , . . . , 2 1 2 xx A , 1 r r xx A , 2 11 qpxx Nx. M , . . . , 2 2 22 qpxx Nx. M , 2 sss qpxx Nx. M

Пусть x 1 , x 2 , …, x k – все действительные корни многочлена Q m ( x ) в знаменателе, кратности которых соответственно равны r 1 , r 2 , …, r k ; , …, – все пары комплексно сопряженных корней этого же многочлена кратности s 1 , s 2 , …, s l соответственно. Напомним, что многочлен в этом случае может быть разложен на множители, то есть представлен в виде где r 1 + r 2 +. . . + r k + 2( s 1 + s 2 +. . . + s l ) = m. ТЕОРЕМА. Всякая правильная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы элементарных дробей, соответствующих всем корням знаменателя. . ). . . ()()( 2 11 2 1 11 lks ll sr k r mqxpxxxxxx. Q 11 illi

При выполнении разложения правильной рациональной дроби в сумму простых дробей обычно используют так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем: Для данной дроби пишется разложение, коэффициенты которого считаются неизвестными. После этого обе части полученного равенства приводятся к общему знаменателю. У получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях переменной. В результате получается система m линейных уравнений с m неизвестными, которая в данном случае имеет единственное решение. )( )( x. Q x. P mn

ПРИМЕР 1. х2 + х + 7 А ( х + 2)2 +В ( х + 2)( х – 1) + С ( х – 1). Для определения коэффициентов А, В, С получаем систему: Итак, искомое разложение имеет вид 2 2 )2)(1( 7 xx xx 2 )2(21 х C х B х A 2 2 )2)(1( )1()2)(1()2( хх х. Cхх. Bх. A 724 14 1 CBA BAC BA. 3 0 1 C B A 2 2 )2)(1( 7 xx xx. )2( 3 1 1 2 хх

ПРИМЕР 2. Итак, искомое разложение имеет вид )52)(1( 7 2 ххх х 521 2 хх СВх х А )52)(1( )1)(()52( 2 2 ххх х. СВххх. А )1)(()52(7 2 х. СВххх. Ах 75 12 0 СА СВА ВА. 2 1 1 С В А )52)(1( 7 2 ххх х. 52 2 1 1 2 хх х х

Интегрирование простых дробей. Задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена, интеграл от которого является табличным, и правильной рациональной дроби, что приводит к нахождению интегралов следующих четырех типов: При этом многочлен x 2 + px + q не имеет вещественных корней, т. е. D = p 2 – 4 q 0. ; ln)1 Cax. A ax Adx ; 1, ))(1()( )21 s. C axs A ax Adx ss ; )( )32 qpxx dx. BAx. 1, )( )( )42 s qpxx dx. BAx s

Выделим полный квадрат по х в знаменателях двух последних дробей и сделаем замену переменной, полагая В результате получим интегралы вида. 2 t p x dt at DAt s )( 22 s at atd. A )( )( 2 22 22. )( 22 s at dt D )1( )( 22 s at dt Iss ; 1 221 C a t arctg aat dt I ; 1, 1 )( 1, )ln( )( )(122 22 s. C s at s. Cat at atds s. Здесь — вычисляется по рекуррентной формуле, полученной интегрированием по частям.

Под рациональной функцией двух переменных u и v понимается функция R ( u , v ), представимая в виде где P и Q – многочлены относительно u , коэффициенты которых являются многочленами относительно v. Например Если переменные u и v , в свою очередь, являются функциями переменной х , то функция R ( u ( х ), v ( х )) называется рациональной функцией от u ( х ), v ( х ). Например Аналогично можно ввести понятие рациональной функции от m переменных. Понятие рациональной функции от нескольких переменных. , ), ( vu. Q vu. P vu. R. 75 ), ( 2 532 vu vu. R ). 1, ( )1(85 13 )( 2 2 2 xx. R xx xx xf

Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических функций • Интегралы вида Так называемая универсальная тригонометрическая подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, так как ПРИМЕР 3. . )cos, (sindxxx. R ), , (, 2 x x tgt , 1 2 sin 2 t t x , 1 1 cos 2 2 t t x . 1 2 , 22 t dt dxarctgtx . 2 ln )1(2 2)1( sin 2 2 C x tg t dt tt dtt x dx

Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Вместе с тем другие методы иногда позволяют вычислить данный интеграл значительно быстрее. В частности, подстановки вида t = cos x , x (0, ); t = sin x , x (– /2, /2); t = tq x , x (– /2, /2). ПРИМЕР 4. ПРИМЕР 5. ПРИМЕР 6. . )1(cos)cos 1( cossin 3232323 tt dt xx xdx xx dx. 1 sin ln 2 1 1 1 ln 2 1 1 sin 1 sin cos cos 222 C x x C t t t dt x xdx x dx xx tgxdtgxtdt coscoscos ()()()

• Интегралы вида Рассмотрим некоторые случаи, когда m и n целые (не обязательно положительные) числа. Например. )(cos)(sindxxx nm dxxx nk )(cos)(sin 12 )(coscos)cos 1( 2 xxdx nk ; )1( 2 dttt nk xdxx km 12 cossin)(sin)sin 1(sin 2 xdxx km ; )1( 2 dttt km xdxx lk 1212 cossinxdxxxx lk cossin 22 dx xxx lk 2 2 sin 2 2 cos 1 )2(cos 2 2 cos 1 4 1 xd xx lk. )1()1( 2 1 2 dttt lk lk

Если оба показателя m и n положительны и четны (или один из них равен 0), то целесообразно применять формулы понижения степени ПРИМЕР 7. . 2 2 cos 1 cos, 2 2 cos 1 sin 22 x x xdx 4 cos dx x 2 2 2 cos 1 dxxx )2 cos 21( 41 2 dxx xx )4 cos 1( 8 1 4 2 sin 4 C xxxx 32 4 sin 84 2 sin 4. 32 4 sin 4 2 sin 8 3 C xxx

• Интегралы вида Интегралы этого типа непосредственно вычисляются, если в них подинтегральные функции преобразовать согласно формулам ПРИМЕР 8. . cossinxdxx , )sin( 2 1 cossinxxxx , )cos( 2 1 sinsinxxxx. )cos( 2 1 coscosxxxx xdxxcos 2 sin dxxx )sin 3(sin 21. cos 2 1 3 cos 6 1 Cxx

• Интегралы вида Подстановка сводит данный интеграл к интегралу от рациональной дроби, так как Иногда при вычислении интегралов данного типа более эффективными являются подстановки t = c h x , t = sh x , t = th x , t = c h 2 x или метод интегрирования по частям. ПРИМЕР 9. . ), (dxchxshx. R 2 x tht , 1 2 2 tt shx , 1 1 2 2 t t chx . 1 2 2 t dt dx . 57 2 9 )1( )()1( 579579 22454 C xchxchxch C ttt dttt chxdxchxchxdxshxch

Интегрирование некоторых иррациональных функций. • Интегралы вида где rk Q ( k = 1, 2, … , n ), a , b , c , d R , ad – bc 0, подстановкой ( p – общий знаменатель рациональных чисел r 1 , r 2 , … , rn ) приводятся к интегралу от рациональной функции одной переменной t. ПРИМЕР 10. , , . . . , , 1 dx dcx bax x. R nrr p t dcx bax . )1( )1)(13( 6 )1( 6 , 1 1 1 )2( 23 322 23 2 3 3 dt t ttt dt t t dx t t xt x x dx x

• Интегралы вида После выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной интеграл может быть сведен к интегралам от функций следующих трех видов, каждый из которых может быть вычислен с помощью соответствующей тригонометрической подстановки: 1) – подстановка u =a cos t или u =a sin t ; 2) – подстановка u =a tg t или u =a c tg t ; 3) – подстановка или . , 2 dxcbxaxx. R 22 , uau. R 22 , auu. R t a u cos. sint a u

ПРИМЕР 11. Итак, искомый интеграл мы свели к интегралу от рациональной дроби. tdt tttgx tdt dxtgtx dxx 3 22 2 2 cos 4 cos 2 )1(44 , cos 2 , 2 4. )1( 4 )sin 1( sin 4 cos 422224 y dy t tdt

Рассмотрим часто встречающийся на практике интеграл Для его вычисления предварительно выделим в числителе производную подкоренного выражения в знаменателе В результате интеграл сводится к линейной комбинации интегралов Интеграл сводится к предыдущему подстановкой . 2 dx cbxax kmx I . 2)( 2 baxcbxaxd AI 2 2 )(. 2 cbxax dx B )2; 1( )( 2 r cbxaxkmx dx r. 1 t kmx

Спасибо за внимание!