Лекция 5 1 Содержание предыдущей лекции Механическая

Лекция 5 1

Содержание предыдущей лекции Механическая энергия • Столкновение тел. Кинематика и динамика вращательного движения • Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением. • Момент силы. Уравнение моментов. 2

Контрольный вопрос Две частицы обладают одинаковыми кинетическими энергиями. Величины их импульсов соотносятся как: а) p 1 < p 2, б) p 1 = p 2, в) p 1 > p 2, г) невозможно определить. Масса тел неизвестна – г) 3

а б в г МА-180 0 19 0 5 МА-181 0 22 0 4 МА-182 0 17 0 6 МА-183 0 14 0 7 МА-184 0 22 0 2 ТМО-110 0 13 0 3 ТМО-111 1 9 1 8 НИ-108 0 17 0 7 4

Содержание сегодняшней лекции Кинематика и динамика вращательного движения • Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела. • Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. • Момент импульса тела. Закон сохранения момента импульса. • Гироскопические силы. Гироскопы и их применение в технике. Релятивистская механика • Принцип относительности Галилея. • Постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна. • Относительность одновременности и преобразования Лоренца. 5

Момент инерции Абсолютно твердое тело – система частиц (материальных точек) с неизменным расстоянием между ними. Момент инерции тела относительно некоторой оси – величина, равная сумме произведений элементарных масс, из которых состоит данное тело, на квадраты их расстояний от некоторой оси, Момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. 6

Момент инерции Плотность тела – характеристика распределения массы m в его объеме V, Плотность неоднородного тела 7

Момент инерции Если = соnst, то Наиболее точное решение 8

Теорема Штейнера Момент инерции I тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции IC данного тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями: 9

Теорема Штейнера Доказательство: Ось С проходит через центр масс тела. Ось О параллельна оси С. Оси перпендикулярны плоскости экрана. а – расстояние между осями. 10

Теорема Штейнера - ось С проходит через центр масс. 11

Кинетическая энергия вращательного движения твердого тела Вращение тела вокруг неподвижной оси z. Кинетическая энергия i-й элементарной массы Кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси 12

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Аналогия со вторым законом Ньютона для поступательного движения частицы. Частица массы m движется по окружности радиуса r под действием касательной силы и радиальной силы 13

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Связь между модулями касательного ускорения частицы , вызванного действием под действием касательной силы Момент действующей на частицу силы относительно центра окружности 14

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Связь между модулями касательного ускорением и углового ускорения Момент действующей на частицу силы относительно центра окружности - момент инерции частицы относительно оси z, проходящей через центр окружности. 15

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Момент действующей на частицу силы относительно центра окружности пропорционален ее угловому ускорению 16

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Бесконечно большое количество материальных точек (частиц) массы dm и бесконечно малого размера – аналог твердого тела произвольной формы. Действие на частицу тела, вращающегося относительно фиксированной оси, силы 17

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Момент силы, действующий относительно оси вращения и связанный с силой d. Ft , Равенство углового ускорения для всех частиц. 18

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Момент силы, действующий относительно оси вращения на тело в целом, Момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через точку О, 19

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения Момент силы, действующий относительно оси вращения на тело в целом, Справедливость данного выражения с учетом как касательных, так и радиальных компонент силы. Прохождение линии действия радиальной силы через ось вращения тела, равенство нулю ее плеча и момента. 20

Момент импульса тела Момент импульса отдельно взятой i-ой частицы относительно точки О 21

Момент импульса тела Угол i – острый для любой частицы тела. 22

Момент импульса тела Для всего тела Аналогия: 23

Закон сохранения момента импульса Для всякой системы частиц (тела) 24

Закон сохранения момента импульса - проекция углового ускорения на ось z. Аналогия: 25

Закон сохранения момента импульса Однородное тело, симметричное относительно оси вращения, - момент импульса относительно точки О, лежащей на оси вращения, совпадает по направлению с вектором . В общем случае несимметричного тела данное уравнение не выполняется. 26

Закон сохранения момента импульса Если то и постоянен. Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным во времени. 27

Закон сохранения момента импульса Если то и постоянна. Проекция момента импульса замкнутой системы материальных точек на некоторую ось остается постоянной во времени. 28

Гироскопические силы Гироскоп (волчок) – массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Ось гироскопа – одна из главных осей симметрии. Если ось гироскопа не поворачивается в пространстве, то 29

Гироскопические силы Пусть ось гироскопа поворачивается в пространстве с некоторой скоростью. эквивалентность поворота вектора и оси гироскопа. Гироскопический эффект – под действием сил поворот оси гироскопа ОО вокруг прямой О О вместо ожидаемого поворота вокруг оси О О. 30

Гироскопические силы Направление момента сил и – вдоль прямой О О. Приращение импульса гироскопа за время dt равно - новое направление оси гироскопа 31

Гироскопические силы Поворот оси гироскопа вокруг прямой О О на угол Угловая скорость поворота Возникновение гироскопических сил при попытке вызвать поворот оси гироскопа. 32

Гироскопы и их применение в технике • • • гирокомпасы для ручного или автоматического управления судном, системы навигации и стабилизации, системы наведения орудий, датчики движения, генераторы момента силы. 33

Релятивистская механика 34

Принцип относительности Галилея Галилео Галилей (15 февраля 1564 - 8 января 1642) итальянский ученый, один из великих философов нового времени, основателей точного естествознания. • заложил основы классической механики, в частности динамики, • открыл закон инерции, законы свободного падения, движения тела по наклонной плоскости и тела, брошенного под углом к горизонту, закон сложения движений и закон постоянства периода колебаний маятника, • исследовал прочность материалов, • создал телескоп с 32 -кратным увеличением, • обнаружил фазы у Венеры, пятна на Солнце, четыре спутника у Юпитера и горы на Луне. 35

Принцип относительности Галилея Уравнения динамики не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Уравнения динамики инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. 36

Принцип относительности Галилея Все инерциальные системы отсчета эквивалентны. Никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной инерциальной системы отсчета, нельзя установить, находится ли она в состоянии покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. 37

Принцип относительности Галилея Законы механики должны быть одинаковыми в различных системах отсчета. Система отсчета движущегося грузовика. Система отсчета наблюдателя на земле. Невозможность выявления различий в поведении тел в различных инерциальных системах отсчета с помощью экспериментов в рамках механики. 38

Принцип относительности Галилея Преобразования Галилея Р 39

Эксперименты: принцип относительности Галилея применим только в классической механике. 40

Физика 19 века: • волны света распространяются в среде, называемой эфиром, • скорость света равна с только в абсолютной системе, неподвижной по отношению к эфиру. 41

с - скорость света относительно абсолютной системы отсчета, неподвижной относительно эфира, v - скорость движения наблюдателя. По ветру Против ветра Под углом к ветру Принцип относительности Галилея: скорость света должна быть разной в разных инерциальных системах отсчета. 42

Эксперимент Майкельсона-Морли – опровержение данного утверждения. 43

Постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна Альберт Эйнштейн (14. III 1879 — 18. IV 1955) физик-теоретик, один из создателей современной физики, 1905 – специальная теория относительности (СТО) 44

Постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна Принцип относительности (инвариантности): все законы физики (механики, электричества, магнетизма, оптики, термодинамики, и т. д. ) должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой. Принцип постоянства скорости света: Скорость света в вакууме имеет одинаковое значение с = 3, 00 108 м/с во всех инерциальных системах отсчета независимо от скорости наблюдателя или скорости источника, испускающего свет. 45

Одновременность событий Ньютон: абсолютное, истинное и математическое время само по себе и в силу собственной природы течет одинаково безотносительно к чему-либо внешнему. Ньютон: время течет одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Эйнштейн: время течет различным образом в различных инерциальных системах отсчета. 46

Одновременность событий Мысленный эксперимент Эйнштейна Движение грузового вагона с постоянной скоростью. Неподвижный наблюдатель в точке О: фиксация одновременных ударов молний в концах вагона. Движущийся вместе с вагоном наблюдатель в точке О : более ранний удар молнии в левый конец вагона. 47

Одновременность событий Неподвижный наблюдатель в точке О: свет прошел одинаковые расстояния до точки О. Движущийся вместе с вагоном наблюдатель в точке О : свет прошел разные расстояния из-за смещения наблюдателя вместе с вагоном. 48

Одновременность событий Неодновременность событий для наблюдателей в различных инерциальных системах отсчета. Два события происходят одновременно в одной системе отсчета и неодновременно в другой системе отсчета, движущейся по отношению к первой. 49

Контрольный вопрос Труба и цилиндр, обладающие одинаковыми радиусами, массой и длиной (высотой), вращаются относительно их продольных центральных осей с одинаковой угловой скоростью. Большей вращательной кинетической энергией обладает: а) полая труба, б) сплошной цилиндр, в) они обладают одинаковыми значениями вращательной кинетической энергии, г) невозможно определить. 50