Лекция 5 1 Примеры задач линейного программирования а

Лекция 5 1. Примеры задач линейного программирования: а) задача об использовании ресурсов; б) транспортная задача; 2. Общая задача линейного программирования 3. Система m линейных уравнений с n переменными, базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Базисные решения. 4. Геометрический смысл решений линейных неравенств и их систем. 1. Примеры задач линейного программирования: а) задача об использовании ресурсов Для изготовления двух видов продукции А и В используются четыре вида ресурсов (сырье, труд, техника и т. п. ) : S 1, S 2 , S 3 и S 4 Запасы и расходы ресурсов на единицу продукции приведены в таблице:

Вид ресурса Запас ресурса Расход ед. ресурса на ед. продукции: А В S 1 18 1 3 S 2 16 2 1 S 3 5 0 1 S 4 21 3 0 Прибыль, полученная от реализации единицы продукции A равна 2 у. е. , от реализации единицы продукции B - 3 у. е. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной.

Составим экономико-математическую модель задачи. Пусть x 1 - число единиц продукции А , запланированных к производству; x 2 - число единиц продукции В , запланированных к производству; Для выполнения плана потребуется: единиц ресурса S 1 единиц ресурса S 2 Вид ресурса Запас ресурса единиц ресурса S 3 Потребление В А , 18 3 2 1 5 0 1 21 S 4 1 16 S 1 ресурсов не должно превышать запасов: S 2 S 3 (5. 1) S 4 единиц ресурса Расход ед. ресурса на ед. продукции: 3 0 Система ограничений Кроме того, по смыслу задачи Суммарная прибыль от реализации продукции (5. 2) составит Целевая функция (5. 3)

Математическая формулировка задачи выглядит следующим образом. Найти такой план выпуска продукции (x 1, x 2), удовлетворяющий системе (5. 1) и условию (5. 2), при которых функция (5. 3) принимает максимальное значение. система ограничений (5. 1) (5. 2) (5. 3) целевая функция

б) транспортная задача Имеются три поставщика и четыре потребителя некоторой однородной продукции. Мощности поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза приведены в таблице. Мощности Потребители и их спрос поставщиков ( i ) (j) 1 2 3 4 20 110 40 110 1 60 1 2 5 3 2 120 1 6 5 2 3 100 6 3 7 4 Здесь i -номер строки, j-номер столбца. Ci, j - затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j - у потребителю.

Коэффициенты затрат можно представить в виде матрицы Задача формулируется следующим образом. Найти объемы перевозок для каждой пары «поставщикпотребитель» так, чтобы: 1)мощности всех поставщиков были реализованы; 2)спросы всех потребителей были удовлетворены; 3)суммарные затраты на перевозку были минимальны. Построим экономико-математическую модель задачи.

Пусть xi j - объем перевозки от i -го поставщика к j -у потребителю Мощности всех поставщиков должны быть реализованы Мощности поставщиков (i) Потребители и их спрос (j) 1 2 3 4 20 (5. 4) 110 40 110 1 60 1 x 11 2 x 12 5 x 13 3 x 14 2 120 1 x 21 6 x 22 5 x 23 2 x 24 3 Спросы всех потребителей должны 100 6 x 31 3 x 32 7 x 33 4 x 34 быть удовлетворены (5. 5) Суммарные затраты (5. 6)

Рассмотрим математическую формулировку задачи: На множестве неотрицательных решений системы ограничений (5. 4) и (5. 5) найти такое решение , при котором линейная функция (5. 6) принимает минимальное значение. Замечание. 60+120+100=280 -суммарная мощность поставщиков 20+110+40+110=280 – суммарный спрос потребителей Транспортная задача называется закрытой. Если это равенство не выполняется – открытой

2. Общая задача линейного программирования Дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными …………………………………………. . и линейная функция

Необходимо найти такое решение системы при котором линейная функция принимает оптимальное (т. е. максимальное или минимальное) значение. Оптимальное решение иногда называют оптимальным планом (экономическая интерпретация). Рассматривают различные формы задач линейного программирования. Если все переменные неотрицательны и система ограничений состоит лишь из одних неравенств, то задача называется стандартной. Если система ограничений состоит из одних уравнений, то задача называется канонической. Любая задача линейного программирования может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче.

3. Система m линейных уравнений с n переменными, базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные. Базисные решения. Рассмотрим систему ………. . …………………… … (5. 7) Будем считать, что в системе (5. 7) все m уравнений линейно независимы, т. е. r = m (r - ранг системы) и m < n. Определение. Любые m переменных системы (5. 7) называются базисными (или основными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n - m переменных называются свободными (или неосновными). Замечание. Максимально возможное число групп основных переменных не превосходит числа всех сочетаний из n по m

Теорема. Если для системы m линейных уравнений с n переменными (5. 7 ) существует хотя бы одна группа базисных переменных, то эта система является неопределенной. Д. Пусть x 1, x 2, …, xm - базисные переменные. Запишем систему уравнений в виде ……………………………… При произвольном наборе значений переменных xm+1 , xm+2, …, xn получаем систему

…………………. Определитель этой системы по теореме Крамера система имеет единственное решение. В силу произвольного выбора свободных переменных получаем бесконечное множество решений.

Решение системы (5. 7) называется допустимым, если оно содержит только неотрицательные компоненты. Базисным решением системы m уравнений с n переменными называется решение, в котором все n - m свободных переменных равны нулю. Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным. Пример. Найти все базисные решения системы уравнений максимальное число пар базисных переменных 1) x 1, x 2 -, базисные переменные; x 3, x 4 – свободные переменные x 1, x 2 не могут быть базисными переменными 2) x 1, x 3 - базисные переменные; x 2, x 4 – свободные переменные базисное допустимое решение

3) x 1, x 4 - базисные переменные; x 2, x 3 – свободные переменные 4) x 2 , x 3 - базисные переменные; x 1, x 4 – свободные переменные 5) x 2, x 4 - базисные переменные; x 1, x 3 – свободные переменные 6) x 3, x 4 - базисные переменные; x 1, x 2 – свободные переменные

4. Геометрический смысл решений линейных неравенств и их систем. Теорема. Решением линейного неравенства является одна из двух полуплоскостей, на которые прямая делит всю плоскость, а также и сама прямая. Вторая полуплоскость вместе с прямой является решением неравенства

Доказательство (предполагаем, что b>0)

Пример1. Построить множество решений неравенства Решение. Строим прямую Выбираем контрольную точку на плоскости, например, O(0; 0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству следовательно, нижняя полуплоскость является решением неравенства 2 O 3

Пример 2. Найти решение системы неравенств Решение (1) (2) Строим прямые и выбираем контрольные точки

Пример. Построить множество решений системы неравенств (1) (2) x 2 9 6 A B x 1 O 3 C (2) 12 (1)