Лекция 4 Взаимное положение прямой и плоскости

Лекция № 4 Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве

Взаимное положение прямой и плоскости в пространстве: - 1) 2) прямая лежит в плоскости; прямая пересекает плоскость; прямая параллельна плоскости. Прием определения взаимного положения прямой и плоскости заключается в следующем: через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости и данной плоскости; устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой и плоскости.

Пересечение прямой с плоскостью g a K в а Точка К является точкой пересечения (встречи) прямой а и плоскости α

Задача Определить точку пересечения прямой (а) с плоскостью (ΔВСD) и видимость прямой по отношению к плоскости В 2 а 2 С 2 D 2 а 1 В 1 D 1 С 1

γ n С а А К С 1 К 1 А 1 В γ 1≡a 1≡n 1 В 1 П 1

Нахождение точки пересечения прямой с плоскостью на эпюре Алгоритм решения задачи 1. Через горизонтальную проекцию прямой а 1 проведем горизонтальный след вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости , тогда а . 2. Горизонтальный след плоскости 1 пересекает проекцию плоскости В 1 С 1 D 1 в точках 11 и 21, которые определяют положение горизонтальной проекции n 1 - линии пересечения плоскостей и ВСD. Для нахождения фронтальной проекции n 2 проведем линии связи до пересечения с одноименными сторонами ( BCD), получим проекции точек 12 и 22. п 2 В 2 K 2 22 32 Ξ( 42) С 2 12 х12 а 2 D 2 В 1 21 41 31 С 1 D 1 а 1º g 1º п 1 11 K 1

3. Линия n и линия а лежат в одной вспомогательной плоскости , в пересечении их фронтальных проекций определяется фронтальная проекция точки К 2, принадлежащей и прямой а и плоскости ΔВСD. По линии связи находим горизонтальную проекцию точки К 1. 4. Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости ΔВСD. Точки 3 и 4 являются фронтально конкурирующими. Точка 3 находится ближе к наблюдателю и дальше от плоскости П 2, на фронтальной проекции она перекрывает 42, а К 232 будет невидима, т. к. 4 Є а.

Прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой этой плоскости. D 2 n 2 а 2 X 12 В 2 С 2 D 1 С 1 В 1 а 1º n 1º g 1 Прямая параллельная плоскости

Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна к любым двум пересекающимся прямым этой плоскости. Теорема Прямая линия перпендикулярна плоскости, если ее проекции перпендикулярны одноименным проекциям направлений горизонтали и фронтали плоскости.

Прямая а перпендикулярна плоскости ∆ВСD А 2 В 2 а 2 f 2 90 0 D 2 h 2 С 2 В 1 а 1 f 1 D 1 0 90 А 1 h 1 С 1

Взаимное пересечение плоскостей Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две общие для них точки. При решении задач на построение линии пересечения плоскостей применяют способ вспомогательных плоскостей.

Построение линии пересечения плоскостей на эпюре

Задача Проверить, параллельны ли плоскости АВС прямые a и b. А 2 b 2 X 12 2 В 2 С 2 А 1 С 1 а b 1 В 1 а 1

А 2 b 2 а 2 В 2 С 2 X 12 А 1 b 1 С 1 В 1 а 1

Взаимно параллельные плоскости Если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. А 2 m 2 С 2 n 2 В 2 С 2 А 1 m 1 n 1 С 1 В 1 С 1 Параллельные плоскости

Взаимно перпендикулярные плоскости Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из плоскостей имеет прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости.

Спасибо за внимание!