ЛЕКЦИЯ 4 УТОЧНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КОРНЯ УРАНЕНИЯ МЕТОДОМ

ЛЕКЦИЯ 4 УТОЧНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО КОРНЯ УРАНЕНИЯ МЕТОДОМ ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • В переводе с латыни iteratio означает “повторение”. Метод простых итераций (МПИ) основан на представлении уравнения • F(x) = 0 (1) • в виде х = f (x). (2). • Уравнение (2) равносильно уравнению (1)

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Пусть корень уравнения (2), • а х0 полученное каким-то способом грубое приближение к корню . • Подставим х0 в правую часть уравнения (2), • получим некоторое число х1 = f (x 0). • Проделаем то же самое с х1, • получим х2 = f(x 1) и т. д. • Последовательно применяя соотношение • хn = f (x n - 1) для n = 1, 2, . . . • получим числовую последовательность • х0, х1, . . . , хn, . . . (3)

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Последовательность (3) называется • последовательностью приближений или итерационной последовательностью. • Справедливо утверждение: • если последовательность (3) сходится, • а функция f(x) непрерывна, • то предел последовательности (3) • является корнем уравнения (2).

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Действительно, пусть = lim xn при n стремящемся к . • Перейдем к пределу в равенстве • хn = f(x n - 1). • Получим следующее. • lim xn = lim f (x n-1) = f ( lim x n-1 ) = f ( ), n n n • т. е. = f ( ).

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Метод итераций не всегда может привести к уточнению корня. • Достаточные условия сходимости итерационного процесса • выясняются следующей теоремой (без доказательства).

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Теорема. Пусть уравнение х = f (x) имеет единственный корень на отрезке • а, b и выполняются следующие условия: • 1) f(x) определена и дифференцируема на отрезке a, b ; • 2) для всех х а, b , f ( x ) а, b ; • 3) существует такая правильная дробь q, что для всех х из отрезка а, b f ‘(x) q < 1. • Тогда итерационная последовательность х n = f (x n-1) ( n = 1, 2, . . . ) сходится при любом начальном члене х 0 а, b .

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Эта теорема лежит в основе метода итераций. • Уравнение F(x) = 0 может быть приведено к виду х = f (x) • многими способами, главное, • чтобы выполнялись условия (1 3) • из только что сформулированной теоремы.

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Уточним значение корня методом итераций на конкретном примере. • Сделаем это «вручную» . • Пусть уравнение вида (1) следующее: • lg (2 x + 3) = 1 2 x. • Мы должны вначале отделить интервал, содержащий корень данного уравнения. • Используем для этого графический метод. • Построим графики функций у1 = lg (2 x + 3) и у2 = 1− 2 x. • Некоторая окрестность абсциссы точки пересечения этих графиков и определит приближенно интервал содержания корня данного уравнения. • Затем на этом интервале мы уточним значение корня методом простых итераций.

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Из графика на рис. 13 видно, • что корень уравнения (1) содержится в интервале 0; 0, 5. • Уточним значение корня, находящегося в этом интервале с точностью • = 0, 0001. • Для уточнения его значения приведем уравнение (1) к виду х = f (x).

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Для этого оставим слева от знака равенства «х» , • а все остальные члены перенесем вправо от знака равенства, • произведя необходимые действия. Получим следующее выражение. • 2 х = 1 lg (2 x + 3) • х= (4)

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • Легко показать, что условия 1 -3 • теоремы о достаточных условиях сходимости итерационного процесса для уравнения (4) выполняются. • Следовательно, мы можем для поиска приближенного значения корня применить метод итераций. • За начальное приближение к корню возьмем левый конец отрезка, содержащего корень, т. е. х0 = 0. • Все остальные приближения будем находить по рекуррентной формуле х = n+1

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • • • Вычисления следует продолжать до тех пор, пока F(x) x > . Результаты промежуточных вычислений расположим в таблице : Уточненное значение корня х = 0, 2304. Запишем пошаговый алгоритм метода простых итераций. N xn F(xn) 0 0 0, 2386 1 0, 2614 0, 2734 … … 4 0, 2303 0, 2696 5 0, 2304 …

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • ШАГ 1. Вводим исходные данные для нахождения корня, а именно, значения • а левый конец отрезка, содержащего корень, • b правый конец отрезка, содержащего корень, • требуемая точность вычислений. • ШАГ 2. Определяем либо подпрограмму, либо функцию для вычисления левой части уравнения, корень которого ищем, а именно, F(x). • ШАГ 3. Организовываем счетчик итераций n и полагаем его равным нулю, n = 0. • ШАГ 4. Берем в качестве начального приближения к корню левый конец отрезка, содержащего корень, • т. е. х = а.

ПОШАГОВЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ • ШАГ 5. Вычисляем значение функции в точке начального приближения, т. е. у = F(x). • ШАГ 6. Сравниваем абсолютную величину разности между «у» и «х» с , т. е. если у – x < , то переходим • на шаг 10. • ШАГ 7. Печатаем текущее значение счетчика итераций, приближения к корню и значение функции в этой точке, • т. е. n, x, F(x). • ШАГ 8. Увеличиваем счетчик итераций на единицу, • т. е. n = n + 1. • ШАГ 9. Запоминаем текущее значение функции в качестве очередного приближения, т. е. х = F(x). Переходим на шаг 5. • ШАГ 10. Выводим на печать найденное значение корня х. • ШАГ 11. Конец задачи.

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР • В качестве контрольного примера к методу итераций следует взять пример, рассмотренный в данной лекции.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ ПО ЛЕКЦИИ 4 • • 1. Каким образом должно быть представлено уравнение, для которого требуется найти корень методом простых итераций? 2. Cформулируйте достаточные условия сходимости итерационного процесса для метода простых итераций. 3. Сформулируйте пошаговый алгоритм нахождения изолированного корня трансцендентного уравнения методом простых итераций. 4. Что является признаком окончания вычислительного процесса в методе простых итераций?

ВНИМАНИЕ! • Для закрепления изученного теоретического материала следует выполнить лабораторную работу № 5 из пособия «Численные методы» , часть 2, «Лабораторный практикум» .