Лекция 4 u Определённый интеграл Определение ОИ геометрический

Лекция 4 u Определённый интеграл Определение ОИ, геометрический и физический смысл, свойства ОИ.

Интегральная сумма. Понятие определённого интеграла. Геометрический и физический смысл определённого интеграла. Пусть функция определена и ограничена на отрезке и – произвольное разбиение этого отрезка на частей (рис. 1). Сумма вида o где называется интегральной суммой функции на отрезке. Геометрически представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих прямоугольников (см. рис. 1. ). Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: , называемая диаметром разбиения.

Геометрическая иллюстрация понятия определённого интеграла как площади криволинейной трапеции Рис. 1

Определение определённого интеграла o Если существует конечный предел суммы при условии, что диаметр разбиения , не зависящий от способа разбиения промежутка интегрирования , а также от способа выбора точек , то этот предел называется определённым интегралом функции в пределах от до , т. е. В этом случае функция называется интегрируемой на (по Риману), выражение называется подынтегральным выражением, функция – подынтегральной функцией

Геометрический смысл определённого интеграла o значения – называются нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Непрерывные и кусочно–непрерывные на функции являются интегрируемыми. o Геометрически определённый интеграл (2) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, составляющих криволинейную трапецию , в которой площади частей, расположенных выше оси берутся со знаком «+» , а площади частей, расположенных ниже оси – со знаком «–» .

Физический смысл определённого интеграла (пример1) o Пусть точка движется прямолинейно вдоль числовой оси с непрерывно изменяющейся скоростью. Смещение точки за малый промежуток времени приближённо можно считать равным , где , –средняя скорость за промежуток. Тогда интегральная сумма представляет собой приближённое значение пути, пройденного точкой от момента времени до. В пределе при получим точное значение этого пути , т. е.

Физический смысл определённого интеграла (пример2) o Пусть тело движется по прямой из точки с абсциссой до точки с абсциссой под действием переменной силы величины , являющейся непрерывной функцией абсциссы : причём сила параллельна прямой , а её направление совпадает с направлением движения тела. Тогда работа , произведённая силой величины , на этом перемещении выражается посредством определённого интеграла При этом подынтегральное выражение называется элементарной работой.

Физический смысл определённого интеграла (пример3, 4) o o Пусть сила тока – является заданной непрерывной функцией времени : . Количество электричества , прошедшего через постоянное поперечное сечение проводника за время , отсчитываемое от начала опыта, выражается определённым интегралом С помощью определённого интеграла также можно найти массу неоднородного тонкого прямолинейного стержня некоторой длины , зная в каждой его точке плотность :

Пример 5: o o Составить интегральную сумму для функции на отрезке , деля этот отрезок на равных частей и выбирая точки совпадающими с левыми концами частичных отрезков. Вычислить определённый интеграл как предел интегральных сумм (рис. 2). Здесь и отсюда

Пример 5 (завершение) Далее: Тогда, переходя к пределу, получим:

Пример 6: o Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугой параболы , осью вертикалью и (рис. 3). Разобьём основание криволинейного треугольника на равных частей с длиной. Вычисляя значение функции в начале каждого промежутка, будем иметь:

Пример 6 o (завершение) Площади вписанных прямоугольников равны Суммируя, получим площадь ступенчатой фигуры: Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел находим: то есть, переходя к пределу, получим: . .

Основные свойства определённого интеграла o o Свойство 1. Если функции интегрируемы на , то функции также интегрируемы на и – Свойство 2. Если функция интегрируема на то функция , где – постоянная, также интегрируема на и

Основные свойства определённого интеграла o o o Свойство 3. Для интегрируемой на функции верно равенство: . Следствие. Для интегрируемой функции верно равенство. Свойство 4. Для любых чисел и интегрируемой функции выполняется свойство аддитивности определённого интеграла относительно промежутка интегрирования: .

Основные свойства определённого интеграла o Свойство 5. Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знака, то определённый интеграл сохраняет тот же знак, что и функция, то есть: если , то. Свойство 6. (интегрирование неравенств) Если и – интегрируемы на верно неравенство: . Свойство 7. Если функция то верно неравенство: интегрируема на. , то

Основные свойства определённого интеграла o o Свойство 8. (Оценка интеграла). Пусть функция интегрируема на и. Тогда Геометрический смысл оценки интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции (рис. 4) ограничена площадями прямоугольников со сторонами и (снизу) , и (сверху), т. е.

Основные свойства определённого интеграла o Свойство 9. (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на , то , такая, что верно равенство: o o . Пример 7. Оценить значение интеграла , не вычисляя его. Найдём значения и для подынтегральной функции на отрезке. Для этого найдём стационарные точки стационарной точкой на отрезке является точка , где.

Продолжение примера 7 o Вычислим значения функции на границе отрезка: . Таким образом: . Тогда получим: o o o . Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Если функция непрерывна на , то определена функция: , которая называется интегралом с переменным верхним пределом.