Скачать презентацию Лекція 4 Тема Розв язування систем m лінійних рівнянь Скачать презентацию Лекція 4 Тема Розв язування систем m лінійних рівнянь

Вищ. мат тема (4).ppt

  • Количество слайдов: 16

Лекція 4 Тема. Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими. 1. Розв’язок СЛАР Лекція 4 Тема. Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими. 1. Розв’язок СЛАР методом Гаусса. При n>3 знаходження визначників приводить до громіздких обчислень, і користуватись формулами Крамера або матричним методом стає нераціонально. Одним з найбільш універсальних і ефективних методів розв’язку СЛАР є метод Гаусса. Це метод послідовного виключення невідомих.

На першому етапі (прямий хід) при виключенні невідомого х1 з усіх рівнянь, починаючи з На першому етапі (прямий хід) при виключенні невідомого х1 з усіх рівнянь, починаючи з другого, х2 – з усіх рівнянь, починаючи з третього і т. д. , СЛАР зводиться до трикутного (або трапецієподібного) вигляду

На другому етапі (обернений хід), підставивши знайдене з останнього рівняння значення xn у передостаннє, На другому етапі (обернений хід), підставивши знайдене з останнього рівняння значення xn у передостаннє, одержимо значення хn-1 і т. д. ; з першого рівняння знаходимо x 1. Перший етап можна виконувати над розширеною матрицею системи за допомогою таких елементарних перетворень: додавання до елементів одного рядка відповідних елементів другого рядка, помножених на деяке число ; перестановка рядків або стовпців у матриці. Приклад 1. Користуючись методом Гаусса, розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. 1. Першим рівнянням краще вибирати те, в якому коефіцієнт при x 1 дорівнює Розв’язання. 1. Першим рівнянням краще вибирати те, в якому коефіцієнт при x 1 дорівнює Випишемо розширену матрицю А 1 і зведемо її до трикутного вигляду Відповідь:

2. Метод Жордана-Гаусса. Щоб не виконувати обернений хід метода Гаусса, здійснюють повне виключення невідомих 2. Метод Жордана-Гаусса. Щоб не виконувати обернений хід метода Гаусса, здійснюють повне виключення невідомих у стовпчику за допомогою розв’язувального елемента. Цей модифікований метод Гаусса називають методом Жордана-Гаусса. Алгоритм кроку перетворення Жордана. Гаусса. 1. Обираємо розв’язуючий елемент (доцільно обирати одиницю). 2. Елементи і-го рядка (розв’язуючого) ділимо на і записуємо в і рядок.

 3. В розв’язуючому j-ому стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього 3. В розв’язуючому j-ому стовпці замість пишуть одиницю, а замість інших елементів цього стовпця пишуть 0. 4. Усі інші елементи знаходять за формулою де – розв’язувальний елемент, k = 1, 2, …, m; l = 1, 2, …, n. Обчислення елементів за даною формулою доцільно виконувати за схемою прямокутника

Приклад 3. Знайти розв’язок СЛАР Розв’язання. Складаємо таблицю ( – контрольний стовпчик) х1 х2 Приклад 3. Знайти розв’язок СЛАР Розв’язання. Складаємо таблицю ( – контрольний стовпчик) х1 х2 х3 х4 b 1 1 0 2 1 -3 -3 0 1 2 2 -1 3 0 6 -6 16 6 7 -8 21 7

Розв’язуючий елемент a 11 = 1. Перепишемо без змін рядок, який містить розв’язуючий елемент, Розв’язуючий елемент a 11 = 1. Перепишемо без змін рядок, який містить розв’язуючий елемент, а всі елементи розв’язуючого стовпчика замінимо на 0. Інші елементи знайдемо за правилом прямокутника. х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 1 -3 3 1 8 2 -3 3 -4 6 -12 16 -6 -3 1 -5 7 -15 21 -7 Розв’язуючий елемент дорівнює (– 3). Поділимо на ( -3) елементи 2 -го рядка, одержимо

х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 1 1 1 -5 -3 х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 1 1 1 -5 -3 -1 1 8 2 1 3 -4 6 7 4 5 16 21 -6 -7 Розв’язуючий 2 -й рядок записуємо без змін, елементи розв’язуючого 2 -го стовпчика замінимо на 0. Перший стовпчик записуємо без змін. Елементи інших клітинок знаходимо за правилом прямокутника:

х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 -2 -1 2 3 1 х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 -2 -1 2 3 1 1 2 2 4 5 12 16 14 18 0 1 0 0 Поділимо 3 -й рядок на 2, виберемо розв’язуючий елемент і виконаємо всі перетворення кроку Жордана-Гаусса.

х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 0 1 0 0 -2 х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 0 1 0 0 -2 -1 1 3 0 0 1 1 1 1 3 2 1 -2 2 4 6 14 14 10 6 -4 2 5 8 18 18 13 8 -6 Поділимо 4 -й рядок на (-2), виберемо наступний розв’язуючий елемент і повторимо підрахунки

х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 0 1 0 3 2 х1 х2 х3 х4 b 1 0 0 0 0 1 0 3 2 1 1 14 18 10 13 6 8 2 3 1 0 0 0 0 1 8 6 4 2 9 7 5 3 Відповідь системи знаходиться в стовпчику b: x 1 = 8, x 2 = 6, x 3 = 4, x 4 = 2.

3. Системи лінійних однорідних рівнянь. Нехай задано система лінійних однорідних рівнянь Однорідна СЛАР завжди 3. Системи лінійних однорідних рівнянь. Нехай задано система лінійних однорідних рівнянь Однорідна СЛАР завжди сумісна, поскільки r(A) = r(A 1), вона має нульовий розв’язок х1 = х2 =…. = xn = 0. Наведено без доведення умови, при яких однорідна система має ненульовий розв’язок.

1. Для того, щоб система однорідних рівнянь мала ненульовий розв’язок, необхідно і достатньо, щоб 1. Для того, щоб система однорідних рівнянь мала ненульовий розв’язок, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці був менше кількості невідомих, тобто r

Розв’язання. Оскільки r = 2, n = 3 i r<n, то система має безліч Розв’язання. Оскільки r = 2, n = 3 i r