Скачать презентацию Лекция 4 Системы линейных уравнений Матричная Скачать презентацию Лекция 4 Системы линейных уравнений Матричная

4 лекция Системы уравнений Презентация.ppt

  • Количество слайдов: 20

Лекция 4 Системы линейных уравнений. Лекция 4 Системы линейных уравнений.

Матричная форма записи Система m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …хn Матричная форма записи Система m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …хn Определения: решение, совместная система, несовместная, определенная, неопределенная.

Рассмотрим три матрицы: А= В= , Х= Рассмотрим три матрицы: А= В= , Х=

Выполним умножение матриц АХ АХ= = = Выполним умножение матриц АХ АХ= = =

Получаем: АХ= =В. АХ=В Матричная форма записи системы Получаем: АХ= =В. АХ=В Матричная форма записи системы

. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Матричная форма решения системы. . . Система n линейных уравнений с n неизвестными. Матричная форма решения системы. .

Запишем систему в матричной форме: АХ=В (1). Пусть det. А 0. Тогда Умножим Запишем систему в матричной форме: АХ=В (1). Пусть det. А 0. Тогда Умножим слева матричное равенство (1) на обратную матрицу: А-1 АХ=А-1 В. Учитывая, что А-1 АХ=ЕХ=Х, имеем: Х=А-1 В= В

Матричное решение системы: 1. Убедиться, что det. А 0 2. Найти А-1 3. Матричное решение системы: 1. Убедиться, что det. А 0 2. Найти А-1 3. Выполнить умножение А-1 В 4. Приравнять другу соответствующие элементы матриц левой и правой частей. Х=А-1 В

Пример: Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы. Матрица системы: Пример: Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы. Матрица системы:

Матрица столбец свободных членов: матрица столбец неизвестных: Матрица столбец свободных членов: матрица столбец неизвестных:

2. Матричная форма записи системы: АХ=В. 3. Определитель матрицы: det. А=1. 4. Найдем 2. Матричная форма записи системы: АХ=В. 3. Определитель матрицы: det. А=1. 4. Найдем обратную матрицу:

5. Матричное решение системы имеет вид: 6. Выполняем умножение матриц и, приравнивая матрицы, 5. Матричное решение системы имеет вид: 6. Выполняем умножение матриц и, приравнивая матрицы, находим значения неизвестных. Следовательно, х1=38, х2=– 163, х3=– 29

Решение системы с помощью определителей (формулы Крамера). Система n линейных уравнений с n неизвестными Решение системы с помощью определителей (формулы Крамера). Система n линейных уравнений с n неизвестными

Выпишем матрицу системы А: Кроме матрицы системы, введем в рассмотрение еще n матриц: Выпишем матрицу системы А: Кроме матрицы системы, введем в рассмотрение еще n матриц: , …. .

Вернемся к равенству: Х=А-1 В= В. Выполним умножение матриц в правой части равенства. Вернемся к равенству: Х=А-1 В= В. Выполним умножение матриц в правой части равенства. Для наглядности воспользуемся системой трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Тогда = - сумма произведений элементов первого столбца матрицы на их алгебраические дополнения, Тогда = - сумма произведений элементов первого столбца матрицы на их алгебраические дополнения, т. е. det. А(1).

Соответственно, вторая строка полученной матрицы равна det. А(2), а третья - det. А(3). Соответственно, вторая строка полученной матрицы равна det. А(2), а третья - det. А(3). Приравниваем соответствующие элементы матриц.

Получаем решение системы линейных уравнений формулы Крамера в честь швейцарского математика Габриэля Крамера Получаем решение системы линейных уравнений формулы Крамера в честь швейцарского математика Габриэля Крамера (1704 -1752), который заложил основы теории определителей. Пример:

Выпишем матрицу системы и вычислим ее определитель. Найдем det. А(1): det. А(1)=∆х= Тогда Выпишем матрицу системы и вычислим ее определитель. Найдем det. А(1): det. А(1)=∆х= Тогда

Найдем det. А(2)=∆у= det. А(3)=∆z= Итак: х=2, у=0, z=-1 Получаем: , Найдем det. А(2)=∆у= det. А(3)=∆z= Итак: х=2, у=0, z=-1 Получаем: ,