Лекция 4 Разработал Никаноров В Б 1

Лекция № 4 Разработал Никаноров В. Б. 1

Эквивалентное преобразование звезды и I треугольника I A A AB CA C IC B BC Треугольник IB r. C IC – три сопротивления, образующих три узла A, B, С Y Звезда C r. A r. B B IB – три сопротивления, образующих один узел O Разработал Никаноров В. Б. Y 2

Пример Определить Rвх, если все сопротивления равны 2 Ом. Разработал Никаноров В. Б. 3

ТЕМА Электрические цепи однофазного синусоидального тока Разработал к. т. н. Никаноров В. Б. Разработал Никаноров В. Б. 4

Преимущества 1. Источники переменного тока (электромеханические генераторы) могут быть выполнены очень большой мощности (100… 1500 МВт) и являются основными источниками энергии в технике. 2. Экономичная передача переменного тока с минимальными потерями на большие расстояния. Передача ведется при высоком уровне напряжения (до 750 к. В) благодаря простому и экономичному преобразованию уровня напряжения трансформаторами. 3. ЭТУ проще и дешевле, чем ЭТУ постоянного тока. Наибольшее применение получил Разработал Никаноров В. Б. переменный ток. синусоидальный 5

Величины, характеризующие синусоидальные функции Мгновенные значения i(t) = Im∙sin(ωt+ i); u(t) = Um∙sin(ωt+ u) Определяются 3 параметрами: Ø амплитудой Im и Um – макс. значение; Ø угловой частотой ω [1/c] – скорость изменения аргумента (фазы) ωt+ -[рад]; Ø начальной фазой i и u [рад] – значение аргумента при t=0. Кроме того используют величины: 1. Период -Т– время одного полного колебания [c] ωТ=2π 2. Частота – число периодов в 1 с [Гц]. Стандартная f=50 Гц. Используют высокие частоты - 200, 400, 1000 Гц и т. д. 3. Фазовый сдвиг между u и Никаноров В. Б. Разработал i. 6

4. Действующее значение переменного тока I(E, U) эквивалентно постоянному току, который за одинаковый интервал времени выделяет на сопротивлении R такую же энергию, что и переменный ток. Приравнивая энергии на постоянном W_ = I 2∙R∙T и переменном токе Получаем действующее значение среднеквадратич. значение переменной величины Для синусоидального тока аналогично • Действующий I(U) - основной эксплуатац. параметр ЭТУ Разработал Никаноров В. Б. 7 (паспорт). Шкалы большинства измерительных приборов проградуированы на действующие значения.

Представлениесинусоидальной функции: v в виде аналитических выражений (неудобно из-за громоздкости действий тригонометрическими функциями); v в виде векторов на комплексной плоскости В прямоугольной системе координат +1 - ось действительных чисел; +j - ось мнимых чисел( - мнимая единица): Ш начала координат под углом u из (начальная фаза) к оси действительных чисел (+1) проводят вектор (например, напряжения), Ш длина которого в масштабе равна амплитуде Um (или действ. знач. U). Ш u - откладывают против часовой «+» стрелки, «-» по часовой стрелке. Ш конец вектора находится в точке, которой соответствует комплексное число – комплексная амплитуда синусоидальной величины Никаноров В. Б. Разработал или комплексное действующее значение с 8

Три формы записи комплексного числа Показательная форма Тригонометрич форма Алгебраическая форма • Переход от показательной к тригонометрической форме по формуле Эйлера: ej =cos + jsin • ej - оператор поворота (от оси +1) Umд=Umcos u –действительная часть координата точки по оси +1; Umм = Umsin u – мнимая часть - по +j. модуль вектора фаза вектора Совокупность векторов комплексных значений Разработал Никаноров В. Б. называется векторной диаграммой. 9

Ø Алгебраич. и тригонометрич. формы - для сложения и вычитания к. ч. Ø Показательная при умножении и делении к. ч. φ = ψu - ψi При = 0 U совпадает с I = /2 U опережает I = - /2 U отстает от I Умножение на j – поворот В против час стрелки на 90○ Умножение на -j – поворот вектора по час стрелке на 90○ Сопряженные к. ч. – отличаются знаком перед мнимой частью или знаком перед начальной фазой: С=а+jв и сопряженное ему С*=а-jв СС*=(а+jв)·(а-jв)=а 2 +jав-(j 2)в 2= а 2+ в 2 – Разработал Никаноров В. Б. 10 действит. Используют для освобождения от к. ч. в знаменателе выражения.

Пример: Дан ток i = 8 sin(ωt + 20˚). Записать комплексную амплитуду и комплекс тока. Решение. 1. Im = 8 A, i = 20˚ 2. I = Im/√ 2 = 8/ √ 2 A – действующее значение тока 3. Тогда Пример: дан комплекс напряжения Найти: мгновенное значение u(t). Решение: Разработал Никаноров В. Б. 11

Задача • Дано: комплексное действующее значение тока Найти: мгновенное значение тока Решение 1. Действующее значение тока 2. Амплитуда тока 3. Начальная фаза тока (+180 , т. к. вектор находится в III квадранте) 4. Искомое мгновенное значение тока Разработал Никаноров В. Б. А 12

Задача • Заданы: параметры синусоидального тока – амплитуда Im=56, 6 A, начальная фаза i=-30 , угловая частота =314 рад/с. • Определить: мгновенное значение тока, рассчитать его комплексное действующее значение в трех формах. • Решение. 1. Мгновенное значение 2. Действующее значение 3. Комплексное действующее значение в 3 формах Разработал Никаноров В. Б. 13

Лекция № 5 Разработал Никаноров В. Б. 14

Закон Ома в комплексной форме 1. Резистор i = Im∙sin(ωt + i) u. R = i∙R = R∙ Im∙sin(ωt + i) = URm ∙sin(ωt + u) u = i = u - i = 0 I в R совпадает по фазе с U URm = R∙ Im UR= R∙ I соотношения между мгновенными, амплитудными и действующими значениями подчиняется закону Ома В комплексной форме • Закон Ома в комплексной форме Разработал Никаноров В. Б. 15

Задача • Дано: к резистору R=10 Ом приложено синусоидальное напряжение Найти: показания амперметра, измеряющего действующее значение, и записать мгновенное значение тока. Решение. 1. Действующее значение напряжения 2. Закон Ома выполняется для действующих и максимальных и мгновенных значений Показания амперметра 3. Ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением i = u Разработал Никаноров В. Б. 16

i = Im∙sin(ωt + i) • Из компонентного уравнения 2. Индуктивность • u = i+90˚ = u - i = 90˚ • ˚ U на индуктивности опережает по фазе ток на 90 град. • Индуктивность оказывает току сопротивление, которое называется реактивным XL=ω·L [XL]=Ом При ω=0 (постоянный ток) XL=0 Сопротивление L пропорционально частоте • ULm = XL∙ Im UL = XL ∙ I - подчиняются закону Ома • В компл. форме Разработал Никаноров В. Б. • Закон Ома 17

Задача • Дано: К индуктивному элементу L=100 м. Гн приложено синусоидальное напряжение Найти: мгновенное и действующее значение тока и ЭДС самоиндукции. Построить векторную диаграмму. Решение: 1. Действующее напряжение 2. Комплексное напряжение 3. Индуктивное сопротивление 4. В комплексной форме j. XL=j 31, 4 Ом 5. Ток в индуктивном элементе 6. Мгновенное значение тока 7. Мгновенное значение ЭДС Разработал Никаноров В. Б. 8. В комплексной форме 18

Разработал Никаноров В. Б. 19

3. Емкостной элемент • Ток i = Im∙sin(ωt + i) • Из компонентного уравнения • u = i-90˚ = u - i = - 90˚ • Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90˚ • Емкость оказывает току сопротивление, которое как и XL называется реактивным Обратно пропорционально частоте • Uсm = Xc∙ Im ; Uc = Xc ∙ I - подчиняется закону Ома Закон Ома Разработал Никаноров В. Б. 20

Законы Кирхгофа в комплексной форме • 1 закон Кирхгофа • Сумма комплексов токов, направленных к узлу равна сумме комплексов токов направленных от узла. • 2 закон Кирхгофа • Для всякого замкнутого контура алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения Методы решения – как в ЭЦ постоянного тока Разработал Никаноров В. Б. 21

Символический (комплексный) метод расчета • При классическом методе расчета (по мгновенным значениям) • Имеем интегро-дифференциальное уравнение – сложно для решения. • При символическом методе для перехода к алгебраическим уравнениям (как на пост. токе) заменяем мгновен. значения их символами в комплексном виде: По закону Кирхгофа - позволяет Разработал Никаноров В. Б. 22 найти комплекс I через комплекс E и R, L, C.

Комплексное сопротивление и проводимость 1. Комплексное сопротивление R - активное сопротивление; X=XL- XC –реактивное сопротивление +j Реактивные сопротивления. XL и XC имеют разный знак!!! z X=XL-Xc А)Модуль комплексного сопротивления R +1 Б) Аргумент комплексного Треугольник сопротивления Характеризует сдвиг по фазе напряжения и тока XL>Xc ; >0 – индуктивный характер Х (I отстает от U) XL<Xc; <0 – емкостной характер Х (I опережает U) • При нескольких последовательно соединенных активных и реактивных сопротивлениях. Разработал Никаноров В. Б. 23

• 2. Комплексная проводимость -Вещественная часть При X 0 g=1/R -Мнимая часть При R 0 b=1/X -Модуль фаза Разработал Никаноров В. Б. 24

Задача Дано: в ЭЦ синусоидального тока с U=220 В последовательно включены R=8 Ом, XL=4 Ом, XC=10 Ом. Определить: I, UR, UL, UC, φ, построить вект. Диаграмму Определить: Решение. 1. Комплексное сопротивление ЭЦ 2. Ток 3. Фазовый угол 4. Напряжения Разработал Никаноров В. Б. 27

Задача Дано: R 1=10 Ом; R 2=8 Ом; Хс=6 Ом; U=127 B. Найти: токи и построить векторную диаграмму. Решение. 1. Комплекс напряжения Приняли u=0 2. Комплексное сопротивление ветвей 3. Токи в ветвях 4. Модули токов Разработал Никаноров В. Б. 28

Лекция № 6 Разработал Никаноров В. Б. 29

Мощность цепи синусоидального тока +j Векторная диаграмма: o. Строят I по оси+1; o. UR совпадает с I; o. UL↑ на 90 град; o. Uc↓ на -90 град; o. U замыкает многоугольник. Разработал Никаноров В. Б. +1 30

Мгновенная мощность 1. Резистор активная мощность - средняя за период Р [ Вт] - необратимые преобразование в др. виды энергии (тепло) Только в R!!!! 2. Реактивные элементы (L и C) Энергия магн. поля Энергия эл. поля Среднее значение равно нулю! Необратим. преобраз. нет Имеют разный знак [ВАр] 3. Полная мощность. Максимально возможная мощн. ЭТУ 4. Коэффициент мощности (паспорт) Разработал Никаноров В. Б. 31 Стремятся к макс. сosφ !!

2. Мощность в комплексном виде • На комплексной плоскости получаем +j cos =P/S S - сопряженный комплекс тока Баланс мощности Q=QL-Qc P +1 Треугольник мощностей В любой t алгебраическая сумма мгновенных рис равна алгебраической сумме рпрвсех приемников энергии. Алгебраическая сумма активных мощностей всех рис арифметической сумме мощностей всех резисторов. Алгебраическая сумма реактивных мощностей всех источников равна алгебраической сумме мощностей 32 всех индуктивных и Разработал Никаноров В. Б. емкостных элементов.

Пример • Дано: напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника: • Ù = 8+j 6 и ĺ = 2 - j • Найти: P, Q, zвх и схему замещения. • Решение: • 1. = (8+j 6)(2+j)=10+j 20 P=10 Вт, Q=20 ВАр 2 3 Rвх = 2 Ом Xвх = XL = 4 Ом 4. Схема замещения пассивного двухполюсника – последовательно соединенные резистор и индуктивность. Разработал Никаноров В. Б. 33

Резонанс в ЭЦ синусоидального тока • Резонанс - режим работы участка ЭЦ, содержащей L и С, при котором угол сдвига фаз φ между U и I равен нулю (cos = 1). Различают: v. Резонанс напряжений v. Резонанс токов. 1. Резонанс напряжений - возникает на участке ЭЦ с последов. соедин. R, L, C. • Резонанс определяется тем, что XL и XC зависят от частоты и имеют разный знак. Разработал Никаноров В. Б. 34

• Из условия резонанса = 0 Условие резонанса напряжений - XL=XC ωр. L =1/ωр. C при этом zвх = R минимально! Условие выполняется при изменения ω, L или С - резонансная частота (не зависит от R). При резонансе Ùвх = ÙR+ÙL+ÙC = ÙR + jĺ(XL-XC) = ÙR Если XL>>R то UL = IXL>>UR =Uвх При резонансе напряжение на реактивных элементах может существенно превышать напряжение на входе Усиление напряжения – важнейшее свойство резонанса напряжений. Коэффициент усиления напряжения – добротность контура тем выше, чем больше L и меньше C и R 2 R при резонансе максим. – Ток Iр=U/Zвх и мощность Рр=Ip. Никаноров В. Б. Разработал 35 характерный признак резонанса напряжений

Резонансные кривые • - I(ω), UL(ω), UC(ω) – амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) • 1. Ток при ω=ωp При ω→ 0 1/ωС→∞ I =0 При ω→∞ ωL→∞ I =0 2. Напряжение на L UL(0)=0 UL(∞)=Uвх Максимум UL при ω<ωp • 3 Напряжение на C UС(0)=Uвх Uc(∞)=0 Максимум Uc при ω>ωp 4. Фаза - (ω) - фазочастотная характеристика (ФЧХ) ω = ∞ tg (∞)=∞ = /2 Разработал Никаноров В. Б. ω = 0 tg (0)=-∞ =- /2 36

5. Входное сопротивление Zвх меняется характер Zвх При от активно-емкостного (Х<0) при < p до активного (Zвх=R, X=0 минимум) при = p и далее до активноиндуктивного (Х>0) при > p Векторная диаграмма при резонансе напряжений +j Ùc ÙL 6. Мощность при ω = ωp P = Uвх∙I; - максимальна Qвх = 0, но QL = Qc =Uвх2 Xc/R 2≠ 0 !!! Ù Происходит периодический обмен энергией между L и C. – колебательный процесс Разработал Никаноров В. Б. ĺ +1 37

Задача • Дано: U = 60 B, R= 100 Ом, • L = 1 Гн, C= 10 мк. Ф • Определить: ωp, fp, при • резонансе Imax, UR, UL, Uc, P, Q. Решение. 1. Резонансная частота 1/с 2. Индуктивное Гц и емкостное сопротивление при резонансе 3. Модуль полного сопротивления 4. Ток максимальный при резонансе 5. Напряжение при резонансе на R, L, C 6. Мощн. Разработал Никаноров В. Б. Вт 38 ВАр Q=0

Задача • Дано: в предыдущ. примере уменьшили частоту в 3 раза. Определить: ток, напряжения и мощность. Решение. 1/с Гц 1 2 3 !!! 4 5 6 7 8. 9 Разработал Никаноров В. Б. 39 !!!

2 Резонанс токов - ЭЦ с параллельным • в Возникает в ЭЦ с соединением L и C Проводимости ветвей: • Суммарная проводимость Реактивные проводимости зависят от ω и имеют разный знак • Из условия резонанса = 0 Условие резонанса !!! b. L =bc Резонансная частота При R 1 и R 2<<L/C Разработал Никаноров В. Б. Резонансная частота зависит от R. 40

• • При резонансе: Входная проводимость Y=g. L + gc - минимальна Входное сопротивление Z = 1/Y – максимально Ток ĺ = ÙY минимален характерный признак резонанса токов. Токи в реактивных элементах: IL = U∙b. L и Iс = U∙bс при больших b. L и bс существенно превышают ток на входе и противоположно направлены Частотные характеристики • Ток в L • Ток в C • Общий ток Активная мощность • Реактивная Разработал Никаноров В. Б. 41

Пример • Дано: Напряжение на входе контура U=100 В, частота 50 Гц, • R 1=1 Ом, R 2=0, 5 Ом, XL=6 Ом. • Найти: С при резонансе и токи. • Решение: при резонансе b. L=bc • 1. Проводимость катушки: См 2. Проводимость конденсатора 3. Емкостное сопротивление - из уравнения Xc 1=6, 13 Ом Xc 2=0, 04 Ом – выбираем Xc 1, соответствующее меньшему конденсатору. 4. Токи Разработал Никаноров В. Б. 5. Конденсатор мк. Ф 42

Лекция № 7 Разработал Никаноров В. Б. 43

Задача • Дано: R=60 Ом, Х=80 Ом, Qc=2500 ВАр • Определить: 1). Мгновенное и действующее значение U, • 2) Z, φ, XL, Xc, L, C, U 1, U 2, • 3) Построить векторную диаграмму. Решение 1. Реактивная мощность конденсатора Qc = I 2·Xc → Xc=Qc/I 2 При токе I=5 А Xc=2500/52=100 Ом 2. Индуктивное сопротивление X=XL – Xc → XL=X+Xc=80+100 = 180 Ом 3. Угол нагрузки tgφ = X/R = 80/60 =1, 333 → φ = 53, 1˚ 4. Индуктивность L = XL/ω = 180/314 = 0, 574 Гн Разработал Никаноров В. Б. Т. к. ω = 314 1/с из тока. 44

• 5. Емкость конденсатора Xc = 1/(ω·C) → C=1/ (ω·Xc) = 1/(314· 100) == 3, 18· 10 -5 Ф = 31, 8 мк. Ф. • 6. Модуль полного сопротивления Ом 7. Напряжения на элементах U 1 = I·Xc = 5· 100 = 500 B U = I·z = 5· 100 = 500 B UR = I·R = 5· 60 = 300 B UL = I·XL = 5· 180 = 900 B U 2 =√ (UR 2+UL 2) = √ (3002+9002) = 950 B 8. Векторную диаграмму строим на комплексной Разработал Никаноров В. Б. плоскости 45

+j U 2 Uc U UR UL I 15˚ +1 Разработал Никаноров В. Б. 46

Задача • Определить для предыдущей задачи: • 1. Комплексы полного сопротивления, тока и напряжений. • 2. Рассчитать параметры элемента, который нужно включить, чтобы в ЭЦ наступил резонанс напряжений. • 3. Построить векторную диаграмму. • Решение. • 1. Комплекс тока • 2. Комплекс напряжения на конденсаторе 3. Комплекс полного сопротивления 4. Комплекс напряжения на входе Разработал Никаноров В. Б. 47

• 5. Комплекс напряжения на катушке 6. При резонансе XL=Xc Т. к. XL=180 Ом, а Xc=100 Ом, то последовательно надо включить конденсатор Xc’=XL-Xc=180 -100=80 Ом Разработал Никаноров В. Б. 48

Задача • Дано: в узле соединены 3 ветви с токами. Амплитуда токов I 2 и I 3 одинаковы Im=2√ 2 А, частота f= 50 Гц. Два тока заданы на диаграмме. • Найти: Запишите мгновенные значения токов i 1, i 2 и i 3, определите ток i 1 по диаграмме. Запишите токи в комплексной форме. • Решение. 1. 2. Разработал Никаноров В. Б. 49

3. где 4. 1/с А А А Разработал Никаноров В. Б. 50

Векторная диаграмма • При последовательно +j соединенных R, L, C построение начинают с вектора I. • Далее откладывают в масштабе вектор UR, совпадающий по направлению с вектором I. • К концу вектора UR пристраивают вектор UL(вверх). • К концу вектора ULв противоположном направлении пристраивают вектор Uc. • Из начала координат к концу вектора Uc проводят вектор U напряжения источника. +1 P = URI=UIcosφ Разработал Никаноров В. Б. Q = (UL-UC)I = UIsinφ 54