Лекция 4 Равновесие Нэша и смешанные стратегии Существование

Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии

Игра «Совпадение монет» Два игрока одновременно и независимо друг от друга кладут на стол

Очевидно, что ни одна из клеток не может быть равновесием Нэша, поскольку ни

Но в некоторых играх естественно ввести в рассмотрение также смешанные стратегии. Под смешанной стратегией

Обозначим множество смешанных стратегий i-го игрока через Mi: Стандартное

Ожидание рассчитывается в предположении, что игроки выбирают стратегии независимо (в статистическом смысле). Поскольку игрок

Определение. Игра называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока, т.е. N={1,2}, интересы которых

Утверждение: Теорема. В антагонистической игре РН существует тогда и только тогда, когда v0=v0=v. В

Определение. Смешанная стратегия игрока i – это вероятностная мера μi на множестве его чистых

Определение. Смешанным расширением игры в нормальной форме называется игра где множество смешанных стратегий игрока

Определение. РН в смешанных стратегиях μ* называют РН в смешанном расширении Gm: 09.12.2017 15

Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: 09.12.2017 17

Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого: 09.12.2017 18

Игра «Семейный спор»: максимум достигается при р=0 максимум достигается при р=1 выигрыш не зависит

максимум достигается при q=0 максимум достигается при q=1 выигрыш не зависит от q и

Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: Функция отклика (наилучшего ответа) второго

Теорема Нэша. Пусть в игре множества стратегий Si игроков конечны. Тогда в

Вычисление РН в смешанных стратегиях 09.12.2017 25

Скачать презентацию Лекция 4 Равновесие Нэша и смешанные стратегии Существование

13468-lektsia_5_ti_2_kurs.ppt

Количество слайдов: 25

>Лекция 4 Равновесие Нэша и смешанные стратегии Существование РН и смешанные стратегии Лекция 4 Равновесие Нэша и смешанные стратегии Существование РН и смешанные стратегии

>Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии Существование равновесий Нэша и смешанные стратегии

>Игра «Совпадение монет» Два игрока одновременно и независимо друг от друга кладут на стол Игра «Совпадение монет» Два игрока одновременно и независимо друг от друга кладут на стол по монете каждый, прикрывая свою монету рукой. По команде судьи они поднимают руки. Игрок 1 выигрывает, если монеты лежат по – разному, а игрок 2 выигрывает, если они лежат одинаково. 09.12.2017 3

>09.12.2017 4 09.12.2017 4

>09.12.2017 5 09.12.2017 5

>Очевидно, что ни одна из клеток не может быть равновесием Нэша, поскольку ни Очевидно, что ни одна из клеток не может быть равновесием Нэша, поскольку ни в одной из клеток не подчеркнуты одновременно оба выигрыша. В подобной игре каждый игрок заинтересован в том, чтобы его партнер не смог угадать, какую именно стратегию он выбрал. Этого можно достичь, внеся в выбор стратегии элемент неопределенности. Те стратегии, которые мы рассматривали ранее, принято называть чистыми стратегиями. 09.12.2017 6

>Но в некоторых играх естественно ввести в рассмотрение также смешанные стратегии. Под смешанной стратегией Но в некоторых играх естественно ввести в рассмотрение также смешанные стратегии. Под смешанной стратегией понимают распределение вероятностей на чистых стратегиях. В частном случае, когда множество чистых стратегий каждого игрока конечно, Xi = {x1i , . . . , xni i } (соответствующая игра называется конечной), смешанная стратегия представляется вектором вероятностей соответствующих чистых стратегий: μi = (μ1i, . . . , μni i ). 09.12.2017 7

>Обозначим множество смешанных стратегий i-го игрока через Mi: Стандартное Обозначим множество смешанных стратегий i-го игрока через Mi: Стандартное предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш—случайная величина, то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш. Ожидаемый выигрыш i-го игрока, соответствующий набору смешанных стратегий всех игроков (μ1, . . . , μm), вычисляется по формуле: 09.12.2017 8

>Ожидание рассчитывается в предположении, что игроки выбирают стратегии независимо (в статистическом смысле). Поскольку игрок Ожидание рассчитывается в предположении, что игроки выбирают стратегии независимо (в статистическом смысле). Поскольку игрок максимизирует ожидаемый выигрыш, то он будет смешивать несколько разных стратегий, только если они дают ему одинаковый выигрыш (при данных стратегиях других игроков). Смешанные стратегии можно представить как результат рандомизации игроком своих действий, т. е. как результат их случайного выбора. 09.12.2017 9

>Набор смешанных стратегий Набор смешанных стратегий μ = (μ1 , . . . , μm) является равновесием Нэша в смешанных стратегиях, если стратегия μ*i каждого игрока i = 1, . . . , n является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков μ*−i: 09.12.2017 10

>Определение. Игра называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока, т.е. N={1,2}, интересы которых Определение. Игра называется антагонистической, если в ней участвуют два игрока, т.е. N={1,2}, интересы которых противоположны: u1(s1,s2)+u2(s1,s2)0 - нижняя цена игры - верхняя цена игры 09.12.2017 11

>Утверждение: Теорема. В антагонистической игре РН существует тогда и только тогда, когда v0=v0=v. В Утверждение: Теорема. В антагонистической игре РН существует тогда и только тогда, когда v0=v0=v. В этом случае говорят, что игра имеет цену v. 09.12.2017 12

>Определение. Смешанная стратегия игрока i – это вероятностная мера μi на множестве его чистых Определение. Смешанная стратегия игрока i – это вероятностная мера μi на множестве его чистых стратегий si. Если все множества стратегий конечны, μi(si) является вероятностью выбора игроком i стратегии si: 09.12.2017 13

>Определение. Смешанным расширением игры в нормальной форме называется игра где множество смешанных стратегий игрока Определение. Смешанным расширением игры в нормальной форме называется игра где множество смешанных стратегий игрока i; - вероятность выбора s при независимом выборе si; - ожидаемый выигрыш в исходной игре, 09.12.2017 14

>Определение. РН в смешанных стратегиях μ* называют РН в смешанном расширении Gm: 09.12.2017 15 Определение. РН в смешанных стратегиях μ* называют РН в смешанном расширении Gm: 09.12.2017 15

>09.12.2017 16 09.12.2017 16

>Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: 09.12.2017 17 Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: 09.12.2017 17

>Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого: 09.12.2017 18 Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого: 09.12.2017 18

>Игра «Семейный спор»: максимум достигается при р=0 максимум достигается при р=1 выигрыш не зависит Игра «Семейный спор»: максимум достигается при р=0 максимум достигается при р=1 выигрыш не зависит от р и равен 2/3 09.12.2017 19

>максимум достигается при q=0 максимум достигается при q=1 выигрыш не зависит от q и максимум достигается при q=0 максимум достигается при q=1 выигрыш не зависит от q и равен 2/3 09.12.2017 20

>Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: Функция отклика (наилучшего ответа) второго Функция отклика (наилучшего ответа) первого игрока на действия второго: Функция отклика (наилучшего ответа) второго игрока на действия первого: 09.12.2017 21

>09.12.2017 22 09.12.2017 22

>«Дилемма заключенного»: 09.12.2017 23 «Дилемма заключенного»: 09.12.2017 23

>Теорема Нэша. Пусть в игре множества стратегий Si игроков конечны. Тогда в Теорема Нэша. Пусть в игре множества стратегий Si игроков конечны. Тогда в игре существует РН в смешанных стратегиях. 09.12.2017 24

>Вычисление РН в смешанных стратегиях 09.12.2017 25 Вычисление РН в смешанных стратегиях 09.12.2017 25