Лекция 4 Поверхности Определение поверхности

Лекция 4 • • • Поверхности Определение поверхности Способы задания поверхностей Классификация поверхностей Многогранники Поверхности вращения второго порядка Лектор: Стриганова Л. Ю. 1

ПОВЕРХНОСТЬ МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ 2

Образующая Направляющая ЛИНИЯ ПЕРЕМЕЩАЮЩАЯСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НАЗЫВАЕТСЯ ОБРАЗУЮЩАЯ ЛИНИЯ ПО КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ НАПРАВЛЯЮЩАЯ 3

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ – X 2 + Y 2 + Z 2 =1 2. ГРАФИЧЕСКИЙ: а) очерк б) каркас в) определитель 4

ОЧЕРК ПОВЕРХНОСТИ Следы проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность 5

Поверхность Огибающая цилиндрическая поверхность П 1 Очерк поверхности 6

КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ • ТОЧЕЧНЫЙ КАРКАСмножество точек принадлежащих поверхности В этом случае поверхность аппроксимируется поверхностью многогранника 7

ЛИНЕЙЧАТЫЙ КАРКАС Каркас множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия каркаса 8

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ k Ф(L, k)(A) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ совокупность геометрических элементов и закономерность описывающая их движение в пространстве L 9

Классификация поверхностей ПОВЕРХНОСТИ Линейчатые Развертываемые Нелинейчатые Неразвертываемые С постоянной образующей С переменной образующей Тор Сфера Гиперболоид Параболоид Циклические Каналовые Поверхности с плоскостью параллелизма П Гранные Торсовые Винтовые поверхности 10

Гранные поверхности Призма - образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. L – образующая, m – направляющая Призма прямая, если образующие перпендикулярны основанию. L 2 m 2 L 1 m 1 Призма правильная , если в основании правильный многоугольник 11

Гранные поверхности Пирамида – образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. L – образующая, m - направляющая Все образующие имеют общую точку, (S) которая называется – вершиной пирамиды. Пирамида прямая, если высота перпендикулярна основанию Пирамида правильная, если в основании правильный многоугольник S 2 L 2 m 1 S 1 L 1 12

ПРОСТЕЙШИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ m 2 I 2 m - ОБРАЗУЮЩАЯ ПОВЕРХНОСТИ I - ОСЬ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ Все точки движутся по окружностям которые называются ПАРАЛЛЕЛИ ПОВЕРХНОСТИ Самая маленькая параллель ГОРЛО ПОВЕРХНОСТИ Самая большая параллель - I 1 m 1 ЭКВАТОР ПОВЕРХНОСТИ Очерк поверхности на фронтальной плоскости - ГЛАВНЫЙ МЕРИДИАН m 13

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ i 2 L 1 1. 2. i – ось вращения L – прямолинейная образующая Определитель поверхности цилиндра вращения Ф(L, i)(A) i 1 14

ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ i 2 S L 2 1. i – ось вращения 2. L – прямолинейная образующая 3. S – вершина конической поверхности Определитель поверхности Ф (L, I, S)(A) i 1 L 1 15

Нелинейчатые поверхности Сфера 16

ПОВЕРХНОСТЬ CФЕРЫ m 2 i 2 э2 э1 m 1 i 1 1. 2. I – ось вращения m – криволинейная образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) Очерковые линии сферы называются экватор э главный меридиан m 17

Тор открытый 18

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ОТКРЫТЫЙ ТОР m 2 R i 2 r R+r 1. 2. m 1 R i 1 R-r i – ось вращения m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r

Тор закрытый 20

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЗАКРЫТЫЙ ТОР i 2 m 2 r R R 1. i – ось вращения m 1 R+r i 1 2. m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r=R 21

Тор самопересекающийся 22

ТОРОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ САМОПЕРЕСЕКАЮЩИЙСЯ ТОР (тор - бочка) i 2 r m 2 R m 1 R i 1 1. i – ось вращения 2. m – образующая (окружность) Определитель поверхности Ф(m, i) (A) r>R 23

Торсовые поверхности Коническая поверхность m 2 S 2 m – направляющая криволинейная L – образующая l 2 прямолинейная X S – вершина поверхности l 1 m 1 S 1 24

Торсовая поверхность m – направляющая m 2 криволинейная l 2 L – образующая прямолинейная X l 1 L касается m m 1 25

Поверхности Каталана (с плоскостью параллелизма) Цилиндроид Коноид Гиперболический параболоид (косая плоскость) 26

Поверхности c плоскостью параллелизма Цилиндроид m – направляющая п l 2 криволинейная 2 n – направляющая m 2 криволинейная - плоскость n 2 параллелизма X L – образующая m 1 прямолинейная Образующие параллельны n 1 l 1 п плоскости 1 27

Поверхности c плоскостью параллелизма Коноид L 2 n 2 m – направляющая криволинейная m 2 п 2 n – направляющая прямолинейная X L – образующая прямолинейная m 1 n 1 L 1 п 1 28

Поверхности c плоскостью параллелизма Косая плоскость (гиперболический параболоид) m 2 n 2 L 2 X n 1 L 1 m 1 29

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Прямой и наклонный геликоид – частный случай поверхности коноида (прямолинейная образующая, две направляющие – прямая линия и кривая линия) Криволинейной направляющей является винтовая линия, цилиндрическая или коническая Прямолинейная направляющая – ось винтовой линии 30

Прямой геликоид 31

Наклонный геликоид 32