Лекция 4 ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 5

Лекция 4. ОСНОВЫ ТЕХНОЛОГИИ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Распределение вероятности значений случайной величины x по нормальному закону имеет вид: x — случайная величина; y(x) — вероятность принятия случайной величиной значения x; mx — математическое ожидание; σx — среднее квадратичное отклонение. 2

Определение: Нормализованным нормальным распределением называется такое нормальное распределение, у которого mx = 0 и σx = 1. Из нормализованного распределения можно получить любое другое нормальное распределение с заданными mx и σx по формуле: z = mx + x · σx. 3

График функции нормализованного нормального распределения имеет вид колокола: 4

Свойства нормального распределения Изменение параметра нормального распределения mx приводит к сдвигу кривой по оси x 5

Изменение параметра нормального распределения σx приводит к масштабированию формы по оси x 6

В пределе детерминированный процесс имеет вид: 7

Имитация случайных величин, заданных нормальным законом распределения • Табличный метод генерации нормально распределенных чисел (используется функция Лапласа) • Метод генерации нормально распределенных чисел, использующий центральную предельную теорему • Метод Мюллера 8

Метод взятия обратной функции • Пусть задан интегральный закон распределения вероятности F(x), где f(x) — функция плотности вероятности x 1 = F– 1(r 1). r 1 — число, генерируемое эталонным ГСЧ в интервале от [0, 1], x 1 — сгенерированная в итоге случайная величина 9

Иллюстрация метода обратной функции для генерации случайных событий x 10

Имитация с использованием центральной предельной теоремы 1. Сложить n случайных чисел, используя стандартный ГСЧ: Согласно ЦПТ числа V образуют ряд значений, распределенный по нормальному закону. Эти числа тем лучше описывают нормальный закон, чем больше параметр n. На практике n берут равным 6 или 12. Замечание: закон распределения чисел V имеет математическое ожидание m. V = n/2, σV = sqrt(n/12). Поэтому он является смещенным относительно заданного произвольного. 2. С помощью формулы z = (V – m. V)/σV нормализовать этот ряд и получить нормализованный закон нормального распределения чисел Z. То есть mz = 0, σz = 1. 3. Формулой (сдвиг на mx и масштабирование на σx) преобразовать ряд Z в ряд x: x = z · σx + mx. 11

Метод Мюллера Моделирование нормальных чисел по методу Мюллера опрается на формулы: где r 1 и r 2 — случайные числа из ГСЧ [0; 1]. 12

УПРАВЛЕНИЕ МОДЕЛЬНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Блок-схема управления модельным временем методом постоянного шага Начало работы Установка t. М=0 и начального состояния z(t. M) Продвижение модельного времени t. M = t. M + Δt да TM < t. M нет Определение нового состояния z(t. M) Конец работы События есть? нет да Обработка событий 14

Моделирование по особым состояниям t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t t. M 0 Δt t. M 1 t. M 2 15

Блок-схема моделирования по особым состояниям Установка t. M = 0 Прогнозирование ближайшего события tсоб I > TM нет да Продвижение модельн. времени t. M=tсоб i Есть одновременн ые события да Прогнозирование ближайшего события Конец работы нет Обработка события 16