Лекция 4 Определенный интеграл Основные свойства определенных

Лекция № 4 Определенный интеграл. Основные свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов различными методами. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры.

Где: ∫ - знак интеграла, f(х) – подынтегральная функция, f(х)dх – подынтегральное выражение, числа а и в называют пределами интегрирования (верхним и нижним) СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1) 2) 3) 4)

5)Если на отрезке [а; в] функции f(x) и g(x) интегрируемы и f(x) ≤ g(x), то справедливо неравенство 6)Если функция f(x) интегрируема на отрезках [а; с] и [с; в], то ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ: если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; в], то на этом отрезке существует такая точка с, что

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ 1) По формуле Ньютона – Лейбница: ПРИМЕРЫ:

2) Метод замены переменной (метод подстановки) u = (х) а и в ПРИМЕРЫ: α и β

3) Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям: ПРИМЕРЫ:

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Криволинейная трапеция Пределы интегрирования S = F (b) – F (а)

Рассмотрим возможные варианты А) ПРИМЕРЫ: 1) Найти площадь фигуры, изображенной на рисунке, ограниченной сверху графиком функции у = х2 – 2 х + 2.

ПРИМЕРЫ: Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком функции у = х² – 4

В) Если фигура, ограниченная кривой f(x) осью Ох и прямыми х = а и х = в, расположена по обе стороны от оси Ох

Г) Если фигура ограничена сверху двумя функциями f(x) и g(x), осью Ох, то, чтобы найти ее площадь на отрезке [а; в], сначала находим общую точку с, решив равенство f(x) = g(x), затем находим площадь по формуле: ПРИМЕРЫ: Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х², у = 2 х – х² и осью Ох. Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков: х² = 2 х – х² 2 х² – 2 х = 0; х=1

Д) Если необходимо найти площадь фигуры, ограниченную графиками неотрицательных функций f(x) ≥ 0 и g(x) ≥ 0, причем f(x) ≥ g(x), прямыми х = а, х = в ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² + 1 и прямой у = х + 3

Е) Если требуется найти площадь более сложной фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.

Вопросы для контроля 1. Что называется площадью криволинейной трапеции, заданной функции y=f(x), если х Є [а; в]? 2. Является ли фигура, ограниченная линиями у=sin x, х Є [0; – П] и у= 4 х - х², х Є [0; 4], криволинейной трапецией? 3. Что называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а; в]? 4. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла от непрерывной неотрицательной функции? 5. Перечислите основные свойства определенного интеграла. 6. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. 7. В чем заключается формула замены переменной интегрирования в определенном интеграле? 8. Запишите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла?