Лекция 4 Методы преобразования плоскостей проекций Общие

Лекция 4 Методы преобразования плоскостей проекций. • Общие положения • Замена плоскостей проекций.

Общие положения • Методы преобразования плоскостей проекций применяются для облегчения решения какой-либо поставленной задачи. В пространстве с объектом ничего не происходит. Все преобразования выполняются только на комплексных чертежах.

Общие положения Все методы можно разделить на две группы: 1) Объект жестко зафиксирован в пространстве. Вокруг него меняется исходный базис (плоскости проекций П 1 и П 2) на новый базис так, чтобы объект отразился в удобном для решения задачи положении (метод замены плоскостей проекций). 2) Исходный базис (П 1 и. П 2) жестко зафиксирован в пространстве. Объект перемещается (вращается) так, чтобы он отразился на исходные плоскости П 1 и П 2 в удобном для решения задачи положении (методы: вращения и плоско- параллельного перемещения).

Общие положения • Независимо от метода преобразования, в задаче выделяется главный элемент, с которым и выполняются преобразования. Все остальные элементы (объекты) задачи являются зависимыми от главного и преобразуются вместе с ним. • Главным элементом может быть прямая или плоскость

Общие положения Типовые задачи: • Главный элемент – прямая 1) Прямую общего положения преобразовать в линию уровня L→ L‘ ‖ П 2) Прямую общего положения преобразовать в проецирующую L→ L‘‘┴ П

Общие положения • Главный элемент – плоскость 3) Плоскость общего положения преобразовать в проецирующую α→ α‘ ┴ П 4) Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня α → α‘‘ ‖ П

Образование комплексного чертежа методом замены плоскостей проекций. Ах Ах 1 Сущность метода замены плоскостей проекций состоит в том, что предмет остается неподвижен, а плоскости проекций принимают положение, удобное для решения задачи. Например, если вместо плоскости П 2 взять плоскость П 4, то высота точки (координата Zа) отразится одинаково на обеих вертикальных плоскостях.

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П 1 методом замены плоскостей проекций Отрезок проецируется в натуральную 1, 4 величину в том случае, если он параллелен плоскости проекций. Если вместо П 2 поставим плоскость П 4, α параллельно АВ, то на П 4 отрезок проецируется в натуральную величину [ АВ ] ║ П 4→А 1 В 1‖ Х 1, 4 1, 2 Х 1, 4

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П 1 Отрезок прямой АВ- общего положения, поэтому его проекции на П 1 и П 2 искажены. Для нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П 1 надо преобразовать прямую в прямую уровня (во фронталь), для чего необходимо заменить плоскость П 2 на новую П 4, параллельную АВ [ АВ ] ║П 4 → [ А 1 В 1 ] ║х1, 4 [ А 4 В 4 ] →Натур. величина [ АВ ] Угол α является углом наклона прямой к плоскости П 1

Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к плоскости П 2 Для нахождения натуральной величины отрезка [ АВ ] и угла его наклона к П 2 надо преобразовать прямую АВ в прямую уровня (в горизонталь), для чего необходимо заменить плоскость П 1 на новую П 4, параллельную АВ [ АВ ] ║П 4 → [ А 2 В 2 ] ║Х 2, 4 Отбрасывая плоскость П 1, забираем координаты точек Уа и Ув и откладываем их на новой плоскости от оси Х 2, 4 [ А 4 В 4 ] →Натур. величина [ АВ Угол β является углом наклона прямой к плоскости П 2 ]

Задача 6. 1 (стр. 30): Определить расстояние от точки А до прямой ВС методом замены плоскостей проекций Расстояние от точки А до прямой ВС = перпендикуляру, опущенному из точки А к прямой ВС. Решение: Главный элемент – прямая. Необходимо прямую преобразовать в проецирующую (2 типовая задача).

1. Отрезок прямой общего положения преобразовываем в прямую уровня. Для этого заменяем плоскость П 2 на П 4, которую ставим параллельно прямой ВС (на чертеже Х 1, 4 ║ [ В 1 С 1 ] ) Отбрасывая плоскость П 2, забираем высоты точек В (Zв) и С (Zс) и откладываем их на новую плоскость П 4 по линиям связи от оси Х 1, 4 [ В 4 С 4 ] = н. в. [ ВС ]

Точка А также проецируется на новую плоскость П 4 Забираем высоту (. )А → (ZА) с плоскости П 2 и откладываем от оси Х 1, 4 по линии связи на П 4 – получаем проекцию А 4 А 2

2. Прямую уровня преобразовываем в проецирующую. • Для этого отбрасываем плоскость П 1 и вместо нее берем плоскость П 5, перпендикулярно к прямой ВС. • Х 4, 5 ┴ [ В 4 С 4 ] • Строим проекции прямой ВС и точки А на плоскость П 5

Так как отбрасываем плоскость П 1, забираем с нее информацию о удалении точек. Измеряем расстояния от В 1, А 1, С 1 до оси Х 1, 4 и откладываем их на плоскости П 5 от оси Х 4, 5, получаем соответственно проекции В 5≡С 5, А 5 (расстояния выделены желтым цветом)

• Соединяем проекции точек А 5 и В 5≡ С 5. Получаем натуральную величину [АО] расстояния от точки А до прямой ВС. Точка О является основанием перпендикуляра. • В 5≡ С 5 ≡О 5

• В задаче необходимо показать, как выглядят проекции отрезка [АО] на исходных плоскостях проекций: П 1 и П 2. • Т. к. на П 5 [АО] проецируется в натуральную величину, следовательно отрезок АО расположен параллельно к плоскости П 5. Значит на П 4 проецируется в прямую, параллельную оси Х 4, 5. Через (. )А 4 проводим прямую, параллельную оси Х 4, 5 и определяем проекцию (. )О 4

Далее по линиям связи, перпендикулярно к оси Х 1, 4 определяем положение проекции О 1 и, соединив А 1 и О 1, получим [А 1 О 1]

По линиям связи перпендикулярно оси Х 1, 2 находим проекцию О 2. Соединяем А 2 и О 2 – получим фронтальную проекцию А 2 О 2

Определение натуральной величины двугранного угла величину двугранного угла, необходимо преобразовать его таким образом, чтобы общее ребро (линия пересечения двух плоскостей) стало проецирующим. Тогда пространственный угол = плоскому углу DAC Главный элемент Чтобы определить натуральную

Задача 6. 6 (стр. 33) Определить натуральную величину двугранного угла В том случае, если общее ребро ВС двугранного угла – прямая общего положения, задача решается в два действия (вторая типовая: прямую общего положения преобразовать в проецирующую).

Ребро ВС двугранного угла считаем главным элементом ( г. э. ) Преобразовываем ребро [ ВС ] в прямую уровня. Вместо плоскости П 2 возьмем плоскость П 4, параллельную ВС [ ВС ] ║ П 4 → Х 1, 4 ║ [ В 1 С 1 ] → Далее определяем направление проецирования на плоскость П 4 (линии связи из всех проекций точек идут перпендикулярно оси Х 1, 4

• Определяем проекции точек на плоскости П 4. Отбрасывая плоскость П 2, забираем с нее информацию о высотах точек. ZА, ZD, ZВ, ZС и откладываем по линиям связи соответствующих точек от оси Х 1, 4 на П 4

Соединим проекции точек А 4 -В 4 -С 4 D 4. Получим проекцию двугранного угла на П 4 [ В 4 С 4 ] - н. в. главного элемента (Г. Э. )

Прямую ВС преобразуем в проецирующую Вместо плоскости П 1 возьмем плоскость П 5 ┴ ВС. На чертеже новая ось Х 4, 5 ┴В 4 С 4

Отбрасывая плоскость П 1, забираем расстояния от проекций точек А 1, В 1, С 1, D 1 до оси Х 1, 4 и откладываем их на плоскости П 5 от оси Х 4, 5 Расстояния выделены желтым цветом. Получаем проекции точек А 5, В 5≡С 5, D 5 Как видим, главный элемент ВС проецируется в точку

Соединяем проекции А 5, В 5≡С 5, D 5. Получим натуральную величину плоского угла α, равного двугранному

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую (3 типовая задача). Плоскость перпендикулярна другой плоскости, в том числе плоскости проекций в том случае, если она содержит в себе прямую, перпендикулярную этой плоскости.

Преобразование плоскости общего положения в проецирующую Рассмотрим аксонометрическую модель. Плоскость ΔАВС является проецирующей по отношению к плоскости П 2, т. к. горизонталь h, лежащая в плоскости ΔАВС h ∩ перпендикулярна П 2 ∆ АВС h ┴ П 2 → ∆ АВС ┴ П 2 h 1

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П 1 Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций П 1, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую по отношению к П 2.

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П 1 Задаем в плоскости ΔАВС горизонталь на любой высоте, например через (. ) А. h 2 ‖ Х 1, 2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (. )А и (. )1)

Вместо П 2 ставим новую стену П 4 h ┴ П 4 → На чертеже: h 1 ┴ Х 1, 4 h 1

• С П 2 забираем высоты точек А, В, С (координаты ZА, Zв, Zс) и откладываем их от оси Х 1, 4 на П 4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х 1, 4. h 1

• Плоскость ΔАВС проецируется на П 4 в линию А 4 В 4 С 4 • Угол α – угол наклона плоскости ΔАВС к плоскости П 1

Определение угла наклона плоскости к плоскости проекций П 2 Чтобы определить угол наклона плоскости общего положения к плоскости проекций П 2, необходимо преобразовать эту плоскость в проецирующую по отношению к П 1.

Задаем в плоскости ΔАВС фронталь на любом расстоянии от П 2, например через (. ) С. f 1 ‖ Х 1, 2 → f 2 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (. )С и (. )1)

• Вместо П 1 ставим новую плоскость П 4 , которую располагаем перпендикулярно к фронтали f ┴ П 4 → • На чертеже: f 2 ┴ Х 2, 4

• С П 1 забираем координаты удаления точек А, В, С от стены П 2 (координаты УА, Ув, Ус) и откладываем их от оси Х 2, 4 на П 4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х 2, 4.

• Плоскость ΔАВС проецируется на П 4 в линию А 4 В 4 С 4 • Угол β – угол наклона плоскости ΔАВС к плоскости П 2

Определение расстояния от точки до плоскости Задача 6. 3. (стр. 31) Определить расстояние от точки А до плоскости ΔDBC методом замены плоскостей проекций. Решение: Кратчайшее расстояние от точки до плоскости – перпендикуляр, опущенный из точки А к плоскости ΔDBC. Сразу провести проекции перпендикуляра не сможем, т. к. он является прямой общего положения и деформируется (как и угол 90°) при проецировании. Но, если плоскость ΔDBC преобразовать в проецирующую, то перпендикуляр из точки А на плоскость деформироваться не будет.

Выбираем главный элемент-плоскость и решаем 3 типовую задачу Задаем в плоскости линию уровня, например горизонталь h. • h 2 ‖ Х 1, 2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (. )D и (. )1)

. Заменим плоскость П 2 на новую П 4, перпендикулярную к горизонтали h ┴ П 4 h 1 ┴ Х 1, 4 → Построим проекции всех точек на П 4 (линии связи проводим перпендикулярно новой оси Х 1, 4

Забираем высоты точек с плоскости П 2 (координаты Z) и откладываем на плоскости П 4 по линиям связи соответствующих точек от оси Х 1, 4. Получаем проекции ΔD 4 B 4 C 4 (проецируется в линию) и (. )А 4

Из точки А опускаем перпендикуляр к плоскости треугольника ΔDBC (А 4 О 4┴ ΔD 4 B 4 C 4) [ АО ] – расстояние от точки до плоскости. А 4 О 4=н. в. 4

Операцию по замене плоскости П 2 на П 4 мы сделали для облегчения решения задачи. Необходимо показать, как выглядит расстояние в исходных проекциях (на П 1 и П 2). Т. к. на плоскость П 4 отрезок [АО] проецируется в натуральную величину, значит он параллелен этой плоскости. Следовательно на П 1 его проекция отразится параллельно оси Х 1, 4 4

Определим проекции [АО] на П 1 и П 2: А 1 О 1‖Х 1, 4 ; По линии связи с О 4 определяем положение проекции О 1 4

Определим проекции [АО] на П 2: находим проекцию О 2→высота точки О на П 4 и П 2 одинакова (размер координаты выделен желтым цветом) 4

• Соединяем фронтальные проекции точек О 2 и А 2 – получим проекцию расстояния от точки до плоскости треугольника на П 2 (О 2 А 2) 4

Определение натуральной величины плоской фигуры (задача 6. 2 стр. 31) Плоскость проецируется в натуральную величину, если она расположена параллельно плоскости проекций. Следовательно, выполняем 4 типовую задачу. Главный элементплоскость

1) Плоскость общего положения преобразуем в проецирующую. • Задаем в плоскости линию уровня, например горизонталь на любой высоте, например через (. ) А. h 2 ‖ Х 1, 2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (. )А и (. )1)

Вместо П 2 ставим новую стену П 4 h ┴ П 4 → На чертеже: h 1 ┴ Х 1, 4

С П 2 забираем высоты точек А, В, С (координаты ZА, Zв, Zс) и откладываем их от оси Х 1, 4 на П 4 по соответствующим линиям связи, перпендикулярно оси Х 1, 4. Получаем проекции А 4, В 4, С 4

Плоскость Δ АВС проецируется на П 4 в линию А 4 В 4 С 4

2) Плоскость П 1 заменяем на П 5, параллельную плоскости Δ АВС П 1→П 5‖ Δ АВС На чертеже: Х 4, 5‖ А 4 В 4 С 4

Строим проекцию Δ АВС на П 5. Проводим линии связи, перпендикулярно оси Х 4, 5

Отбрасывая плоскость П 1, забираем с нее информацию: удаление точек от стены (координаты точек УА, Ув, Ус) – выделены желтым цветом- и откладываем на плоскости П 5 по линиям связи от оси Х 4, 5

Соединяем проекции А 5 В 5 С 5 – получаем натуральную величину Δ АВС

Задача 6. 5 стр. 32 • Построить проекции прямой призмы высотой 20 мм с основанием АВС

Главный элемент- плоскость. Необходимо выполнить 3 типовую задачу: преобразовать плоскость общего положения в проецирующую Решение: 1) Зададим в плоскости линию уровня, например – горизонталь h 2 ‖ Х 1, 2 → h 1 строим по признаку принадлежности прямой плоскости (как проходящую через (. )А и (. )1)

2) Вместо П 2 возьмем плоскость П 4, перпендикулярную к горизонтали На чертеже новая ось Х 1, 4┴h 1

Строим проекции точек АВС на П 4. Забираем высоты точек АВС с П 2 и откладываем на П 4

• Соединяем проекции точек А 4 В 4 С 4. Плоскость треугольника проецируется в линию на П 4

Т. к. призма прямая, ребра располагаются перпендикулярно основанию и проецируются на П 4 в натуральную величину Откладываем н. в. ребер =20 мм

А 4*В 4*С 4*- верхнее основание призмы в проекции на П 4

Необходимо показать, как выглядит призма на плоскостях П 1 и П 2. Т. к. на П 4 проекция ребра С 4 С 4*-натуральная величина, следовательно оно расположено параллельно к П 4, на П 1 проецируется параллельно оси Х 1, 4 С 1 С 1*‖ Х 1, 4

Т. к. ребра параллельны и равны между собой, строим А 1 А 1* ‖ В 1 В 1* ‖ С 1 С 1* и А 1 А 1* = В 1 В 1* = С 1 С 1* (выделены желтым цветом) •

Для построения проекций ребер на П 2 рассмотрим ребро ВВ*. Через проекцию (. )В 1* проведем линию связи и с П 4 заберем размер высоты точки В* над плоскостью П 1 (Zв*) Отложим данный размер на плоскости П 2 на линии связи с (. )В 1* от оси Х 1, 2 Получим проекцию точки В на П 2 - В 2*

На П 2 проекции А 2 А 2* ‖ В 2 В 2* ‖ С 2 С 2* и А 2 А 2* = В 2 В 2* = С 2 С 2*

Завершаем построение верхнего основания призмы на П 1 и П 2

Определяем видимость на П 1. Рассмотрим накладку проекций А 1 В 1 и А 1*С 1* (21≡ 31). Какая из прямых располагается выше над плоскостью П 1? На другой плоскости П 2 видно, что (. )22 выше Вывод: Видима прямая А*С*

Следовательно, когда смотрим на плоскость П 1, видим верхнее основание А*В*С*

Определяем видимость на П 2. Рассмотрим накладку проекций А 2 С 2 и В 2*С 2* (42≡ 52). Какая из прямых располагается дальше от стены П 2 ? Восстанавливаем линию связи и видим, что на плоскости П 1 дальше располагается (. )41, лежащая на В 1*С 1* Вывод: На П 2 видима В*С*

Следовательно, когда смотрим на плоскость П 2, видим верхнее основание А*В*С*

Определение расстояния от точки до плоскости Плоскость «Р» задана следами. Чтобы определить расстояние преобразовываем плоскость в проецирующую, и опускаем Рх перпендикуляр из проекции точки на след плоскости Р 4. [ АО ] – расстояние от точки до плоскости. Рх1 Н. в. [ АО ]