Лекция 4 Матричные вычисления

Скачать презентацию Лекция 4  Матричные вычисления Скачать презентацию Лекция 4 Матричные вычисления

Лекция 4_Матричные вычисления.ppt

  • Количество слайдов: 14

>   Лекция 4  Матричные вычисления Лекция 4 Матричные вычисления

>  Символьные операции с матрицами Все матричные и векторные операторы допустимо использовать в Символьные операции с матрицами Все матричные и векторные операторы допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Смело используйте символьный процессор в качестве мощного математического справочника. Например, когда Вы хотите вспомнить какое-либо определение из области линейной алгебры (так, правила перемножения и обращения матриц показаны в первых строках листинга)

> Выделение части матрицы     Доступ к отдельным элементам,  Выделение части матрицы Доступ к отдельным элементам, столбцам и строкам матрицы Выделение подматрицы Выделение частей из векторов и строк

> Слияние и разбиение матриц Для того чтобы составить из двух или более матриц Слияние и разбиение матриц Для того чтобы составить из двух или более матриц одну, в Mathcad предусмотрены две матричные функции: • augment (А, B, C, . . . ) — матрица, сформированная слиянием матриц-аргументов слева направо; • stack (А, B, C, . . . ) — матрица, сформированная слиянием матриц -аргументов сверху вниз; • А, В, С, . . . — векторы или матрицы соответствующего размера.

>  Вывод размера матриц Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены Вывод размера матриц Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции: rows (A) — число строк; cols (A) — число столбцов; length (v) — число элементов вектора; last(v) — индекс последнего элемента вектора; А — матрица или вектор; v — вектор. Число элементов вектора и индекс его последнего элемента совпадают, если индексы нумеруются с 1, т. е. системная константа ORIGIN равна 1

>   Сортировка матриц Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив Сортировка матриц Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц: sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания; csort(A, i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов 1 -го столбца в порядке возрастания; rsort(A, i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементов i-й строки в порядке возрастания; reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке; v — вектор; А — матрица; i — индекс строки или столбца.

> Норма квадратной матрицы В линейной алгебре используются различные матричные нормы (norm),  которые Норма квадратной матрицы В линейной алгебре используются различные матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. Mathcad имеет четыре встроенные функции для расчета разных норм квадратных матриц: norm 1 (A) — норма в пространстве L 1; norm 2 (A) — норма в пространстве L 2; norme(A) — евклидова норма (euclidean norm); normi (A) — max-норма, или норма (infinity norm); А — квадратная матрица. В большинстве задач неважно, какую норму использовать. Как видно, в обычных случаях разные нормы дают примерно одинаковые значения, хорошо отражая порядок величины матричных элементов.

>Ранг матрицы Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не Ранг матрицы Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k-ro порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для вычисления ранга в Mathcad предназначена функция rank (А) — ранг матрицы; А — матрица.

>  Определение корней алгебраического уравнения    F(x)=0 Способы:  • Средствами Определение корней алгебраического уравнения F(x)=0 Способы: • Средствами символьной математики (прием 1) • Путем обращения к встроенной функции (прием 2)

>Пример:  Найти корни кубического уравнения x 3+3 x 2 -972=0 Прием 1. - Пример: Найти корни кубического уравнения x 3+3 x 2 -972=0 Прием 1. - Записать многочлен на рабочий лист x 3+3 x 2 -972 - Выделить переменную х в любом месте выражения. - Вызвать команду меню Symbolic Variable Solve (Символы Переменные Вычислить). Ответ появится в виде вектора

>Прием 2.  -  Записать многочлен на рабочий лист -  Выделить переменную Прием 2. - Записать многочлен на рабочий лист - Выделить переменную х в любом месте выражения. - С помощью команды Symbolic Polinomial. Coefficients (Символы Коэффициенты. Полинома) записать вектор коэффициентов многочлена. - Переменной V присвоить его значение - Вызвать встроенную функцию нахождения корней по команде меню f(x) poliroots(v).

> Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы Допустим , что необходимо решить Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы Допустим , что необходимо решить следующую систему уравнений: Воспользуемся матричным методом, когда решение находится по формуле X = A-1 B, где A - матрица коэффициентов при переменных системы; B - вектор свободных членов. Поскольку в Math. CAD нет понятия вектора, используется матрица из одного столбца. На листе Math. CAD необходимо определить эти матрицы, записать формулу для X и подсчитать X, применив оператор числового вычисления «=» .

> Решение систем уравнений с помощью блока Given-Find Решение систем уравнений Math. CAD осуществляет Решение систем уравнений с помощью блока Given-Find Решение систем уравнений Math. CAD осуществляет численными методами. Проблемы возникают, когда нелинейная система имеет несколько решений. За один раз Math. CAD находит только одно решение, которое обычно более близко к заданному начальному приближению. Поэтому в таких случаях необходимо решать систему несколько раз с различными начальными приближениями. Решающий блок состоит из нескольких компонент, следующих на листе в строго определенном порядке: 1. Начальное приближение (присваивание начальных значений переменным). 2. Директива Given, которую необходимо набрать с клавиатуры. 3. Уравнения, которые необходимо решить. Уравнения вводятся в обычной математической форме, но вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl-=). 4. Обращение к функции Find. Аргументами функции являются имена переменных, относительно которых решается система. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент - второй переменной и так далее.

>Пример. Решим систему нелинейных уравнений: Данная система имеет два решения. Найдем одно из них Пример. Решим систему нелинейных уравнений: Данная система имеет два решения. Найдем одно из них с начальным приближением x = 0; y = 0. Последняя запись - вектор (-1; -2) есть значение, которое вернула функция Find, то есть одно из решений системы. Найти второе решение можно, если взять другое начальное приближение x = 2; y = 2. Тогда функция Find вернет вектор (2; 4).